Mecánica cuántica/Representación de momentos

$P_i$ es el generador de traslaciones en la dirección $x_i$

$T(d{x}_i)=ℐ-\frac{i}{\hslash }{P}_{i}d{x}_i$

$T(dx)=ℐ-\frac{i}{\hslash }(P_{x}dx+P_{y}dy-P_{z}dz)$

$ℍ:\{\overrightarrow{x}\}$

Caso 1-dimensional

$T(dx)|x⟩=|x+dx⟩$

$(ℐ-\frac{i}{\hslash }Pdx)|x⟩=|x+dx⟩$

$P|x⟩=\frac{|x+dx⟩-|x⟩}{dx}i\hslash$

$⟨x|P^{†}=⟨x|P=-i\hslash \frac{⟨x+dx|-⟨x|}{dx}$

¿Cómo actúa P sobre el estado $|\mathrm{\Psi }⟩$?

$⟨z|P|\mathrm{\Psi }⟩=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}d{x}^{\prime }⟨x|P|x^{\prime }⟩⟨x^{\prime }|\mathrm{\Psi }⟩$

$ℐ0\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}d{x}^{\prime }|x^{\prime }⟩⟨x^{\prime }|$

$=i\hslash \frac{⟨x+dx|-⟨x|}{dx}\int d{x}^{\prime }|x^{\prime }⟩\mathrm{\Psi }(x^{\prime })$

$=-i\hslash \underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}d{x}^{\prime }\frac{⟨x+dx|x⟩}{dx}\mathrm{\Psi }(x^{\prime })$

$=-i\hslash \underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}d{x}^{\prime }\frac{-\stackrel{\delta (x-x^{\prime })}{\overbrace{⟨x|x^{\prime }⟩}}}{dx}\mathrm{\Psi }(x^{\prime })$

$=i\hslash \left(\frac{\mathrm{\Psi }(x+dx)-\mathrm{\Psi }(x)}{dx}\right)$

$=i\hslash \frac{df}{dx}=⟨x|P|\mathrm{\Psi }⟩$

Recapitulemos:

Cuanto tenemos un estado $|\alpha ⟩$ en el caso discreto (que es lo que estamos haciendo)

$|\alpha ⟩\doteq \left(\begin{array}{c}{\alpha }_1\\ ⋮\end{array}\right)$

${\alpha }_i=⟨e_i|\alpha ⟩\text{(componente i de }|\alpha ⟩\text{ )}$

$A|\alpha ⟩\doteq \left(\begin{array}{ccc}{A}_{11}& A_{12}& \cdots \\ & & \\ & & \end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{\alpha }_1\\ \end{array}\right)$

Componente $i$ de $A|\alpha ⟩$ es $⟨e_i|A|\alpha ⟩$

$\{|x⟩\}continuo$

$|\mathrm{\Psi }⟩\doteq \mathrm{\Psi }(x)$

$P|\mathrm{\Psi }⟩\doteq -i\hslash \frac{d\mathrm{\Psi }(x)}{dx}$

El operador momento si utilizo la base de las $x$ es

$P\doteq -i\hslash \frac{d}{dx}$

3-dimensiones

$\overrightarrow{P}\doteq -i\hslash \mathrm{\nabla }$

$=-i\hslash (P_x,P_y,P_z)$

Os dejo que os convenzáis de que en una dimensión

$⟨X{⟩}_{\mathrm{\Psi }}=⟨\mathrm{\Psi }|X|\mathrm{\Psi }⟩=\int dx{\mathrm{\Psi }}^{*}(x)x\mathrm{\Psi }(x)$

$⟨P{⟩}_{\mathrm{\Psi }}=⟨\mathrm{\Psi }|P|\mathrm{\Psi }⟩=\int dx{\mathrm{\Psi }}^{*}(x)(-i\hslash \frac{d\mathrm{\Psi }(x)}{dx})$

