Introduccción

Esta es una página que referencia las soluciones a problemas hechas por los estudiantes de Cálculo Diferencial de la Pontificia Universidad Javeriana, usando los recursos de los Wikibooks. Cada estudiante coloca aquí enlaces a las páginas personales donde ellos han realizado los ejercicios. Es un trabajo extraclase basado en Nuevas Tecnologías de Información y Comunicaciones, similar en espíritu al que ha venido impulsando el Departamento de Matemáticas de la Universidad en el pasado, con el uso de Calculadoras Científicas o Programas de Álgebra Computacional pero está enfocado a la creación compartida de una memoria de la clase que sea útil a estudiantes y/o docentes en el futuro o para revisar aprendizajes y prácticas pasadas.

Los estudiantes deben ubicar los ejercicios resueltos de su autoría y pasarlos a su página personal, pues esta página sufrio una reorganización, por limitantes de espacio que generaban inconvenientes técnicos, según lo reportaron Claudia Corredor, Marcela Buraglia Y Maria Angélica Pulido.

Algunos ejercicios se mantienen en esta página, pero cuando sean colocados en sus páginas personales deberán quitar la copia de acá, otros han sido reubicados temáticamente en lugares como:

http://wikibooks.org/wiki/Calculo_diferencial_solucionario:Limites_algebraicos

y

http://wikibooks.org/wiki/Calculo_diferencial_solucionario:Funciones_trigonometricas

Deberán ubicar también los ejercicios de su autoría allí e irlos borrando en la medida en que los pasen a sus páginas personales.

Los ejercicios no reubicados se listan a continuación.

Offray

Introduccción

Esta es una página que referencia las soluciones a problemas hechas por los estudiantes de Cálculo Diferencial de la Pontificia Universidad Javeriana, usando los recursos de los Wikibooks. Cada estudiante coloca aquí enlaces a las páginas personales donde ellos han realizado los ejercicios. Es un trabajo extraclase basado en Nuevas Tecnologías de Información y Comunicaciones, similar en espíritu al que ha venido impulsando el Departamento de Matemáticas de la Universidad en el pasado, con el uso de Calculadoras Científicas o Programas de Álgebra Computacional pero está enfocado a la creación compartida de una memoria de la clase que sea útil a estudiantes y/o docentes en el futuro o para revisar aprendizajes y prácticas pasadas.

Los estudiantes deben ubicar los ejercicios resueltos de su autoría y pasarlos a su página personal, pues esta página sufrio una reorganización, por limitantes de espacio que generaban inconvenientes técnicos, según lo reportaron Claudia Corredor, Marcela Buraglia Y Maria Angélica Pulido.

Algunos ejercicios se mantienen en esta página, pero cuando sean colocados en sus páginas personales deberán quitar la copia de acá, otros han sido reubicados temáticamente en lugares como:

http://wikibooks.org/wiki/Calculo_diferencial_solucionario:Limites_algebraicos

y

http://wikibooks.org/wiki/Calculo_diferencial_solucionario:Funciones_trigonometricas

Deberán ubicar también los ejercicios de su autoría allí e irlos borrando en la medida en que los pasen a sus páginas personales.

Los ejercicios no reubicados se listan a continuación.

Offray

Límites

1) $f (x) = {\begin{matrix} \frac{\sqrt[2]{x} - 2}{x - 4}, & si x \neq 4 \\ \frac{1}{4}, & si x = 4 \end{matrix}$ User:Camilo_Acosta 41 By Camilo_acosta

F (x) \sqrt[2]{4 - x^{2}}

\lim_{x \to - 2^{+}} F (x) = \lim_{x \to - 2^{+}} \sqrt[2]{4 - x^{2}}

\lim_{x \to - 2^{+}} F (x) = 0

\lim_{x \to - 2^{+}} F (x) = F (- 2)

\lim_{x \to - 2^{-}} F (x) = \lim_{x \to - 2^{-}} \sqrt[2]{4 - x^{2}}

\lim_{x \to - 2^{+}} F (x) = 0

\lim_{x \to - 2^{+}} F (x) = F (2)

asimismo, F es continua por la derecha en -2 y es continua por la izquierda en 2. En efecto f es continua en el intervalo cerrado [-2,2]

por leider santos

\lim_{x \to 2} \frac{x^{2} - 4}{x - 2} = \frac{(x - 2) (x + 2)}{x - 2} = x + 2

\lim_{x \to 2} x + 2 = 4

By camilo_acosta

3) By camilo_Acosta

\lim_{x \to 3} \frac{x^{3} - 21}{x^{2} - 9} = \frac{(x - 3) (x^{2} + 3 x + 9)}{(x - 3) (x + 3)} = \frac{(x^{2} + 3 x + 9)}{x + 3}

\lim_{x \to 3} \frac{(x^{2} + 3 x + 9)}{x + 3} = \frac{27}{6}

By Camilo_acosta

4) By camilo_acosta

\lim_{x \to 2} \frac{\sqrt[2]{x} - \sqrt[2]{2}}{x - 2} = i n d e r t e r m i n a d o

\lim_{x \to 2} \frac{\sqrt[2]{x} - \sqrt[2]{2}}{x - 2} * \frac{\sqrt[2]{x} + \sqrt[2]{2}}{\sqrt[2]{x} + \sqrt[2]{2}}

