Mecánica cuántica/Simetrías discretas: Paridad

Rotaciones y traslaciones dependen de un parámetro continuo que puede hacerse muy pequeño (infinitesimal). No todas las simetrías son de este tipo. La paridad o inversión espacial $\mathrm{\Pi }$ se define como una transformación de orden 2 $({\mathrm{\Pi }}^2=\mathrm{\Pi }\mathrm{\Pi }=ℐ)$ que cambia el signo del valor espacial de $\overrightarrow{x}$.

$|\alpha ⟩\stackrel{\mathrm{\Pi }}{\to }\mathrm{\Pi }|\alpha ⟩$

$⟨x{⟩}_{\alpha }=⟨\alpha |\overrightarrow{x}|\alpha ⟩\to ⟨\alpha |{\mathrm{\Pi }}^{†}\overrightarrow{x}\mathrm{\Pi }|\alpha ⟩=-⟨\alpha |\overrightarrow{x}|\alpha ⟩$

${\mathrm{\Pi }}^{†}\overrightarrow{x}\mathrm{\Pi }=-\overrightarrow{X}$

$x_i\mathrm{\Pi }=-\mathrm{\Pi }{x}_i$

$X_i\mathrm{\Pi }+\mathrm{\Pi }{X}_i=0\text{(anti-conmutan)}$

$[x_i,\mathrm{\Pi }]=2X_i\mathrm{\Pi }\ne 0$

$\overrightarrow{X}|\overrightarrow{x}⟩=\overrightarrow{x}|\overrightarrow{x}⟩$

Sí, mejor pon el operador en mayúsculas...

$\mathrm{\Pi }|\overrightarrow{x}⟩={\eta }_I|-\overrightarrow{x}⟩$

${\mathrm{\Pi }}^2=ℐ\Rightarrow {\mathrm{\Pi }}^2|\overrightarrow{x}⟩=\mathrm{\Pi }{\eta }_I|-\overrightarrow{x}⟩={\eta }_I^2|\overrightarrow{x}⟩=|\overrightarrow{x}⟩$

$\Rightarrow {\eta }_I=\pm 1$

(tengo definiciones consistentes para ${\eta }_I$ igual a +1 y -1)

• $⟨\overrightarrow{P}{⟩}_{\alpha }$ también cambia el signo bajo $\mathrm{\Pi }$

${\mathrm{\Pi }}^{†}\overrightarrow{P}\mathrm{\Pi }$

• $⟨\overrightarrow{J}{⟩}_{\alpha }$ no cambia de signo

$\overrightarrow{p}=m\frac{d\overrightarrow{x}}{dt}$

$\overrightarrow{L}=\overrightarrow{x}\times \overrightarrow{p}$

${\mathrm{\Pi }}^{†}{J}_i\mathrm{\Pi }=J_i$

$[\mathrm{\Pi },J_i]=0\text{conmuta}$

(Sabemos que $\mathrm{\Pi }$ y ${\mathrm{\Pi }}^{†}$ son la misma cosa)

Podemos ver la paridad como una "imagen especular". Las posiciones y momentos cambian de signo pero las rotaciones no. La explicación de esto último se puede ver por aplicación del producto vectorial, que no crea vectores sino pseudovectores, ya que al otro lado del espejo yo debería ver $\overrightarrow{L}$ hacia el mismo sentido pero se ve hacia otro.

De otro modo, si una pelotita está girando en un lado del espejo piensa que al otro lado el momento angular no cambia y el spin apunta hacia el mismo sentido, ya que el producto vectorial lo respeta.

Todas las fuerzas salvo las de interacción débil respetan la paridad.

• Supongamos que tenemos un sistema $|\mathrm{\Psi }⟩$ con paridad intrínseca ${\eta }_I=+1$ caracterizado por una función de onda $\mathrm{\Pi }|\overrightarrow{x}⟩={\eta }_I|-\overrightarrow{x}⟩$

$\mathrm{\Psi }(\overrightarrow{x})\equiv ⟨\overrightarrow{x}|\mathrm{\Psi }⟩$

función de onda del estado $\mathrm{\Pi }|\mathrm{\Psi }⟩$?