$⟨X_i{⟩}_{\mathrm{\Psi }}=⟨\mathrm{\Psi }|X_i|\mathrm{\Psi }⟩=\int d^{3}x{\mathrm{\Psi }}^{*}(\overrightarrow{x})x_i\mathrm{\Psi }(\overrightarrow{x})$

$⟨P_i{⟩}_{\mathrm{\Psi }}=⟨\mathrm{\Psi }|P_i|\mathrm{\Psi }⟩=\int d^{3}x{\mathrm{\Psi }}^{*}(\overrightarrow{x})(-i\hslash \frac{\partial \mathrm{\Psi }(\overrightarrow{x})}{\partial x_i})$

Alternativamente podría haber usado una base de estados $\{\overrightarrow{p}\}$ propios de $\overrightarrow{P}$ (representación de momentos)

$\overrightarrow{P}|\overrightarrow{p}⟩=\overrightarrow{p}|\overrightarrow{p}⟩$ $P_i|\overrightarrow{p}⟩=p_i|\overrightarrow{p}⟩$

$⟨\overrightarrow{p}|\overrightarrow{p}⟩={\delta }^3(\overrightarrow{p}-\overrightarrow{p}{}^{\prime })={\mathrm{\Pi }}_i\delta (p_i-{p_i}^{\prime })$

$\int d^{3}p|\overrightarrow{p}⟩⟨\overrightarrow{p}|$

$|\mathrm{\Psi }⟩$ su función de onda en esa representación se etiqueta

$\hat{\mathrm{\Psi }}(\overrightarrow{p})=⟨\overrightarrow{p}|\mathrm{\Psi }⟩$

$\mathrm{\Psi }(\overrightarrow{x})=⟨\overrightarrow{x}|\mathrm{\Psi }⟩$

$⟨\mathrm{\Psi }|\mathrm{\Psi }⟩=\underset{{ℝ}^3}{\int }{d}^{3}p\hat{\mathrm{\Psi }}(\overrightarrow{p}{)}^{*}\hat{\mathrm{\Psi }}(\overrightarrow{p})$

$=\int d^{3}p|\hat{\mathrm{\Psi }}(p){|}^2=1$

¿Cómo se expresan los estados $|\overrightarrow{p}⟩$ en la base $\{|\overrightarrow{x}⟩\}$ y viceversa?

$p(x)=⟨x|p⟩$

$⟨x|P|p⟩⟨x|p|p⟩\text{(la }p\text{ saldría fuera)}$

$-i\hslash \frac{dp(x)}{dx}=pp(x)$

$p(x)=N{e}^{\frac{i}{\hslash }px}$

$⟨p^{\prime }|p⟩=\delta (p^{\prime }-p)$

$\int dxN{e}^{-\frac{i}{\hslash }{p}^{\prime }x}N{e}^{\frac{i}{\hslash }{p}_x}$

$=\int dx{N}^2{e}^{\frac{i}{\hslash }(p-p^{\prime })x}$

Como sabemos que

$\delta (p)=\frac{1}{2\pi }\int dx{e}^{ixp}$

No se qué momentos bien definidos

$p(x)=⟨x|p⟩$

$p(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi \hslash }}{e}^{\frac{i}{\hslash }px}$

$⟨\overrightarrow{x}|\overrightarrow{p}⟩=\frac{1}{(2\pi \hslash {)}^{3/2}}{e}^{\frac{i}{\hslash }\overrightarrow{p}\cdot \overrightarrow{x}}$

¿Función de onda de $|\overrightarrow{x}⟩$ en la representación de momentos?

$⟨p|x⟩=⟨x|p{⟩}^{*}=\frac{1}{2\pi \hslash }{e}^{\frac{i}{\hslash }px}$

Caso 3-dimensional

$⟨\overrightarrow{p}|\overrightarrow{x}⟩=⟨\overrightarrow{x}|\overrightarrow{p}{⟩}^{*}$

$\to$ ¿Cómo se relacionan las funciones de onda $\mathrm{\Psi }(x)$ y $\hat{\mathrm{\Psi }}(p)$?

