Matemáticas/Teoría de conjuntos/Intuitiva/Operaciones

Conjunto es la reunión de conjuntos diferenciales entre sí que se denominan elemento de conjunto. Se pueden diferenciar de dos formas: por extensión si se presenta la lista de uno o de todos los elementos que lo conforman, ejemplo: C={amarillo, azul, rojo} los colores de la bandera de colombia. Si se representa la consistencia a atributo común de los elementos que conforman el conjunto. Ejemplo: {x/x son los colores de la bandera colombiana} En este caso se utiliza la representación x/x para referirse a "x tal que x". La x representa cual quiera de las características.

Diagrama de Venn

Los Diagramas de Venn son ilustraciones usadas en la teoría de conjuntos cuyo fin es mostrar gráficamente la relación matemática o lógica que hay entre diferentes grupos de cosas (conjuntos).

En un Diagrama de Venn, el conjunto universo se representa por un rectángulo, y los conjuntos en su interior se representan por círculos.

Una representación genérica de lo que es un Diagrama de Venn se presenta en la siguiente figura, donde se representa un conjunto universo $U$, y dentro de éste un conjunto $A$.

Diagrama de Venn

Operaciones entre Conjuntos

Unión de Conjuntos

Sean $A$ y $B$ dos conjuntos. Se define la unión de $A$ con $B$, denotada por $A\cup B$ (que se lee A unión B), por el conjunto

$A\cup B=\{x:x\in A\vee x\in B\}$

En un Diagrama de Venn, la unión de dos conjuntos $A$ y $B$, dependiendo de cómo se relacionan entre ellos, se ve como sigue:

Unión de conjuntos

En términos prácticos, la unión de dos conjuntos es el conjunto formado por los elementos de cualquiera de los dos conjuntos.

Ejemplo

Si tenemos los conjuntos

$A=\{1,2,3,4,5\}$

y

$B=\{3,4,5,6,7,8\}$

, la unión de ellos es el conjunto

$A\cup B=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}$

Propiedad de la unión de conjunto

La unión de conjunto cumple la siguiente propiedad.

• $A\cup A=A$
• $A\cup B=B\cup A$
• $A\cup (B\cup C)=(A\cup B)\cup C$
• $A\cup \varphi =A$
• Si $A\subseteq B\Rightarrow A\cup B=B$

Intersección de Conjuntos

Sean $A$ y $B$ dos conjuntos. Se define la intersección de $A$ y $B$, denotada por $A\cap B$ (que se lee A intersección B), por el conjunto

$A\cap B=\{x:x\in A\wedge x\in B\}$

En un Diagrama de Venn, la intersección de dos conjuntos $A$ y $B$, dependiendo de cómo se relacionan entre ellos, se ve como sigue:

Intersección de Conjuntos

En términos prácticos, la intersección de dos conjuntos es el conjunto formado por los elementos comunes a ambos conjuntos.

Ejemplo

Si tenemos los conjuntos $A=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}$ y $B=\{4,5,6,7\}$, el conjunto intersección es

$A\cap B=\{4,5,6,7\}$

Nota: Dos pares de conjuntos $A$ y $B$ se llaman disjuntos siempre que $A\cap B=\varphi$.

Propiedades de la intersección de conjuntos

La intersección de conjuntos cumple con las siguientes propiedades

• $A\cap A=A$
• $A\cap B=B\cap A$
• $A\cap (B\cap C)=(A\cap B)\cap C$
• $A\cap \varphi =\varphi$
• Si $A\subseteq B\Rightarrow A\cap U=A$

Diferencia de Conjuntos

Sean $A$ y $B$ dos conjuntos. Se define la diferencia de $A$ con $B$, denotada por $A-B$ (que se lee A menos B), por el conjunto

$A-B=\{x:x\in A\wedge x\notin B\}$

En un Diagrama de Venn, la diferencia de $A$ con $B$, dependiendo de cómo se relacionan los conjuntos, se ve como sigue:

Diferencia entre Conjuntos

En términos prácticos, la diferencia de un conjunto $A$ con un conjunto $B$, en ese orden, es el conjunto formado por todos los elementos que están en $A$ pero no en $B$

Ejemplo

Si tenemos los conjuntos $A=\{1,2,3,4,5,6\}$ y $B=\{3,5\}$, entonces el conjunto diferencia de $A$ con $B$ es

$A-B=\{1,2,4,6\}$

Complemento de un Conjunto

Sea $A$ un conjunto dentro de un conjunto universo $U$. Se define el complemento de $A$, denotado por $A^c$ (que se lee A complemento), al conjunto

$A^c=\{x:x\notin A\}$

En un Diagrama de Venn, el complemento de un conjunto se ve como sigue:

Complemento de un Conjunto

En términos prácticos, el complemento de un conjunto es todo lo que no está en el conjunto.

Ejemplo

Si tenemos los conjuntos $U=\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$ y $A=\{1,3,5,7,9\}$, entonces el complemento de $A$ es el conjunto

$A^c=\{0,2,4,6,8\}$

Propiedades del complemento de un conjunto

El complemento de un conjunto cumple las siguientes propiedades

• $(A^c{)}^c=A$
• $U^c=\varphi$
• ${\varphi }^c=U$
• $A\subseteq B\Rightarrow B^c\subseteq A^c$

Propiedades Combinadas

Se cumplen las siguientes propiedades entre conjuntos

• $A-B=A\cap B^c$
• $A\cap A^c=\varphi$
• $A\cup A^c=U$

Leyes de distribución

• $A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)$
• $A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C)$

Leyes de De Morgan

• $(A\cup B{)}^c=A^c\cap B^c$
• $(A\cap B{)}^c=A^c\cup B^c$

Ejemplo de operaciones compuestas

Para los conjuntos

$U=\{a,b,c,d,e,f,g,h,i\},A=\{a,b,c,d,e\},B=\{d,e,f,g\},C=\{e,f,g,h,i\}$ $D=\{a,c,e,g,i\},E=\{b,d,f,h\},F=\{a,e,i\}$

se pide

1. $A\cap (B\cup C)$
2. $(A\cap D)-B$
3. $(A-E{)}^c$
4. $E^c\cap F^c$
5. $\{(B-F)\cup (F-B){\}}^c\cup A$

Sol:

Archivo:Operatoria de Conjuntos 1.webm

Ejercicios Propuestos Operaciones entre Conjuntos

Desarrollar los siguientes Ejercicios propuestos para operaciones de conjuntos.

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• Revisar el siguiente tema: Cardinalidad de Conjuntos