Mecánica cuántica/Sistemas de espín

Consideremos las tres matrices complejas hermíticas ($J_i^{†}=J_i$) $2\times 2$

$J_1=\frac{\hslash }{2}\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)$

$J_2=\frac{\hslash }{2}\left(\begin{array}{cc}0& -i\\ i& 0\end{array}\right)$

$J_3=\frac{\hslash }{2}\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)$

tales que

$[J_i,J_j]=i\hslash {ϵ}_{ijk}{J}_k.$

Estas a su vez se pueden definir en términos de las matrices Pauli ${\rho }_i$:

$J_i=\frac{\hslash }{2}{\rho }_i$

• Pueden existir sistemas físicos (sistemas de espín $\frac{1}{2}$ y momento angular $\frac{1}{2}$) para los cuales el momento angular viene descrito por estas 3 matrices $2\times 2$.

$\underset{{\equiv }_{def}\{|+⟩,|-⟩\}}{\underbrace{\{|\frac{1}{2}\frac{1}{2}⟩,|\frac{1}{2}-\frac{1}{2}⟩\}}}ℍ\ni |\alpha ⟩=\left(\begin{array}{c}{\alpha }_1\\ {\alpha }_2\end{array}\right)$

Al medir $J_3$ encontraré $\frac{\hslash }{2}$ ó $-\frac{\hslash }{2}$.

Los vectores de ${ℍ}^{1/2}$ rotan:

${ℍ}^{1/2}\ni |\alpha ⟩\mapsto |{\alpha }^{\prime }⟩=e^{-i\frac{\varphi }{\hslash }\overrightarrow{n}\cdot \overrightarrow{J}}|\alpha ⟩=e^{-i\frac{\varphi }{2}\overrightarrow{n}\cdot \overrightarrow{\rho }}|\alpha ⟩$

$R_z(\varphi )=e^{-i\frac{\pi }{2}{\rho }_z}\doteq \left(\begin{array}{cc}{e}^{-i\pi /2}& 0\\ 0& e^{i\pi /2}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-i& 0\\ 0& i\end{array}\right)$

$|\alpha ⟩\mapsto |{\alpha }^{\prime }⟩=\left(\begin{array}{cc}{e}^{-i\pi /2}& 0\\ 0& e^{-i\pi /2}& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-i& 0\\ 0& i\end{array}\right)$

$\begin{array}{cc}{R}_y(\beta )& =e^{-i\frac{\beta }{2}{\rho }_y}\\ & ={ℐ}_{2\times 2}+[-i\frac{\beta }{2}]{\rho }_y+\frac{1}{2!}{[-i\frac{\beta }{2}]}^2{\rho }_y{\rho }_y+\cdots \text{(serie de Taylor del operador)}\\ & =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n!}{\left(\frac{-i\beta }{2}\right)}^n{\rho }_y^n\end{array}$

Aunque no es tan fácil como con ${\rho }_z$ que es diagonal, ll tener varios ceros esperamos que las potencias de las otras matrices de Pauli tengan una periodicidad y podamos resolver la serie de Taylor fácilmente.

${\rho }_y^2\equiv {\rho }_y{\rho }_y=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)={ℐ}_2$

${\rho }_y^3={\rho }_y{ℐ}_2={\rho }_y=\left(\begin{array}{cc}0& -i\\ i& 0\end{array}\right)$

${\rho }_y^4={\rho }_y^3{\rho }_y={\rho }_y^2={ℐ}_2$

Es claro que las potencias pares de ${\rho }_y$ son la identidad y las potencias impares son iguales a si misma. Teniendo en cuenta también las potencias de la unidad imaginaria,

$(-i{)}^{2n}={((-i{)}^2)}^n=(-1{)}^n$

$(-i{)}^{2n+1}=(-i{)}^{2n}(-i)=(-1{)}^n(-i)$

llegamos a

$\begin{array}{cc}{R}_y(\beta )& =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{(2n)!}{\left(\frac{-i\beta }{2}\right)}^{2n}{ℐ}_2+\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{(2n+1)!}{\left(\frac{-i\beta }{2}\right)}^{2n+1}{\mathcal{\rho }}_y\\ & ={ℐ}_2\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{(2n)!}(-1{)}^n{\left(\frac{\beta }{2}\right)}^{2n}-i{\rho }_y\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{(2n+1)!}(-1{)}^n{\left(\frac{\beta }{2}\right)}^{2n+1}\\ & =\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)\cos \left(\frac{\beta }{2}\right)-i\left(\begin{array}{cc}0& -i\\ i& 0\end{array}\right)\sin \left(\frac{\beta }{2}\right)\\ & =\left(\begin{array}{cc}\cos \frac{\beta }{2}& -\sin \frac{\beta }{2}\\ \cos \frac{\beta }{2}& \sin \frac{\beta }{2}\end{array}\right)\end{array}$

Entonces, rotación alrededor del eje $Y$

$R_y(\varphi )=\left(\begin{array}{cc}\cos \frac{\varphi }{2}& -\sin \frac{\varphi }{2}\\ \cos \frac{\varphi }{2}& \sin \frac{\varphi }{2}\end{array}\right)$

$|\alpha ⟩\in {ℍ}^{j=1/2}:\{|\frac{1}{2}\frac{1}{2}⟩,|\frac{1}{2}-\frac{1}{2}⟩\}$

$J_z=\frac{\hslash }{2}\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)$

La rotación más general es

$\begin{array}{ccc}R(\alpha ,\beta ,\gamma )& =& R_z(\alpha )R_y(\beta )R_z(\gamma )\\ & =& \left(\begin{array}{cc}{e}^{-i\frac{\alpha }{2}}& 0\\ 0& e^{i\frac{\alpha }{2}}\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}\ddots & \\ & \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}\ddots & \\ & \end{array}\right)\\ & =& \left(\begin{array}{cc}{e}^{i\frac{\alpha -\gamma }{2}}\cos \frac{\beta }{2}& \\ & \ddots \end{array}\right)\in SU(2)\end{array}$

Rotaciones:

${ℝ}^3,{ℍ}^{j=1}$ matrices de $SO(3)$

${ℍ}^{j=1/2}$ matrices de $SU(2)$

Cuando la giramos una vez, cambia de signo, y otra vez vuelve al mismo estado.

$R_y(2\pi )=\left(\begin{array}{cc}\cos \frac{2\pi }{2}=-1& \cdots =0\\ 0& -1\end{array}\right)=-ℐ$

$R_y(2\pi )R_y(2\pi )=R_y(4\pi )=ℐ=R_y(0)$

Pon a los vectores de la base la notación $|+⟩,|-⟩$

$J_z|\pm ⟩=\pm \frac{\hslash }{2}|\pm ⟩$

• ¿Cómo construir un estado tal que es propio de $\overrightarrow{J}$ en la dirección $\overrightarrow{n}$ (es decir, gira en esa dirección)? Dos formas:

$\overrightarrow{n}\cdot \overrightarrow{J}=n_x{J}_x+\dots$

$\overrightarrow{n}\cdot \overrightarrow{J}|+{⟩}_{\overrightarrow{n}}=\frac{\hslash }{2}|+{⟩}_{\overrightarrow{n}}(?)$

$R_z(\varphi )R_y(\theta )|+{⟩}_z=|+{⟩}_{\overrightarrow{n}}$ (excepto fase)