\lim_{x \to 2} \frac{x - 2}{(x - 2) (\sqrt[2]{x} + \sqrt[2]{2})}

\lim_{x \to 2} \frac{1}{2 \sqrt[2]{x}}

\frac{2 \sqrt[2]{2}}{4}

5) by Camilo_Acosta

$\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt[2]{9 - x} - 3}{x} = i n d e r t e r m i n a d o$
$\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt[2]{9 - x} - 3}{x} * \frac{\sqrt[2]{9 - x} + 3}{x \sqrt[2]{9 - x} + 3}$
$\lim_{x \to 0} \frac{9 + x - 9}{x (\sqrt[2]{9 - x} + 3)}$
$\lim_{x \to 0} \frac{1}{\sqrt[2]{9 - x} + 3}$
$\lim_{x \to 0} \frac{1}{6}$

6) By Camilo_Acosta

$\lim_{x \to 5} \frac{x^{2} - 25}{x - 5} = i n d e r t e r m i n a d o$
$\lim_{x \to 5} \frac{x^{2} - 25}{x - 5} * \frac{(x - 5) (x + 5)}{x - 5}$
$\lim_{x \to 5} x + 5$
$\lim_{x \to 5} 10$

by Camilo_Acosta

7) by Camilo_Acosta

$\lim_{x \to 2} \sqrt[2]{\frac{x^{3} + 2 x + 3}{x^{2} + 5}} = i n d e r t e r m i n a d o$
$\lim_{x \to 2} \sqrt[2]{\frac{x^{3} + 2 x + 3}{x^{2} + 5}} = \sqrt[2]{\lim_{x \to 2} \frac{x^{3} + 2 x + 3}{x^{2} + 5}}$
$\lim_{x \to 2} \sqrt[2]{\frac{x^{3} + 2 x + 3}{x^{2} + 5}} = \sqrt[2]{\frac{\lim_{x \to 2} (x^{3} + 2 x + 3)}{\lim_{x \to 2} (x^{2} + 5)}}$
$\lim_{x \to 2} \sqrt[2]{\frac{x^{3} + 2 x + 3}{x^{2} + 5}} = \sqrt[2]{\frac{\lim_{x \to 2} (x^{3}) + \lim_{x \to 2} (2 x) + \lim_{x \to 2} (3)}{\lim_{x \to 2} (x^{2}) + \lim_{x \to 2} (5)}}$
$\lim_{x \to 2} \sqrt[2]{\frac{x^{3} + 2 x + 3}{x^{2} + 5}} = \sqrt[2]{\frac{(\lim_{x \to 2} x)^{3} + \lim_{x \to 2} (2) * \lim_{x \to 2} (x) + \lim_{x \to 2} (3)}{(\lim_{x \to 2} x)^{2} + \lim_{x \to 2} (5)}}$
$\lim_{x \to 2} \sqrt[2]{\frac{x^{3} + 2 x + 3}{x^{2} + 5}} = \sqrt[2]{\frac{2^{3} + 2 * 2 + 3}{2^{2} + 5}}$
$\lim_{x \to 2} \sqrt[2]{\frac{x^{3} + 2 x + 3}{x^{2} + 5}} = \sqrt[2]{\frac{8 + 4 + 3}{9}}$
$\lim_{x \to 2} \sqrt[2]{\frac{x^{3} + 2 x + 3}{x^{2} + 5}} = \frac{\sqrt[2]{15}}{3}$

16) $l i m_{x \to 3} \frac{x^{2} - 9}{x^{2} - 6 x + 9}$

Respuesta:

l i m_{x \to 3} \frac{(x - 3) (x + 3)}{(x - 3) (x - 3)}

l i m_{x \to 3} \frac{x + 3}{(x - 3)}

= 6 / 0 = n . e

Jaime.rincon

17) $l i m_{x \to 2} \frac{| x^{2} - 4 |}{x - 2}$

Respuesta:

si x<2, $l i m_{x \to 2} \frac{| x^{2} - 4 |}{x - 2} = l i m_{x \to 2} \frac{- x^{2} + 4}{x - 2}$

$l i m_{x \to 2} \frac{(x + 2) (x - 2)}{x - 2}$ $= - 4$

si x>2, $l i m_{x \to 2} \frac{| x^{2} - 4 |}{x - 2} = l i m_{x \to 2} \frac{x^{2} - 4}{x - 2}$

$= 4$ Jaime.rincon

18) $l i m_{x \to 0} \frac{\sqrt[2]{9 + x} - 3}{x}$

Respuesta:

= $l i m_{x \to 0} [\frac{\sqrt[2]{9 + x} - 3}{x}] [\frac{\sqrt[2]{9 + x} + 3}{\sqrt[2]{9 + x} + 3}]$ = $l i m_{x \to 0} \frac{x}{x [\sqrt[2]{9 + x} + 3]}$ = $l i m_{x \to 0} \frac{1}{\sqrt[2]{9} + 3}$ = $1 / 6$ Jaime.rincon

