Teorema del binomio

Potencias de un binomio. Teorema del binomio

El Teorema del binomio de permite desarrollar la potencia de una suma o diferencia de dos monomios.^[1]

$(a + b)^{n} = \sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) a^{n - k} b^{k}$

Siendo $n \in ℕ$ .

Formulación del teorema

Este teorema establece: Usando la fórmula para calcular el valor de $(\binom{n}{k})$ (que también es representado ocasionalmente como $C (n, k)$ o $C_{k}^{n}$ ) se obtiene la siguiente representación:

$(x + y)^{n} = \sum_{k = 0}^{n} \frac{n!}{k! (n - k)!} x^{n - k} y^{k}$

El coeficiente de $x^{n - k} y^{k}$ en el desarrollo de $(x + y)^{n}$ es $(\binom{n}{k})$ donde $(\binom{n}{k})$ recibe el nombre de coeficiente binomial y representa el número de formas de escoger k elementos a partir de un conjunto con n elementos.

Usualmente el teorema del binomio se expresa en la siguiente variante:

$(x + y)^{n} = \sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) x^{n - k} y^{k} = (\binom{n}{0}) x^{n} + (\binom{n}{1}) x^{n - 1} y + (\binom{n}{2}) x^{n - 2} y^{2} + \dots + (\binom{n}{n - 1}) x y^{n - 1} + (\binom{n}{n}) y^{n}$

Ejemplo

Como ejemplo, para n=2, n=3, n=4, utilizando los coeficientes del triángulo de Pascal: Plantilla:Ecuación Para obtener la expansión de las potencias de una resta, basta con tomar -y en lugar de y en los términos con potencias impares de y. La expresión (2) queda de la siguiente forma:

(x - y)^{2} = x^{2} - 2 x y + y^{2}

Demostración

Demostraremos la fórmula anterior por inducción sobre N.

Base de inducción

Comprobamos que la fórumula se verifica para n = 1:

$(a + b)^{1} = \sum_{k = 0}^{1} (\binom{1}{k}) a^{1 - k} b^{k} = (\binom{1}{0}) a^{1} b^{0} + (\binom{1}{1}) a^{0} b^{1} = a + b$

Paso de inducción

Se trata de comprobar que, si la fórmula se verifica para el valor n, entonces se verifica para n + 1.

Puesto que $(\binom{n}{k}) + (\binom{n}{k - 1}) = (\binom{n + 1}{k})$ , se tiene

$(a + b)^{n + 1} = (a + b) \sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) a^{n - k} b^{k} = \sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) a^{n + 1 - k} b^{k} + \sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) a^{n - k} b^{k + 1} =$

$= (\binom{n}{0}) a^{n + 1} b^{0} + \sum_{k = 1}^{n} (\binom{n}{k}) a^{n + 1 - k} b^{k} + \sum_{k = 1}^{n} (\binom{n}{k - 1}) a^{n + 1 - k} b^{k} + (\binom{n}{n}) a^{0} b^{n + 1} =$

$= (\binom{n + 1}{0}) a^{n + 1} b^{0} + \sum_{k = 1}^{n} (\binom{n + 1}{k}) a^{n + 1 - k} b^{k} + (\binom{n + 1}{n + 1}) a^{0} b^{n + 1} = \sum_{k = 0}^{n + 1} (\binom{n + 1}{k}) a^{n + 1 - k} b^{k}$

[...]

Importante

El teorema del binomio dio un vuelco cualitativo cuando el exponente de la potencia de un binomio , se considera un número racional; obviamente con una cantidad infinita de términos, si se trata de exponentes enteros negativos o números fraccionarios, y, correlativamente, los los números combinatorios que se se usan en dichos casos, difieren del típico número combinatorio de enteros no negativos.<ref> Banach, Stefan: "Cálculo diferencial e integral", ISBN 968-18-3949-8, (1991)

↑ A Isaac Newton le cupo ampliar para potencia racional que es un desarrollo infinito

[1] A Isaac Newton le cupo ampliar para potencia racional que es un desarrollo infinito

[1]

Teorema del binomio

Índice

Potencias de un binomio. Teorema del binomio

Formulación del teorema

Ejemplo

Demostración

Base de inducción

Paso de inducción

Importante

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Teorema del binomio

Potencias de un binomio. Teorema del binomio

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