Matemáticas/Teoría de conjuntos/Intuitiva/Diferencia de conjuntos y conjuntos complementarios

Plantilla:AutoCat 1.4.1 Si $x$ e $y$ son dos conjuntos cualesquiera, la diferencia de $x$ e $y$ es el conjunto $x-y$ (también simbolizado por $x\mathrm{\setminus }y$) definido por

$x-y=\{a\mid a\in x$ y $a\notin y\}$.

Es decir, $x-y$ consiste de todos los elementos que están en $x$ pero no en $y$. Este conjunto se representa por el área sombreada en el siguiente diagrama:

Diferencia de $x$ e $y$ , o entre A y B en este caso

Ejercicio: Probar que $x$ e $y$ son conjuntos disjuntos si y solo si $x-y=x$.

Sean $x$, $y$ y $z$ conjuntos cualesquiera. Entonces

( D-1 ) $x-x=\varnothing$

( D-2 ) $x-\varnothing =x$

( D-3 ) $x-(x-y)=x\cap y$

( D-4 ) $x\cap (y-z)=(x\cap y)-(x\cap z)$

( D-5 ) $x-(y\cup z)=(x-y)\cap (x-z)$

( D-6 ) $x-(y\cap z)=(x-y)\cup (x-z)$

( D-7 ) $x-y\subseteq x$

( D-8 ) $x\subseteq y$ si y solo si $x-y=\varnothing$

Ver diagrama

1.4.2. Si $x_1$ es un subconjunto de $x$, entonces el subconjunto de $x$,

${𝒞}_x{x}_1=x-x_1$,

se dice conjunto complementario de $x_1$ en $x$. En el siguiente diagrama se representa este conjunto como el area sombreada:

Complemento de $x_1$en $x$, o de A en U en este caso

Sean $x$ e $y$ subconjuntos de un conjunto $u$. Se cumplen

( C-1 ) ${𝒞}_{u}u=\varnothing$

( C-2 ) ${𝒞}_u\varnothing =u$

( C-3 ) ${𝒞}_{\varnothing }u=\varnothing$ (conmutatividad)

( C-4 ) ${𝒞}_u{𝒞}_{u}x=x$

( C-5 ) $x\cup {𝒞}_{u}x=u$

( C-6 ) $x\cap {𝒞}_{u}x=\varnothing$

( C-7 ) ${𝒞}_u(x\cup y)={𝒞}_{u}x\cap {𝒞}_{u}y$

( C-8 ) ${𝒞}_u(x\cap y)={𝒞}_{u}x\cup {𝒞}_{u}y$

( C-9 ) $x-y=x\cap {𝒞}_{u}y$

Los enunciados ( C-7 ) y ( C-8 ) se conocen como leyes de De Morgan.

1.4.3. En ocasiones, para evitar complejidades notacionales, escribiremos $𝒞x$ en lugar de ${𝒞}_{y}x$ cuando del contexto se sobreentienda cual es el conjunto $y$.

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