link title==Derivadas==

1)Hallar f´´(x) si f(x)=

\frac{x^{2}}{x^{2} - 9}

f(x)=

\frac{x^{2}}{x^{2} - 9}

f ´(x)=

\frac{2 x (x^{2} - 9) - x^{2} (2 x)}{(x^{2} - 9)^{2}}

f ´(x)=

\frac{2 x^{3} - 18 x - 2 x^{3}}{(x^{2} - 9)^{2}}

f ´(x)=

\frac{- 18 x}{(x^{2} - 9)^{2}}

f ´´(x)=

\frac{- 18 (x^{2} - 9)^{2} + 18 x (4 x) (x^{2} - 9)}{(x^{2} - 9)^{4}}

f ´´(x)=

\frac{(x^{2} - 9) [- 18 (x^{2} - 9) + 72 x^{2}]}{(x^{2} - 9)^{4}}

f ´´(x)=

\frac{54 x^{2} + 162}{(x^{2} - 9)^{3}}

Monica

3)Derivar: $y = x^{2} + 2 x + 17$

y^{'} = 2 x + 2

Emilia

4)Derivar: $y = (x + 4) (2 x + 3)$

y^{'} = 1 (2 x + 3) + (x + 4) 2

y^{'} = 2 x + 3 + 2 x + 8

y^{'} = 4 x + 11

5)Derivar: $y = \frac{2 x + 1}{x + 6}$

y^{'} = \frac{2 (x + 6) - 1 (2 x + 1)}{(x + 6)^{2}}

y^{'} = \frac{2 x + 12 - 2 x + 1}{(x + 6)^{2}}

y^{'} = \frac{11}{(x + 6)^{2}}

Emilia

6)Derivar: $y = e^{2} x a r c c o s (3 x + 1)$

y^{'} = e^{2} x 2 x a r c c o s (3 x + 1) + e^{2} x \frac{3}{\sqrt{1 - (3 x + 1)}}

y^{'} = e^{2} x 2 x a r c c o s (3 x + 1) + e^{2} x \frac{3}{\sqrt{- 3 x}}

y^{'} = e^{2} x (2 x a r c c o s (3 x + 1) + \frac{3}{\sqrt{- 3 x}}

Emilia

7)Derivar: $y = 6^{t} a n^{2} (3 x)$

y^{'} = 6^{t} a n^{2} (3 x) l n 62 t a n (3 x) s e c^{2} (3 x) 3

y^{'} = 6^{t} a n^{2} (3 x) l n 66 t a n (3 x) s e c^{2} (3 x) 3

Emilia

8)Derivar: $y = \frac{e^{2} x + 3}{(x + 1)^{2}}$

y^{'} = \frac{e^{2} x + 32 (x + 1)^{2} - 2 (x + 1) e^{2} x + 3}{(x + 1)^{4}}

y^{'} = \frac{(x + 1) [e^{2} x + 32 (x + 1) - e^{2} x + 3]}{(x + 1)^{4}}

y^{'} = \frac{e^{2} x + 32 (x + 1) - 2 e^{2} x + 3}{(x + 1)^{3}}

y^{'} = \frac{2 e^{2} x + 3 [(x + 1) - 1]}{(x + 1)^{3}}

Emilia

9)Derivar: $y = (s e n (x) + t a n (x)) (s e c (x) - t a n (x))$

y^{'} = (t a n (x) s e c (x) + s e c (x)^{2}) (s e c (x) - t a n (x)) + (t a n (x) s e c (x) - s e c (x)^{2}) (s e c (x) t a n (x))

y^{'} = (t a n (x) s e c (x) + s e c (x)^{2}) (s e c (x) - t a n (x)) + (t a n (x) s e c (x) - s e c (x)^{2}) (s e c (x) + t a n (x))

y^{'} = (t a n (x) s e c (x)^{2} - t a n (x)^{2} s e c (x) + s e c (x)^{3} - s e c (x)^{2} t a n (x)) + (t a n (x) s e c (x)^{2} + t a n (x)^{2} s e c (x) - s e c (x)^{3} - s e c (x)^{2} t a n (x))

y^{'} = - t a n (x)^{2} s e c (x) + s e c (x)^{3} + t a n (x)^{2} s e c (x) - s e c (x)^{3}

y^{'} = 0

Emilia

10)Derivar: $y = 3 x^{4} x^{3} + 2 x - 5$

y^{'} = 3 x^{4} x^{3} + 2 x - 5 [\frac{3 (4 x^{3} + 2 x - 5}{3 x} + 12 x^{2} + 2 (l n 3 x)]

y^{'} = 3 x^{4} x^{3} + 2 x - 5 [\frac{(4 x^{3} + 2 x - 5}{x} + 12 x^{2} + 2 (l n 3 x)]

Error al representar (error de sintaxis): {\displaystyle y'= 3x^4x^3+2x-5 [\frac{ (4x^3+2x-5+12x^2+2(ln3x){x}]}

Emilia

11)Derivar: $y^{3} + 7 y = x^{3}$

3 y^{2} y^{'} + 7 y^{'} = 3 x^{2}

y^{'} = \frac{3 x^{2}}{3 y^{2} + 7}

Emilia

12)Derivar: $y^{2} + x^{2} = 16$

2 y y^{'} + 2 x = 0

2 y y^{'} = - 2 x

y^{'} = \frac{- 2 x}{2 y}

y^{'} = \frac{- x}{y}

Emilia

13)Derivar: $f (x) = \frac{1}{x + 1}$

f^{'} (x) = | f r a c - 1 (x + 1)^{2}

Emilia

14)Derivar: $f (x) = \frac{1}{x^{2} + 1} + x^{5} c o s (x)$

f^{'} (x) = \frac{- 2 x}{(x^{2} + 1)^{2}} + 5 x^{4} c o s (x) - s e n (x) x^{5}

Emilia

22) $y = \frac{4 x^{3} - 2 x}{7}$

y^{'} = \frac{12 x^{2} - 2 (7) - 0 (4 x^{3} - 2 x)}{(7^{2})}

y^{'} = \frac{12 x^{2} - 2 (7)}{(7^{2})}

y^{'} = \frac{12 x^{2} - 2}{7}

BY JUAN CARLOS ARANGO

23) $y = \frac{4 - 3 x}{2 + x}$

y^{'} = \frac{- 3 (2 + x) - (4 - 3 x) (1)}{(2 + x)^{2}}

y^{'} = \frac{- 6 - 3 x - 4 + 3 x}{(2 + x)^{2}}

y^{'} = \frac{- 10}{(2 + x)^{2}}

BY JUAN CARLOS ARANGO

24) $y = x^{3} - x^{2} + 2 x$

y^{'} = 3 x^{2} - 2 x + 2

BY JUAN CARLOS ARANGO

25) $y = w (x) v (x) w (x)$

y = w^{2} (x) v (x)

y^{'} = 2 w (x) (w^{'} (x)) v (x) + w^{2} v^{'} (x)

