Mecánica cuántica/Postulado de simetrización

Los estados de $n$ partículas idénticas son totalmente simétricas o antisimétricas bajo el intercambio de dos cualquiera de ellas (trasposiciones). En el primer caso se dice que las partículas obedecen la estadística de Bose-Einstein y se denominan bosones.

$\left(\begin{array}{cc}i& j\end{array}\right)|n\text{ bosones idénticos}⟩=+|n\text{ bosones idénticos}⟩$

donde por el primer lado de la ecuación es igual también a $|i_1\dots i_n{⟩}_s$.

En el segundo caso se dice que satisfacen la estadística de Fermi-Dirac (fermiones):

$\left(\begin{array}{cc}i& j\end{array}\right)|n\text{ fermiones idénticos}⟩=-|n\text{ fermiones idénticos}⟩$

donde por el primer lado de la ecuación se puede igualar tambien a $|i_1\dots i_n{⟩}_a$

• Es un hecho empírico que NO existen sistemas de partículas idénticas de simetría mixta o sin simetría.
• Conexión spin-estadistica: Las partículas de spin semientero $(\frac{1}{2},\frac{3}{2},\dots )$ son fermiones y las de spin entero $(0,1,2,\dots )$ son bosones.

La Teoría Cuántica de Campos (relativista) supera a la Mecanica Cuántica (Novel) pues en esta última es necesario postular dicha conexión.

• Consecuencia: Principio de exclusión de Pauli

Electrón, $s=\frac{1}{2}$: fermión $\Rightarrow$ No es posible tener dos electrones en el mismo estado cuántico.

Imaginemos

$\left(\begin{array}{cc}1& 2\end{array}\right)|aa⟩=|aa⟩$

$\Rightarrow$ ¡Simétrico!, y no puede ser al tratarse de fermiones.

• Para ilustrar el comportamiento de fermiones y bosones consideremos el siguiente ejemplo:

Supongamos dos partículas que pueden encontrarse en dos estados $|a⟩$ y $|a^{\prime }⟩$

• Si las dos partículas no son idénticas el sistema puede encontrarse en los siguientes estados:

$\mathbb{\{}|aa⟩,|a{a}^{\prime }⟩,|a^{\prime }a⟩,|a^{\prime }{a}^{\prime }⟩\}\text{ base}$

Si son fermiones idénticos debo antisimetrizar su estado $s_2=\{e,\left(\begin{array}{cc}1& 2\end{array}\right)\}$

$\underset{antisimetrizador}{\underbrace{a}}|aa⟩=\frac{1}{2}(|aa⟩-|aa⟩)=0$

$a|a{a}^{\prime }⟩=\frac{1}{2}(|a{a}^{\prime }⟩-|a^{\prime }a⟩)=0\stackrel{norm.}{\Rightarrow }\frac{1}{\sqrt{2}}(|a{a}^{\prime }⟩-|a^{\prime }a⟩)=|a{a}^{\prime }{⟩}_a$

$a|a^{\prime }a⟩=0\text{¿Es el mismo?}$

$a|a^{\prime }{a}^{\prime }⟩=0\text{ son menos *sonables*}$

• Si son bosones idénticos debo "simetrizar"

$s=\frac{1}{2}[e+\left(\begin{array}{cc}1& 2\end{array}\right)]$

$S|aa⟩=|aa⟩$

$S|a{a}^{\prime }⟩\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{2}}(|a{a}^{\prime }⟩+\underset{|a{a}^{\prime }{⟩}_s}{\underbrace{|a^{\prime }a⟩}})$

$S|a^{\prime }{a}^{\prime }⟩=|a^{\prime }{a}^{\prime }⟩$

• A temperaturas bajas las partículas tienden a ocupar el estado fundamental de energía.

Bosones $\to$ Condiciones de Bose-Enstein

• Supongamos que conocemos el espectro de energías de una partícula escalar (bosón) sometida a un cierto potencial.

$H|{\varphi }_n⟩=E_n|{\varphi }_n⟩$

$|{\varphi }_n⟩\doteq {\varphi }_n(x)$

$\Rightarrow$ El espectro de energías del sistema formado por dos partículas, si no hay interacción entre ellas, es

$|{\varphi }_{nm}⟩=|{\varphi }_n⟩\otimes |{\varphi }_m⟩$

$H=H_1+H_2$

$H|{\varphi }_{nm}⟩=(E_n+E_m)|{\varphi }_n{\varphi }_m⟩;{\varphi }_{nm}(x_1,x_2)={\varphi }_n(x_1),{\varphi }_m(x_2)$

Simetrizamos el estado:

$S|{\varphi }_n{\varphi }_m⟩\to \frac{1}{\sqrt{2}}(|{\varphi }_n{\varphi }_m⟩+|{\varphi }_m{\varphi }_n⟩)\equiv |{\varphi }_n{\varphi }_m{⟩}_s$

${\varphi }_{nm}^S(x_1,x_2)=\frac{1}{\sqrt{2}}[{\varphi }_n(x_1)\cdot {\varphi }_m(x_2)+{\varphi }_m(x_1){\varphi }_n(x_2)]$

El estado de mínima energía: $2E_0=E_0+E_0$

$|{\varphi }_0{\varphi }_0{⟩}_s\doteq {\varphi }_0(x_1){\varphi }_0(x_2)\text{ esto sería el estado }|{\varphi }_0{\varphi }_0⟩$