Variable Compleja/Operaciones de números complejos/Potenciación

Forma Rectangular

Para elevar un número complejo a un exponente entero, se aplican las identidades notables (cuadrado de la suma) . Se debe tener en cuenta la igualdad $i^2=-1$:

$(6-3i{)}^2=6^2-2\cdot 6\cdot 3i+(3i{)}^2=36-36i+9i^2=36-36i+9(-1)=36-36i-9=27-36i.$

esto es para explicar el proceso de potenciacion

Forma Polar

• Exponente natural y entero. Sea el número complejo, en notación trigonométrica, $z=r(\cos \varphi +i\mathrm{sen}\varphi )$, según el Teorema de Moivre: Plantilla:Ecuación
• Entero negativo

• Exponente racional. La ecuación

Plantilla:Ecuación. Se deduce Plantilla:Ecuación. En consecuencia Plantilla:Ecuación considerando $k=0,1,..,q-1$, se obtienen $q$ resultados.

• Exponente complejo. Si z y α son números complejos entonces $z^{\alpha }=e^{\alpha \ln z}=\exp (\alpha \times \ln z)$

Un ejemplo sencillo: $(-2{)}^{\sqrt{2}}=2^{\sqrt{2}}[\cos (2k+1)\pi \sqrt{2}+i\mathrm{sen}(2k+1)\pi \sqrt{2}]$