BY JUAN CARLOS ARANGO

26)Derivar: $y = c s c^{-} 1 x$

c s c y = x

(- c s c y c t g y) y^{'} = 1

y^{'} = \frac{1}{- c s c y c t g y}

y^{'} = \frac{- 1}{c s c y \sqrt{c s c^{2} y - 1}}

y^{'} = \frac{- 1}{x \sqrt{x^{2} - 1}}

Emilia

28)Derivar: $F (x) = x^{4} - 7 x^{2} + 6$

F^{'} (x) = 4 x^{3} - 14 x

--Corredorclau 14:08, 12 Jul 2004 (UTC)

29)Derivar: $F (x) = 5 x^{2} - 2 x - 7$

F^{'} (x) = 10 x - 2

--Corredorclau 14:15, 12 Jul 2004 (UTC)

30)Derivar: $F (x) = (2 x^{-} 5)^{2}$

F^{'} (x) = 2 (2 x^{2} - 5) (4 x)

F^{'} (x) = (4 x^{2} - 10) (4 x)

F^{'} (x) = 16 x^{3} - 40 b y : c o r r e d o r c l a u - - - - 50) D e r i v e : < m a t h > x^{3} + 2 x^{2} + 1

\lim_{h \to 0} \frac{((x + h)^{3} + 2 (x + h)^{2} + 1) - (x^{3} + 2 x^{2} + 1)}{h}

\lim_{h \to 0} \frac{x^{3} + h x^{2} + 2 h x^{2} + 2 h^{2} x + h^{2} x + h^{3} + 2 x^{2} + 4 h x + 2 h^{2} + 1 - x^{3} - 2 x^{2} - 1}{h}

\lim_{h \to 0} \frac{3 h x^{2} + 3 h^{2} x + h^{3} + 4 h x + 2 h^{2}}{h}

\lim_{h \to 0} \frac{(h) (3 x^{2} + 3 h x + h^{2} + 4 x + 2 h)}{h}

\lim_{h \to 0} 3 x^{2} + 3 h x + h^{2} + 4 x + 2 h

3 x^{2} + 3 (0) x + (0)^{2} + 4 x + 2 (0)

. $3 x^{2} + 4 x$ by: monica perez Monica

51)Hallar: $\frac{d y}{d x}$ si $y^{3} - x y^{2} + c o s x y = 2$

3 y^{2} (\frac{d y}{d x}) - y^{2} + x 2 y (\frac{d y}{d x}) - s e n (x y) (y + x (\frac{d y}{d x}) = 0

3 y^{2} (\frac{d y}{d x}) - 2 x y (\frac{d y}{d x}) - x (\frac{d y}{d x}) s e n (x y) = y^{2} + y s e n x y

(\frac{d y}{d x}) (3 y^{2} - 2 x y - x s e n (x y)) = y^{2} + y s e n x y

(\frac{d y}{d x}) = \frac{y^{2} + y s e n (x y)}{3 y^{2} - 2 x y - x s e n (x y)}

Monica

52)Derivar: $\frac{6}{x}$

\lim_{h \to 0} \frac{\frac{6}{(x + h)} - \frac{6}{x}}{h}

l i m_{h \to 0} \frac{\frac{- 6 h}{(x + h) (x)}}{h}

l i m_{h \to 0} \frac{- 6 h}{(x + h) (x) (h)}

l i m_{h \to 0} \frac{- 6}{(x) (x + h)}

\frac{- 6}{x^{2}}

Monica

Los siguientes ejercicios fueron tomados del libro de Howard E. Taylor.

53)Derivar: $f (x) = \frac{3}{x} + \frac{7}{x^{2}} - x^{- 3}$

f^{'} (x) = \frac{x - 3}{x^{2}} + \frac{x^{2} - (2 x) (7)}{x^{4}} + 3 x^{- 4}

f^{'} (x) = \frac{- 3}{x^{2}} - \frac{14 x}{(x^{4}} + 3 x^{- 4}

f^{'} (x) = \frac{- 3}{x^{2}} - \frac{14}{(x^{3}} + \frac{3}{x^{4}}

Corredorclau 18:18, 13 Jul 2004 (UTC)

54)Derivar: $F (x) = 3 x^{\frac{1}{3}} + 7 s e n x$

F^{'} (x) = \frac{1}{3} + 3 x^{\frac{1}{3} - 1} + 7 c o s x

F^{'} (x) = 3 x^{\frac{- 2}{3}} + 7 c o s x

Corredorclau

55)Derivar: $F (x) = x \sqrt{5 + x^{2}}$

F^{'} (x) = \sqrt{5 + x^{2}} + x \cdot \frac{1}{2 \sqrt{5 + x^{2}}} \cdot 2 x

F^{'} (x) = \sqrt{5 + x^{2}} + \frac{2 x^{2}}{2 \sqrt{5 + x^{2}}}

F^{'} (x) = \frac{\sqrt{5 + x^{2}} + x^{2}}{\sqrt{5 + x^{2}}}

F^{'} (x) = \frac{5 + x^{2} + x^{2}}{\sqrt{5 + x^{2}}}

F^{'} (x) = \frac{5 + 2 x^{2}}{\sqrt{5 + x^{2}}}

Corredorclau

56)Derivar: $3 x^{2} + 4 y^{2} = 12$

6 x + 8 y y^{'} = 0

8 y y^{'} = 6 x

y^{'} = \frac{6 x}{8 y}

y^{'} = \frac{- 3 x}{4 y}

Corredorclau 21:44, 13 Jul 2004 (UTC)

