Mecánica cuántica/Operadores vectoriales y tensoriales

Operadores vectoriales

Las magnitudes clásicas $\overrightarrow{x}$, $\overrightarrow{p}$, $\overrightarrow{L}$, $\dots$ son vectores de ${ℝ}^3$ que bajo rotaciones transforman según una matriz de SO(3):

$R(\overrightarrow{i}\overrightarrow{j}\overrightarrow{k})=\left(\begin{array}{ccc}\overrightarrow{i}& \overrightarrow{j}& \overrightarrow{k}\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}{R}_{11}& R_{12}& \cdots \\ ⋮& & \\ & & \end{array}\right)$

$\overrightarrow{v}=\left(\begin{array}{c}{v}_1\\ v_2\\ v_3\end{array}\right)$

$R\overrightarrow{v}\doteq \underset{\in SO(3)}{\underbrace{\left(\begin{array}{ccc}{R}_{11}& R_{12}& \cdots \\ ⋮& & \\ & & \end{array}\right)}}\left(\begin{array}{c}{v}_1\\ v_2\\ v_3\end{array}\right)$

$e^{-\frac{i}{\hslash }\varphi \overrightarrow{n}\cdot \overrightarrow{J}}$

Cuánticamente las rotaciones actúan sobre vectores $|\alpha ⟩$ de un espacio de Hilbert ($ℍ\ne {ℝ}^3$), no sobre los operadores.

¿Cuál es el análogo cuántico de $v{\text{'}}_1=R_{ij}{V}_j$? Hará referencia al valor esperado del operador vectorial:

Bajo rotaciones:

$⟨v_i⟩=⟨\alpha |v_i|\alpha ⟩\stackrel{R}{\to }⟨\alpha |D(R{)}^{†}{v}_{i}D(R)|\alpha ⟩=\sum _j{R}_{ij}⟨\alpha |V_j|\alpha ⟩=\sum _j{R}_{ij}⟨v_j{⟩}_{\alpha }$

$v_i=R_{ij}{v}_j\text{(sumatoria en j)}$

Esta es la definición de operador vectorial ($v_i$ actúa sobre $ℍ$ n-dim):

$\Rightarrow D^{†}(R)v_{i}D(R)=R_{ij}{v}_j$

donde las $D$ son matrices $n\times n$.

Y tomando rotaciones infintesimales

$D(R)=ℐ-\frac{i}{\hslash }d\varphi \overrightarrow{J}\cdot \overrightarrow{n}.$

En Mecánica Cuántica nuestra definición de operador vectorial es

$[v_i,J_j]=i\hslash {ϵ}_{ijk}{v}_k$

y su valor esperado se comporta como un vector clásico.

Tenemos por tanto que un operador vectorial hace

$V_i\stackrel{R}{\to }{R}_{ij}{V}_j$

Operadores tensoriales

Clásicamente podemos construir magnitudes físicas que no vengan descritas por vectores de ${ℝ}^3$, sino por tensores de ${ℝ}^3\otimes {ℝ}^3$ u otros espacios tensoriales. El espacio tensorial puede siempre descomponerse en una suma de subespacios de tipo ${ℍ}^j$ (clasicamente cualquier magnitud física se puede representar por un vector ("tensor") de ${ℍ}^j$).

${ℍ}^j:\{|jm⟩\}$

$|T⟩\in {ℍ}^j=\sum _{j,m}|jm⟩\underset{\text{comp. tensoriales de }|T⟩}{\underbrace{T_m^j}}$

(todo esto es clásico)

$T_m^j\to T_m^{j^{\prime }}=D^j(R{)}_{m{m}^{\prime }}{T}_m^j$

$D^j(R)=e^{-\frac{i}{\hslash }\varphi \overrightarrow{n}\cdot \overrightarrow{J}}$

donde $\overrightarrow{J}$ son matrices $2j+1$ dimensionales.

En Mecánica, se define un operador tensorial irreducible de orden j como una combinación de $2j+1$ operadores $T_m^j$, con $m=-j,\dots ,j$, que bajo la acción de matriz rotación verifica:

$⟨\alpha |T_m^j|\alpha ⟩\stackrel{R}{\to }⟨\alpha |D^{†}(R)\underset{\text{(oper. }n\times n)}{\underbrace{T_m^j}}\underset{(\text{matriz }n\times n)}{\underbrace{D(R)}}\underset{(\text{vector de }ℍ\text{ n-dim})}{\underbrace{|\alpha ⟩}}=\sum _{m^{\prime }=-j,+j}⟨\alpha |D^j(R{)}_{m{m}^{\prime }}{T}_m^{j^{\prime }}|\alpha ⟩$

Tomando rotaciones infinitesimales obtenemos

$[J_{\pm },T_m^j]=\hslash \sqrt{(j_{m}pm)(j\pm m+1)}$ $[J_z,T_m^j]=\hslash m{T}_m^j$

$[\overrightarrow{J}\cdot \overrightarrow{n},T_m^j]=\sum _{m^{\prime }}⟨j{m}^{\prime }|\overrightarrow{J}\cdot \overrightarrow{n}|jm⟩$

en la representación $j({ℍ}^j)$.

Teorema de Wigner-Eckart

El cálculo de los elementos de matriz de un tensor irreductible entre estados con momento angular bien definido, queda simplificado por el siguiente teorema de Wigner-Eckart

$⟨{\alpha }_2,j_2{m}_2|T_m^j|{\alpha }_1,j_1{m}_1⟩=\underset{C-G}{\underbrace{⟨j_2{m}_2|jm{j}_1{m}_1⟩}}⟨{\alpha }_2{j}_2||T^j||{\alpha }_1{j}_1⟩.$

El contenido del doble barrado vertical se denomina elemento de matriz reducido y remarca que no depende de $m$.

Hay mucha información aquí pero en principio no la vamos a ver, quizá en colisiones.