Matemáticas/Teoría de conjuntos/Intuitiva/Conjuntos potencia

1.5.1. Un conjunto muy importante en la teoría de conjuntos es aquel que, dado un conjunto $x$ cualquiera, contiene todos los subconjuntos de este conjunto $x$. Un conjunto así se llama conjunto potencia. Más exactamente, si $x$ es un conjunto, entonces el conjunto potencia de $x$ es el conjunto $𝒫(x)$ dado por

$𝒫(x)=\{y\mid y\subseteq x\}$.

1.5.2. Puesto que $\varnothing \subseteq \varnothing$, $𝒫(\varnothing )=\{\varnothing \}$, y por tanto $𝒫(\varnothing )$ contiene un solo elemento, y por ello $𝒫(\varnothing )\ne \varnothing$. Sea $x$ un conjunto con $n$ elementos. Entonces, existen $n$ subconjuntos de $x$ con un solo elemento, $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2})$ subconjuntos de $x$ con dos elementos, $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{3})$ subconjuntos de $x$ con 3 elementos, y así sucesivamente hasta llegar a los $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{n})$ subconjuntos de $x$ con $n$ elementos. De este modo, $𝒫(x)$ tiene

$\sum _{i=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i})=(1+1{)}^n=2^n$

elementos, siendo esta última ecuación un caso particular del binomio de Newton. Como puede verse, el conjunto potencia $𝒫(x)$ de un conjunto $x$ contiene en general muchos más elementos que el conjunto $x$, razón por la cual es difícil dar ejemplos de conjuntos potencia.

1.5.3. Nótese que $a\in x$ equivale a $\{a\}\in 𝒫(x)$.

1.5.4. Algo más interesante y conveniente de notar es que

$\bigcup _{x\in 𝒫(X)}x=X$

para cualquier conjunto $X$. En efecto, pues de $a\in \bigcup _{x\in \mathcal{(}X)}x$, se sigue $a\in x$ para algún $x\in 𝒫(X)$, es decir, para algún $x\subseteq X$, por lo que $a\in X$. Recíprocamente, si $a\in X$, entonces $a\in x$ para algún conjunto $x\in 𝒫(X)$ (e.g. el conjunto $\{a\}\subseteq X$), luego $a\in \bigcup _{x\in 𝒫(X)}x$.

1.5.5. Como hecho más general, si $C$ es una colección de subconjuntos de un conjunto $X$, es decir si $C\subseteq 𝒫(X)$, entonces $\bigcup _{x\in C}x\subseteq X$.

1.5.6. Ahora vamos a generalizar algunas leyes a cerca de la unión e intersección de conjuntos. Primero, considérese un conjunto dado $u$, y luego considérese una colección $C$ de subconjuntos de $u$. Fórmese la unión

$\bigcup _{x\in C}x$,

un subconjunto de $u$. El complemento

$𝒞\left(\bigcup _{x\in C}x\right)$,

es un subconjunto de $u$. Si $a\in 𝒞(\bigcup _{x\in C}x)$, entonces $a\notin \bigcup _{x\in C}x$, por lo que $a\notin x$ para todo $x\in C$, y puesto que $x\subseteq u$, el complemento $𝒞x$ existe y $a\in 𝒞x$ para todo $x\in C$. Así, $a\in \bigcap _{x\in C}𝒞x$. El conjunto anterior es en efecto una intersección de los conjuntos de una colección, a saber

$C^{\prime }=\{y\mid y\subseteq v$ y $𝒞y\in C\}$.

Sea $u$ un conjunto y $C$ una colección de subconjuntos de $u$. El resultado anterior, y otro cuya demostración se deja como un sencillo ejercicio al lector, se presentan a continuación:

• $𝒞\left(\bigcup _{x\in C}x\right)=\bigcap _{x\in C}𝒞x$

• $𝒞\left(\bigcap _{x\in C}x\right)=\bigcup _{x\in C}𝒞x$

Las proposiciones anteriores son una generalización de las leyes de De Morgan.

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