57)Derivar: $F (x) = (x^{2} - 4) (x^{4} + 5)$

F^{'} (x) = (2 x) (x^{4} + 5) + (x^{5} - 4) (4 x^{3})

F^{'} (x) = 2 x^{5} + 10 x + 4 x^{5} - 16 x^{3}

F^{'} (x) = 6 x^{5} - 16 x^{3} + 10 x

Corredorclau 12:48, 13 Jul 2004 (UTC)

58)Derivar: $F (x) = 2 x^{2} (2 x - 4)$

F^{'} (x) = 4 x (2 x - 4) + 2 x^{2} (2)

F^{'} (x) = 8 x^{2} - 16 x + 4 x^{2}

F^{'} (x) = 12 x 2 - 16 x

Corredorclau 12:48, 13 Jul 2004 (UTC)

59)Derivar: $y (x) = 3 x^{3} - 4 x^{2} + 5 x + 16$

y^{'} (x) = 9 x^{2} - 8 x + 5 + 0

y^{'} (x) = 9 x^{2} - 8 x + 5

JORGE MARIO MEDINA MARTIN 5:10, 13 Jul 2004

60): $f (x) = \frac{s e n x}{x}$

f^{'} (x) = \frac{c o s x (x) - s e n x}{x^{2}}

f^{'} (x) = \frac{c o s x}{x} - \frac{s e n x}{x^{2}}

Corredorclau

61)Derivar: $f (x) = \frac{2 x^{3} + 4 x}{3 s e n x}$

f^{'} (x) = \frac{(6 X^{2} - 4 (3 s e n x)) - (2 x^{3} - 4 x) 3 c o s x}{(3 s e n x)^{2}}

f^{'} (x) = \frac{18 x^{2} s e n x - 12 s e n x - 6 x^{3} c o s x + 12 x c o s x}{9 s e n^{2} x}

Corredorclau

62)Derivar: $f (x) = \frac{1}{(x^{2} - 2 x)^{2}}$

f^{'} (x) = \frac{2 (x^{2} - 2 x) (2 x - 2)}{(x^{2} - 2 x)^{4}}

f^{'} (x) = \frac{4 x - 4}{(x^{2} - 2 x)^{3}}

Corredorclau

63)Derivar: $f (x) = \frac{1 - s e n x}{1 + c o s x}$

f^{'} (x) = \frac{- c o s x (1 + c o s x) - (1 - s e n x) - s e n x}{1 + c o s x}

f^{'} (x) = \frac{- c o s x - c o s^{2} x + s e n x - s e n^{2} x}{1 + c o s^{2} x}

f^{'} (x) = \frac{- c o s x - 1 + s e n^{2} x + s e n x - s e n^{2} x}{(1 + c o s x)^{2}}

f^{'} (x) = \frac{- c o s x - 1 + s e n x}{(1 + c o s x)^{2}}

Corredorclau

64)Derivar: $f (x) = \frac{c o s^{2} 2 x}{x^{2}}$

f^{'} (x) = \frac{2 (c o s 2 x) s e n 2 x (2) (x^{2}) - 2 x (c o s^{2} 2 x)}{x^{4}}

f^{'} (x) = \frac{4 s e n x - 2 x}{x^{2}}

Corredorclau

65)Derivar: $f (x) = \frac{c o s x}{7}$

f^{'} (x) = \frac{- 7 s e n x}{49}

f^{'} (x) = \frac{- s e n x}{7}

Corredorclau

66)Derivar: $f (x) = \frac{(x - 1)^{2}}{x^{2}}$

f^{'} (x) = \frac{2 (x - 1) (x^{2}) - (x - 1)^{2} 2 x}{x^{4}}

f^{'} (x) = \frac{(2 x - 2) (x^{2}) - (x^{2} - 2 x + 1) 2 x}{x^{4}}

f^{'} (x) = \frac{2 x^{3} -^{2} x^{2} - 2 x^{3} + 4 x^{2} - 2 x}{x^{4}}

f^{'} (x) = \frac{2 x^{2} - 2 x}{x^{4}}

f^{'} (x) = \frac{2 x (x - 1)}{x^{4}}

f^{'} (x) = \frac{2 (x - 1)}{x^{3}}

Corredorclau

67)Derivar: $f (x) = x + (\frac{1}{x})^{2}$

f (x) = 2 (x + \frac{1}{x}) (1 - \frac{- 1}{x^{2}})

f (x) = (2 x + \frac{2}{x}) (1 - (\frac{1}{x^{2}})

f (x) = (\frac{2 x^{2} + 2}{x}) (\frac{x^{2} - 1}{x^{2}})

f (x) = \frac{2 x^{2} - 2 x^{2} + 2 x^{2} - 2}{x^{3}}

f (x) = \frac{2 x^{4} - 2}{x^{3}}

Corredorclau [wikibooks.org/wiki/User:JUANLEAL]

Problemas de razón de cambio

1)Purcell 3.9 Un aeroplano que vuela hacia el oeste a 300 millas por hora pasa por arriba de la torre de control al mediodía y un segundo aeroplano que vuela hacia el norte, a la misma altitud, a 400 millas por hora, pasa por por la torre una hora después. ¿Que tan rápido está cambiando la distancia entre los aeroplanos a las 2:00 pm?

