Mecánica clásica/Mecánica analítica/Formulación Lagrangiana

La energía cínética como suma de funciones homogéneas

Expresemos la velocidad como función las coordenadas generalizadas

$𝐯=\dot{r}\equiv \frac{d𝐫}{dt}=\sum _j\frac{\partial 𝐫}{\partial q_j}{\dot{q}}_j+\frac{\partial 𝐫}{\partial t}.$

Es inmediato expresar ahora la energía cinética $T$ en términos de dichas coordenadas

$T=\sum _i\frac{1}{2}{m}_i{v}_i^2=\sum _i\frac{1}{2}{m}_i{(\sum _j\frac{\partial 𝐫}{\partial q_j}{\dot{q}}_j+\frac{\partial 𝐫}{\partial t})}^2.$

Desarrollemos el cuadrado de la velocidad para expresar $T$ como

$T=M_0+\sum _j{M}_j{\dot{q}}_j+\frac{1}{2}\sum _{j,k}{M}_{jk}{\dot{q}}_j{\dot{q}}_k.$

La forma más elegante (y la más sencilla en este caso) de obtener el módulo cuadrado de un vector es realizar el producto escalar del vector consigo mismo

${\left|𝐚\right|}^2=𝐚\cdot 𝐚.$

Si lo hacemos agrupamos adecuadamente los términos, veremos que

$M_0=\sum _i\frac{1}{2}{m}_i{\left(\frac{\partial {𝐫}_i}{\partial t}\right)}^2,$

$M_j=\sum _i{m}_i\frac{\partial {𝐫}_i}{\partial t}\cdot \frac{\partial {𝐫}_i}{\partial q_j},$

$M_{jk}=\sum _i{m}_i\frac{\partial {𝐫}_i}{\partial q_j}\cdot \frac{\partial {𝐫}_i}{\partial q_k}.$

De esta forma, la energía cinética puede ser expresada como suma de tres funciones homogéneas en las velocidades generalizadas.

$T=T_0+T_1+T_2$

Una $T_0$ homogénea de grado cero

$T_0(\alpha {\dot{q}}_1,\alpha {\dot{q}}_2,\cdots ,\alpha {\dot{q}}_n,t)=T_0,$

una $T_1$ homogénea de grado uno

$T_1(\alpha {\dot{q}}_1,\alpha {\dot{q}}_2,\cdots ,\alpha {\dot{q}}_n,t)=\alpha T_1,$

y una $T_2$ homogénea de grado dos

$T_2(\alpha {\dot{q}}_1,\alpha {\dot{q}}_2,\cdots ,\alpha {\dot{q}}_n,t)={\alpha }^2{T}_2.$

La energía cinética como función homogénea de grado 2

Es fácil comprobar que las funciones de arriba son homogéneas del grado especificado en las velocidades. Por ejemplo, para la última, si multiplicamos las velocidades generalizadas por una constante $\alpha$ pero no el tiempo (ya que solo estamos hablando de homogeneidad en las velocidades), se obtiene que

$T_2(\alpha {\dot{q}}_j,t)\equiv \frac{1}{2}\sum _{j,k}{M}_{jk}\left(\alpha {\dot{q}}_j\right)\left(\alpha {\dot{q}}_k\right)=\frac{1}{2}\sum _{j,k}{\alpha }^2{M}_{jk}{\dot{q}}_j{\dot{q}}_k={\alpha }^2\frac{1}{2}\sum _{j,k}{M}_{jk}{\dot{q}}_j{\dot{q}}_k={\alpha }^2{T}_2({\dot{q}}_j,t),$

pues las constantes han salido fuera de las sumatorias. Si se tienen problemas para visualizar estos cálculos puede ayudar mucho analizar un caso sencillo expandiendo la sumatoria en vez de dejarla expresada de manera compacta.

Como se observa fácilmente en la forma explícita de cada sumando, si las ecuaciones de transformación no dependen explícitamente del tiempo, $𝐫=𝐫(q_j)\ne 𝐫(q_j,t)$, como puede ocurrir cuando las ligaduras no dependen del tiempo (esclerónomas), se tiene que

$T=T_2,$

pues los otros términos se anulan al incluir derivadas parciales de $𝐫$ con respecto al tiempo. En estas condiciones, $T$ es función homogénea de grado 2 en las velocidades generalizadas.