Problemario de Métodos Matemáticos de la Física I/Sección 11.

1. Describir el dominio para cada una de las siguientes funciones de variable compleja.

a) $f(z)=\frac{1}{z^2+1}$

Analizando la función, observamos que esta se indefine cuando el denominador es igual a cero, es decir cuando

$z=\pm i$

Por lo tanto f(z) está definida para todo el plano, excepto $\pm i$

b) $f(z)=Arg(\frac{1}{z})$

Esta función f(z) se indefine cuando

$z=0$

Entonces su dominio es todo el plano complejo excepto $z=0$

c) $f(z)=\frac{1}{1+|z^2|}$

De igual forma que en el a) esta función se indefine cuando el denominador es igual a cero, en este caso cuando

$|z^2|=1$

Con esto, se tiene que el dominio de esta función es

$𝒟=(x+iy)\mathrm{\forall }{x}^2+y^2\ne 1$

2. Exprese la función $f(z)=z^3+z+1$ en la forma $f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$.

Sea $z=x+iy$, entonces

$f(z)=(x+iy{)}^3+(x+iy)+1$

Desarrollando f(z)

$f(z)=x^3-3x{y}^2+x+1+i(3x^{2}y+y^3+y)$

donde

$u(x,y)=x^3-3x{y}^2+x+1$

$v(x,y)=3x^{2}y-y^3+y$

3. Sea $f(z)=x^2-y^2-2y+i(2x-2xy)$ donde $z=x+iy$. Expresar f(z) en términos de z.

De la teoría de los números complejos sabemos que

$x=\frac{z+\overline{z}}{2}$

$y=\frac{z-\overline{z}}{2}$

Sustituyendo estas últimas expresiones en f(z). Tenemos

$f(z)=(\frac{z+\overline{z}}{2}{)}^2-(\frac{z-\overline{z}}{2}{)}^2+i(\frac{z-\overline{z}}{2}{)}^2+i(z+\overline{z})-\frac{1}{2}(z+\overline{z})(z-\overline{z})$

Haciendo álgebra, f(z) queda expresada como

$f(z)={\overline{z}}^2+2iz$

4. Escribir la función $f(z)=z+\frac{1}{z}$ con $z\ne 0$ en la forma $f(z)=u(r,\theta )+iv(r,\theta )$. Expresar f(z) en términos de z.

Definiendo $z=r{e}^{i\theta }$ y sustituyendo en f(z)

$f(z)=r{e}^{i\theta }+\frac{1}{r{e}^{i\theta }}$

Reescribiendo esta última expresión de f(z) en términos de senos y cosenos y agrupando parte real y parte imaginaria.

$f(z)=(r+\frac{1}{r})cos\theta +i(r+\frac{1}{r})sen\theta$

donde

$u(x,y)=(r+\frac{1}{r})cos\theta$

$v(x,y)=(r+\frac{1}{r})sen\theta$