a)Primero se identifican las variables que vamos a utilizar durante la resolución del problema:

x(t): es la distancia recorrida por el avión numero 1 a la 12 pm (para este caso avión uno lo nombraremos como A1) y(t): es la distancia recorrida por el avión numero 2 a a 1 pm ( igual que en el anterior lo nombraremos como A2) x'(t): es la derivada de la distancia de A1 por lo tanto es la velocidad de A1 que es 300 m/h y'(t): la velocidad de A2 que es de 400 m/h lo que tenemos que buscar es s'(t) que es el cambio de distancia entre los dos aviones.

b)Despues pasaremos a graficar la situacion para que nos sirva como apoyo sabemos en que direcciones se dirigen los aviones por lo tanto nos da un triangulo rectangulo de donde los catetos seran "x" y "y" y la hipotenusa sera "s" y el origen sera la torre de control.

c)Sabemos que como el A1 lleva una velocidad de 300m/h significa que cada hora el avion recorrerá 300 millas, por lo tanto cuando el A2 pasa por la torre de control a la 1 el A1 llevara recorrido 300 millas.

La ecuación principal nos quedaría asi:

$(300 + x)^{2} + y^{2} = s^{2}$ para este caso reeplazamos por "x" 30 y a "y" 400 $(300 + (300))^{2} + (400)^{2} = s^{2}$ y como queremos conocer el valor de s sacamos la raíz cuadrada y nos da como resultado que s=721.11 Como ya conocemos el valor de s, sacamos la derivada de la ecuación principal:

$(300 + x)^{2} + y^{2} = s^{2}$ $2 (300 + x) \cdot x^{'} + 2 y \cdot y^{'} = 2 s \cdot s^{'}$ y como queremos conocer s' entonces la despejamos en la ecuacion $f r a c (300 + x) \cdot x^{'} + y \cdot y^{'} s = s^{'}$ reemplazamos por los valores que obtuvimos anteriormente $f r a c (300 + 300) \cdot 300 + 400 \cdot 400 721.11 = s^{'}$ $471.45 m / h = s^{'}$ esta es la respuesta al problema.

By:jenny

2) Cada arista de un cubo variable esta aumentando a razon de 3 pulgadas por segundo que tan rapido esta aumentando el nivel del cubo cuando una arista es de 12 pulgadas de longitud?

x(t): la longitud de una arista v(t): el volumen del cubo x'(t): 3 pulg/seg v'(t): es la incognita a encontrar

El volumen de un cubo es $v (t) = x^{3}$ sacamos la derivada $v^{'} (t) = 3 \cdot x^{2} \cdot x^{'}$ reemplazamos $v^{'} (t) = 3 \cdot (12 p u l g)^{2} \cdot (3 p u l g / s e g$ donde $v^{'} (t) = 1296 p u l g^{3} * s e g$

by:jenny

3)Con que rapídes baja el nivel de un fluido contenido en un tanque cilindrico de almacenamiento si bombeamos hacia fuera el fluido a razon 3000 l/min

\frac{d h}{d t} = 3000 l / m i n

v = p i r^{2} h (m e t r o s c u b i c o s)

m^{3} = 1000 l

\frac{d v}{d t} = 1000 p i r^{2} (\frac{d h}{d t})

\frac{- 3000}{1000 p i r^{2}} = \frac{d h}{d t}

\frac{- 3000}{1000 p i r^{2}} = \frac{d h}{d t}

\frac{- 3000}{1000 p i r^{2}} = \frac{d h}{d t}

\frac{- 3 l}{p i r^{2}} = \frac{d h}{d t}

BY juan carlos arango

Máximos y Mínimos

Estime los números críticos de cada función y luego encuentre los valores máximos y mínimos

2): $f (x) = x^{4} - 27 x^{2}$

f^{'} (x) = 4 x^{4} - 54 x

0 = 4 x^{3} - 54 x

0 = x (4 x^{2} - 54)

x_{1} = 0

x_{2} = 4 x^{2} - 54

\sqrt[2]

4 x^{2} = 54

x^{2} = \frac{54}{4}

x_{2} = + \sqrt[2]{(} 54 / 4) = 3.67

x_{2} = - \sqrt[2]{(} 54 / 4) = - 3.67

f^{″} (x) = 12 x^{2} - 54

f^{″} (0) = 12 (0)^{2} - 54

f^{″} (0) = - 54

Máximo

f^{″} (- 3.67) = 12 (- 3.67)^{2} - 54 = 107.6

Minimo

f^{″} (+ 3.67) = 12 (+ 3.67)^{2} - 54 = 107.6

Minimo

cristianmejia

3): $f (x) = x^{3} - 4 x^{2} + 4 x - 1$

f^{'} (x) = 3 x^{-} 8 x^{+} 4

0 = 3 x^{2} - 8 x^{+} 4

0 = (x - 2) (3 x - 2)

x_{1} = 2

x_{2} = 3 x - 3

x_{2} = 2 / 3

f^{″} (0) = 6 (0) - 8 = - 8

f^{″} (2) = 6 (2) - 8 = 4

Minimo

f^{″} (2 / 3) = 6 (2 / 3) - 8 = - 4

Minimo

cristianmejia

Problemas de razón de cambio

1)Purcell 3.9 Un aeroplano que vuela hacia el oeste a 300 millas por hora pasa por arriba de la torre de control al mediodía y un segundo aeroplano que vuela hacia el norte, a la misma altitud, a 400 millas por hora, pasa por por la torre una hora después. ¿Que tan rápido está cambiando la distancia entre los aeroplanos a las 2:00 pm?

