Mecánica cuántica/El espacio de Hilbert

Estados: Bras y Kets

Postulado 1: En Mecánica Cuántica un estado físico $\alpha$ en un instante de tiempo $t$ viene descrito por un vector unitario de un espacio de Hilbert complejo. Dicho vector se denomina vector estado o ket, y se denota $|\alpha ⟩$ o $|\alpha (t)⟩$.

Espacios de Hilbert

Si $|\alpha ⟩$ y $|\beta ⟩$ son vectores de un espacio de Hilbert $ℍ$ y $a$ y $b$ números complejos se cumple que

• $|\gamma ⟩=a|\alpha ⟩+b|\beta ⟩\in ℍ$
• $0|\alpha ⟩=0$ (vector nulo)

Definición: Un vector unitario es aquel de módulo 1.

Base ortonormal

Definición 1 de base ortonormal (a partir del producto escalar de dos vectores):\\

Se define el producto escalar de $|\alpha ⟩$ por $|\beta ⟩$, ($⟨\alpha |\beta ⟩$), como un número complejo con las siguientes propiedades:

• Linealidad: $⟨\alpha |(b_1|{\beta }_1⟩+b_2|{\beta }_2⟩)=b_1⟨\alpha |{\beta }_1⟩+b_2⟨\alpha |{\beta }_2⟩$
• No conmutativo: $⟨\beta |\alpha ⟩=⟨\alpha |{\beta ⟩}^{*}\ne ⟨\alpha |\beta ⟩$

Una base ortonormal es un conjunto de vectores $\{|e_i⟩\}$ que son unitarios, ortogonales y forman una base del espacio:

• Unitarios y ortogonales: $⟨e_i|e_j⟩={\delta }_{i,j}$
• Forman base: cualquier $|\alpha ⟩\in ℍ$ se puede desarrollar de manera única como combinación lineal de los vectores del conjunto: $|\alpha ⟩=\sum _i{\alpha }_i|e_i⟩\equiv {\alpha }_i|e_i⟩$

Nota: Se ha eliminado el símbolo de sumatoria en la última igualdad por convención. En adelante se seguirá este mismo criterio: no indicar sumatoria cuando haya factores con un mismo subíndice repetido.

Lo que podemos expresar de la forma

$|\alpha ⟩=\left(\begin{array}{ccc}|e_1⟩& |e_2⟩& \cdots \end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{\alpha }_1\\ {\alpha }_2\\ ⋮\end{array}\right)$

y como el desarrollo es único podemos identificar unívocamente a $|\alpha ⟩$ de la forma

$|\alpha ⟩\doteq \left(\begin{array}{c}{\alpha }_1\\ {\alpha }_2\\ ⋮\end{array}\right)$

donde hemos usado el símbolo $\doteq$ para resaltar el hecho de que dicha representación es relativa a una base $\{|e_i⟩\}$ particular.

Por la linealidad del producto escalar se obtiene que

$\begin{array}{ccc}⟨e_i|\alpha ⟩& =& ⟨e_i|(|e_j⟩{\alpha }_j)\to Recuerdalanota.\\ & =& ⟨e_i|e_j⟩{\alpha }_j={\delta }_{i,j}{\alpha }_j={\alpha }_i\\ & =& pro{y}_{|e_i⟩}|\alpha ⟩.\end{array}$

donde se observa que la ${\delta }_{i,j}$ "rompe" la $\sum _j$. Podemos observar también que con lo visto hasta ahora

$|\alpha ⟩=|e_i⟩⟨e_i|\alpha =|e_i⟩pro{y}_{|e_i⟩}|\alpha ⟩$

Definición 2 de base ortonormal (basado en bras y kets):\\

Un formalismo equivalente, usual en MC y en particular usado por el Sakurai, es el basado en bras y kets.\\

Dado un espacio de Hilbert $ℍ$ donde ``viven" los vectores kets, $|\alpha ⟩\in ℍ$, se define ${ℍ}^{*}$ como el espacio dual de $ℍ$, donde viven los vectores bras, $⟨\beta |\in {ℍ}^{*}$. Un bra o forma de ${ℍ}^{*}$ es una aplicación lineal que asigna un número complejo a cada vector de $ℍ$.