$\mathrm{\Psi }(x)=⟨x|\mathrm{\Psi }(x)⟩$

$\hat{\mathrm{\Psi }}(p)=⟨p|x⟩=\int dx⟨p|x⟩⟨x|\mathrm{\Psi }⟩=\int dx\frac{1}{\sqrt{2\pi \hslash }}{e}^{-\frac{i}{\hslash }px}\mathrm{\Psi }(x)$

$\hat{\mathrm{\Psi }}(p)=ℱ[\mathrm{\Psi }(x)]$

$\mathrm{\Psi }(\overrightarrow{x})=⟨\overrightarrow{x}|\mathrm{\Psi }⟩$

$\hat{\mathrm{\Psi }}(\overrightarrow{p})=\int dx\frac{1}{(2\pi \hslash {)}^{3/2}}{e}^{-\frac{i}{\hslash }\overrightarrow{x}\cdot \overrightarrow{p}}\mathrm{\Psi }(x)$

${ℱ}^{-1}[\hat{\mathrm{\Psi }}(p)]$

La transformada $ℱ$ está definida para distribuciones

$|x_0⟩\to f(x)=⟨x|x_0⟩=\delta (x-x_0)$

¿Función de onda en representación de posiciones? $ℱ[\delta (x-x_0)]=\hat{f}(p)=\frac{1}{\sqrt{2\pi \hslash }}\int dx{e}^{-\frac{i}{\hslash }px\delta (x-x_0)}$

$\hat{f}(p)=\frac{1}{\sqrt{2\pi \hslash }}{e}^{-\frac{i}{\hslash }p{x}_0}$

Probabilidad de obtener P y obtener $p\pm \frac{\mathrm{\Delta }p}{2}$

$\int dp|\hat{f}(p){|}^2$

${|\hat{f}(p)|}^2\text{densidad de probilidad}$

$\Rightarrow$ El módulo al cuadrado de la función de onda en la representación de momentos da el módulo de la densidad de probabilidad de encontrar la partícula.

$|\hat{f}(p){|}^2\text{( }p\text{ ilocalizado)}$

Deben cumplir la relación de incertidubre de Heissemberg

${\mathrm{\Delta }}_{\mathrm{\Psi }}X\cdot {\mathrm{\Delta }}_{\mathrm{\Psi }}P\ge \frac{\hslash }{2}.$

¿Son estos vectores realmente estados físicos?\\

$\{|x⟩\}$, $\{|x⟩\}$

$X|x⟩=x|x⟩$, $⟨x|x^{\prime }⟩=\delta (x-x^{\prime })$

Realmente no, pues no son cuadrado sumables y su módulo no está bien definido. Los necesito únicamente como base de mi espacio de Hilbert, sin son estados físicos os lo dejo a vosotros.

Siempre se puede aproximar una gaussiana tanto como se quiere a la delta de Dirac.

$⟹$ Para una gaussiana se obtiene que

${\mathrm{\Delta }}_{\mathrm{\Psi }}X\cdot {\mathrm{\Delta }}_{\mathrm{\Psi }}P=\frac{\hslash }{2}$

"Es la mejor de las distribuciones"

$\mathrm{\Psi }(x)=⟨x|\mathrm{\Psi }⟩=\frac{1}{{\pi }^{1/4}\sqrt{d}}{e}^{ikx-\frac{x^2}{2d^2}}$ $=...e^{ikx}{e}^{-\frac{x^2}{2d^2}}$ Es una gaussiana....

$⟹$

• $p\approx k\hslash$
• $\mathrm{\Delta }p\approx \frac{\hslash }{2}$
• $x\approx 0$
• $\mathrm{\Delta }x\approx d$