Primero se identifican las variables que vamos a utilizar durante la resolución del problema:

x(t): es la distancia recorrida por el avión numero 1 a la 1 pm (para este caso avión uno lo nombraremos como A1) y(t): es la distancia recorrida por el avión numero 2 a a 1 pm ( igual que en el anterior lo nombraremos como A2) x'(t): es la derivada de la distancia de A1 por lo tanto es la velocidad de A1 que es 300 m/h y'(t): la velocidad de A2 que es de 400 m/h lo que tenemos que buscar es s'(t) que es el cambio de distancia entre los dos aviones.

Despues pasaremos a graficar la situacion para que nos sirva como apoyo sabemos en que direcciones se dirigen los aviones por lo tanto nos da un triangulo rectangulo de donde los catetos seran "x" y "y" y la hipotenusa sera "s" y el origen sera la torre de control.

sabemos que como el A1 lleva una velocidad de 300m/h significa que cada hora el avion recorrerá 300 millas, por lo tanto cuando el A2 pasa por la torre de control a la 1 el A1 llevara recorrido 300 millas.

La ecuación principal nos quedaría asi:

$(300 + x)^{2} + y^{2} = s^{2}$ para este caso reeplazamos por "x" 30 y a "y" 400 $(300 + (300))^{2} + (400)^{2} = s^{2}$ y como queremos conocer el valor de s sacamos la raíz cuadrada y nos da como resultado que s=721.11 Como ya conocemos el valor de s, sacamos la derivada de la ecuación principal:

$(300 + x)^{2} + y^{2} = s^{2}$ $2 (300 + x) \cdot x^{'} + 2 y \cdot y^{'} = 2 s \cdot s^{'}$

y como queremos conocer s' entonces la despejamos en la ecuacion

$\frac{(300 + x) \cdot x^{'} + y \cdot y^{'}}{s} = s^{'}$ reemplazamos por los valores que obtuvimos anteriormente $\frac{(300 + 300) \cdot 300 + 400 \cdot 400}{721.11} = s^{'}$ $471.45 m / h = s^{'}$ esta es la respuesta al problema.

2) Cada arista de un cubo variable esta aumentando a razon de 3 pulgadas por segundo que tan rapido esta aumentando el nivel del cubo cuando una arista es de 12 pulgadas de longitud?

x(t): la longitud de una arista v(t): el volumen del cubo x'(t): 3 pulg/seg v'(t): es la incognita a encontrar

El volumen de un cubo es $v (t) = x^{3}$ sacamos la derivada $v^{'} (t) = 3 \cdot x^{2} \cdot x^{'}$ reemplazamos $v^{'} (t) = 3 \cdot (12 p u l g)^{2} \cdot (3 p u l g / s e g$ donde $v^{'} (t) = 1296 p u l g^{3} * s e g$ by:jenny

1)Purcell 3.9 Un aeroplano que vuela hacia el oeste a 300 millas por hora pasa por arriba de la torre de control al mediodía y un segundo aeroplano que vuela hacia el norte, a la misma altitud, a 400 millas por hora, pasa por por la torre una hora después. ¿Que tan rápido está cambiando la distancia entre los aeroplanos a las 2:00 pm?

Primero se identifican las variables que vamos a utilizar durante la resolución del problema:

x(t): es la distancia recorrida por el avión numero 1 a la 1 pm (para este caso avión uno lo nombraremos como A1) y(t): es la distancia recorrida por el avión numero 2 a a 1 pm ( igual que en el anterior lo nombraremos como A2) x'(t): es la derivada de la distancia de A1 por lo tanto es la velocidad de A1 que es 300 m/h y'(t): la velocidad de A2 que es de 400 m/h lo que tenemos que buscar es s'(t) que es el cambio de distancia entre los dos aviones.

Despues pasaremos a graficar la situacion para que nos sirva como apoyo sabemos en que direcciones se dirigen los aviones por lo tanto nos da un triangulo rectangulo de donde los catetos seran "x" y "y" y la hipotenusa sera "s" y el origen sera la torre de control.

sabemos que como el A1 lleva una velocidad de 300m/h significa que cada hora el avion recorrerá 300 millas, por lo tanto cuando el A2 pasa por la torre de control a la 1 el A1 llevara recorrido 300 millas.

La ecuación principal nos quedaría asi:

$(300 + x)^{2} + y^{2} = s^{2}$ para este caso reeplazamos por "x" 30 y a "y" 400 $(300 + (300))^{2} + (400)^{2} = s^{2}$ y como queremos conocer el valor de s sacamos la raíz cuadrada y nos da como resultado que s=721.11 Como ya conocemos el valor de s, sacamos la derivada de la ecuación principal:

$(300 + x)^{2} + y^{2} = s^{2}$ $2 (300 + x) \cdot x^{'} + 2 y \cdot y^{'} = 2 s \cdot s^{'}$

y como queremos conocer s' entonces la despejamos en la ecuacion

$\frac{(300 + x) \cdot x^{'} + y \cdot y^{'}}{s} = s^{'}$ reemplazamos por los valores que obtuvimos anteriormente $\frac{(300 + 300) \cdot 300 + 400 \cdot 400}{721.11} = s^{'}$ $471.45 m / h = s^{'}$ esta es la respuesta al problema.

by:jenny

Problemas de razón de cambio

1)Purcell 3.9 Un aeroplano que vuela hacia el oeste a 300 millas por hora pasa por arriba de la torre de control al mediodía y un segundo aeroplano que vuela hacia el norte, a la misma altitud, a 400 millas por hora, pasa por por la torre una hora después. ¿Que tan rápido está cambiando la distancia entre los aeroplanos a las 2:00 pm?