$\begin{array}{ccc}{ℍ}^{*}\ni ⟨\beta |:& & \\ ℍ& \to & ℂ\\ |\alpha ⟩& \mapsto & ⟨\beta |\alpha ⟩\end{array}$

donde se dice que $⟨\beta |$ actúa sobre $|\alpha ⟩$.

• Puede demostrarse que los espacios $ℍ$ y ${ℍ}^{*}$ son isomorfos, es decir, puede establecerse una relación cruzada uno a uno entre todos los vectores de cada espacio $ℍ\ni |\alpha ⟩\leftrightarrow ⟨\alpha |\in {ℍ}^{*}.$
• Un producto escalar en $ℍ$ describe un espacio dual ${ℍ}^{*}$ y viceversa: un espacio $ℍ$ y un espacio dual ${ℍ}^{*}$ definen un producto escalar.

• Dado un producto escalar en $ℍ$, se define la forma $⟨\alpha |$ como aquella cuya acción sobre el vector $|\beta ⟩$ coincide con el producto escalar de $|\alpha ⟩$ por $|\beta ⟩$.

$⟨\alpha |(|\beta ⟩)=⟨\alpha |\beta ⟩\in ℍ$

• Dada $\{|e_i⟩\}$, base ortonormal de $ℍ$ y $\{⟨e_i|\}$ base ortonormal de ${ℍ}^{*}$ $\Rightarrow |\alpha ⟩=|e_i⟩⟨e_i|\alpha ⟩=|e_i⟩{\alpha }_i=\left(\begin{array}{cc}|e_1⟩& \cdots \end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{\alpha }_1\\ ⋮\end{array}\right)$ y de igual forma con $⟨\alpha |\in {ℍ}^{*}$ en la base $⟨e_i|$ $⟨\alpha |={\tilde{\alpha }}_i⟨e_i|.$ Si $⟨e_i|e_j⟩={\delta }_{i,j}$ se cumple que $⟨\alpha |e_i⟩={\tilde{\alpha }}_j⟨e_j|e_i⟩={\tilde{\alpha }}_j{\delta }_{i,j}={\tilde{\alpha }}_i$ debido a la linealidad de las formas bra.

Además

$⟨\alpha |e_i⟩=⟨e_i|\alpha {⟩}^{*}={\alpha }_i^{*}$

$⟨\alpha |={\alpha }_i^{*}⟨e_i|=\left(\begin{array}{cc}{\alpha }_1^{*}& \cdots \end{array}\right)\left(\begin{array}{c}⟨e_1|\\ ⋮\end{array}\right)\Rightarrow ⟨\alpha |\doteq \left(\begin{array}{cc}{\alpha }_1^{*}& \cdots \end{array}\right)$

$|\alpha ⟩=|e_i⟩{\alpha }_i=\left(\begin{array}{cc}|e_1⟩& \cdots \end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{\alpha }_1\\ ⋮\end{array}\right)\Rightarrow |\alpha ⟩\doteq \left(\begin{array}{c}{\alpha }_1\\ ⋮\end{array}\right).$

Los ${\alpha }_i^{*}$ realmente coinciden con los conjugados de los ${\alpha }_i$

$⟨\alpha |\beta ⟩={\alpha }_i^{*}⟨e_i|e_j⟩{\beta }_j={\alpha }_i^{*}{\delta }_{i,j}{\beta }_j={\alpha }_i^{*}{\beta }_i=\sum \dots$

$⟨\alpha |\beta ⟩=\left(\begin{array}{ccc}{\alpha }_1^{*}& {\alpha }_2^{*}& \dots \end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{\beta }_1\\ {\beta }_2\\ ⋮\end{array}\right)={\alpha }_1^{*}{\beta }_1+\dots .$

Se define el módulo de $|\alpha ⟩$ como

$\begin{array}{ccc}||\alpha ⟩|& =& \sqrt{⟨\alpha |\alpha ⟩}\\ & =& \sqrt{\left(\begin{array}{ccc}{\alpha }_1^{*}& {\alpha }_2^{*}& \cdots \end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{\alpha }_1\\ {\alpha }_2\\ ⋮\end{array}\right)}\\ & =& \sqrt{{\alpha }_i^{*}{\alpha }_i}\end{array}$