$⟨\overrightarrow{x}\underbrace{|\mathrm{\Pi }|\mathrm{\Psi }⟩}=⟨-\overrightarrow{x}|\mathrm{\Psi }⟩=\mathrm{\Psi }(-\overrightarrow{x})$

$\mathrm{\Pi }|\mathrm{\Psi }⟩\doteq \mathrm{\Psi }(-\overrightarrow{x})$

• Si $|\mathrm{\Psi }⟩$ es un estado propio de $\mathrm{\Pi }$

$\mathrm{\Pi }|\mathrm{\Psi }⟩=\eta |\mathrm{\Psi }⟩$

${\mathrm{\Pi }}^2|\mathrm{\Psi }⟩={\eta }^2|\mathrm{\Psi }⟩\Rightarrow \eta =\{\begin{array}{c}+1\\ -1\end{array}$

$\overrightarrow{x}|\eta |\mathrm{\Psi }⟩=\eta \mathrm{\Psi }(\overrightarrow{x})$

si $\eta =+1$,

$\mathrm{\Psi }(\overrightarrow{x})=\mathrm{\Psi }(-\overrightarrow{x})\text{función de onda par (simétrica)}$

si $\eta =-1$,

$\mathrm{\Psi }(\overrightarrow{x})=-\mathrm{\Psi }(-\overrightarrow{x})\text{función de onda impar (antisimétrica)}$

• Las ondas planas $p(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi \hslash }}{e}^{\frac{i}{\hslash }p\cdot x}$ no tienen paridad bien definida.
• Los armónicos esféricos sí tienen paridad bien definida.

$Y_l^m(\theta ,\phi \to (-1{)}^l{Y}_l^m(\theta ,\phi )$

$\mathrm{\Pi }|\alpha lm⟩=(-1{)}^l|\alpha lm⟩$

$([\mathrm{\Pi },J_i]=0)$

$\overrightarrow{x}\to -\overrightarrow{x}$

$\{\begin{array}{c}r\to r\\ \theta \to \pi -\theta \\ \phi \to \phi +\pi \end{array}$

Si además el sistema tiene paridad intrínseca $\mathrm{\Pi }|\overrightarrow{x}⟩={\eta }_I|-\overrightarrow{x}⟩$ sup. una función de onda de paridad bien definida (simétrica o antrisimétrica)

$\mathrm{\Psi }(-\overrightarrow{x})={\eta }_{\mathrm{\Psi }}\mathrm{\Psi }(\overrightarrow{x})$

¿Cuál es la paridad total del estado $|\mathrm{\Psi }⟩$ con esa función de onda?

$\mathrm{\Pi }|\mathrm{\Psi }⟩\doteq \eta \mathrm{\Psi }(x)$

La función de onda es

$⟨x|{\mathrm{\Pi }}_1|\mathrm{\Psi }⟩={\eta }_I⟨-x|\mathrm{\Psi }⟩={\eta }_I\mathrm{\Psi }(-x)={\eta }_I{\eta }_{\mathrm{\Psi }}\mathrm{\Psi }(x)$

$\eta ={\eta }_I{\eta }_{\mathrm{\Psi }}$

• Si $[H,\mathrm{\Pi }]=0$ $\Rightarrow$ Los autoestados de $H$ tienen paridad bien definida (funciones pares o impares). $\Rightarrow$ La paridad se conserva.

• Es útil definir el "spin-paridad" $J^p(J^{\pi })$ de las partículas.

Ejemplo: Se observa que un núcleo puede decrecer a través de interacciones fuertes en una partícula

$\alpha$ $(0^{+})$ y un estado nuclear de tipo $0^{+}$. También se observa menos frecuentemente procesos del tipo

${16}^{}0{\to }^{12}C+\alpha$

$(2^{-})\to 0^{+}{0}^{+}$

$\dots$