Problemario de Señales y Sistemas/Modulación de señales y respuesta de sistemas LTI

Problemas

Problema #1

Considere el sistema que se muestra en el que la señal de entrada, $x(t)$, es modulada por una señal $p(t)$ para producir la señal $z(t)(=x(t)p(t))$. La señal $z(t)$ pasa a través de un sistema lineal invariante en el tiempo cuya respuesta el impulso es $h(t)$.

Se desea que determine y grafique el par: $(z(t),Y(j\omega ))$.

En este caso $h(t)=3e^{-5t}u(t)$, $p(t)=\cos (2\pi t)$ y $x(t)=\{\begin{array}{cc}1& 0<t<0.5\\ 0& 0.5<t<1\end{array}$, que se repite cada segundo.

Subsección de Solución 1

Por: Pedro Torruella #04-37657

Graficamente tenemos que x(t) es un tren de pulsos, al modularla con p(t) nos queda Z(t):

$z(t)=cos(2\pi t)\cdot \sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}u(t-k)-u(t-k-0.5)(1)$

Resulta más sencillo trabajar en el dominio de la frecuencia, se deben obtener los coeficientes de la serie de fourier para z(t). Esto por medio de

$An=\underset{\mathrm{T}}{\int }z(t)\cdot e^{-jn{\omega }_{o}t}dt(2)$

$An=\underset{0}{\overset{0.5}{\int }}cos(2\pi t)\cdot e^{-jn{\omega }_{o}t}d\tau (3)$

Despues de integrar por partes y despejar, obtengo:

$z(t)=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\frac{jn}{2\pi (1-n)}\cdot [e^{jn\pi }+1]\cdot e^{jn{\omega }_{o}t}(4)$

Aplicando la transformada de Fourier obtengo

$Z(J\omega )=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\frac{jn}{2\pi (1-n)}\cdot [e^{jn\pi }+1]\cdot 2\pi \delta (\omega -2\pi n)(5)$

Ahora solo multiplico por H(jw) para obtener Y (jw)

$Y(J\omega )=[\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\frac{jn}{2\pi (1-n)}\cdot [e^{jn\pi }+1]\cdot 2\pi \delta (\omega -2\pi n)]\cdot \frac{3}{5+j\omega }(6)$

-- falta graficar las funciones...