a)Primero se identifican las variables que vamos a utilizar durante la resolución del problema:

x(t): es la distancia recorrida por el avión numero 1 a la 1 pm (para este caso avión uno lo nombraremos como A1) y(t): es la distancia recorrida por el avión numero 2 a a 1 pm ( igual que en el anterior lo nombraremos como A2) x'(t): es la derivada de la distancia de A1 por lo tanto es la velocidad de A1 que es 300 m/h y'(t): la velocidad de A2 que es de 400 m/h lo que tenemos que buscar es s'(t) que es el cambio de distancia entre los dos aviones.

b)Despues pasaremos a graficar la situacion para que nos sirva como apoyo sabemos en que direcciones se dirigen los aviones por lo tanto nos da un triangulo rectangulo de donde los catetos seran "x" y "y" y la hipotenusa sera "s" y el origen sera la torre de control.

c)Sabemos que como el A1 lleva una velocidad de 300m/h significa que cada hora el avion recorrerá 300 millas, por lo tanto cuando el A2 pasa por la torre de control a la 1 el A1 llevara recorrido 300 millas.

La ecuación principal nos quedaría asi:

$(300 + x)^{2} + y^{2} = s^{2}$ para este caso reeplazamos por "x" 30 y a "y" 400 $(300 + (300))^{2} + (400)^{2} = s^{2}$ y como queremos conocer el valor de s sacamos la raíz cuadrada y nos da como resultado que s=721.11 Como ya conocemos el valor de s, sacamos la derivada de la ecuación principal:

$(300 + x)^{2} + y^{2} = s^{2}$ $2 (300 + x) \cdot x^{'} + 2 y \cdot y^{'} = 2 s \cdot s^{'}$ y como queremos conocer s' entonces la despejamos en la ecuacion $f r a c (300 + x) \cdot x^{'} + y \cdot y^{'} s = s^{'}$ reemplazamos por los valores que obtuvimos anteriormente $f r a c (300 + 300) \cdot 300 + 400 \cdot 400 721.11 = s^{'}$ $471.45 m / h = s^{'}$ esta es la respuesta al problema.

By:jenny

2) Cada arista de un cubo variable esta aumentando a razon de 3 pulgadas por segundo que tan rapido esta aumentando el nivel del cubo cuando una arista es de 12 pulgadas de longitud?

x(t): la longitud de una arista v(t): el volumen del cubo x'(t): 3 pulg/seg v'(t): es la incognita a encontrar

El volumen de un cubo es $v (t) = x^{3}$ sacamos la derivada $v^{'} (t) = 3 \cdot x^{2} \cdot x^{'}$ reemplazamos $v^{'} (t) = 3 \cdot (12 p u l g)^{2} \cdot (3 p u l g / s e g$ donde $v^{'} (t) = 1296 p u l g^{3} * s e g$

by:jenny

3)Con que rapides baja el nivel de un fluido contenido en un tanque cilindrico de almacenamiento si bombeamos hacia fuera el fluido a razon 3000 l/min

\frac{d h}{d t} = 3000 l / m i n

v = p i r^{2} h (m e t r o s c u b i c o s)

m^{3} = 1000 l

\frac{d v}{d t} = 1000 p i r^{2} (\frac{d h}{d t})

4) Un disco metálico se dilata con el calor. Si su radio aumenta a razón de 0.02 pulgadas por segundo.¿Con qué rapidez aumenta el área de una de sus caras, cuando su radio es de 8.1 pulgadas?

$\frac{d r}{d t} = 0.02$ $\frac{d a}{d t} = ? / c u a n d o r = 8.1 p$

La fórmula que nos permite llevar a cabo este ejercicio es: Error al representar (error de sintaxis): {\displaystyle \ A=&pi r^2} Error al representar (error de sintaxis): {\displaystyle \frac {dA}{dt}=2&pi r\frac {dr}{dt}} reemplazo los valores conocidos, en la fórmula obtenida al derivar: Error al representar (error de sintaxis): {\displaystyle \frac {dA}{dt}=2&pi(8.1)(0.02)} $\frac{d A}{d t} = 1.01 \frac{p^{2}}{s}$

Máximos y Mínimos

Estime los números críticos de cada función y luego encuentre los valores máximos y mínimos

2): $f (x) = x^{4} - 27 x^{2}$

f^{'} (x) = 4 x^{3} - 54 x

0 = 4 x^{3} - 54 x

0 = x (4 x^{2} - 54)

x_{1} = 0

x_{2} = 4 x^{2} - 54

\sqrt[2]

4 x^{2} = 54

x^{2} = \frac{54}{4}

x_{2} = + \sqrt[2]{(} 54 / 4) = 3.67

x_{2} = - \sqrt[2]{(} 54 / 4) = - 3.67

f^{″} (x) = 12 x^{2} - 54

f^{″} (0) = 12 (0)^{2} - 54

f^{″} (0) = - 54

Máximo

f^{″} (- 3.67) = 12 (- 3.67)^{2} - 54 = 107.6

Minimo

f^{″} (+ 3.67) = 12 (+ 3.67)^{2} - 54 = 107.6

Minimo

cristianmejia

3): $f (x) = x^{3} - 4 x^{2} + 4 x - 1$

f^{'} (x) = 3 x^{2} - 8 x^{+} 4

0 = 3 x^{2} - 8 x^{+} 4

0 = (x - 2) (3 x - 2)

x_{1} = 2

x_{2} = 3 x - 3

x_{2} = 2 / 3

f^{″} (x) = 6 x - 8

f^{″} (2) = 6 (2) - 8 = 4

Minimo

f^{″} (2 / 3) = 6 (2 / 3) - 8 = 1

Minimo

cristianmejia

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