Matemáticas/Matrices/Multiplicar una matriz por un escalar

Producto de una matriz por un escalar

Si multiplicamos una matriz por una escalar, multiplicamos cada elemento de la matriz por ese escalar.

Es decir: producto de un número real por una matriz, es la aplicación que asocia a cada par formado por un número real y una matriz, otra matriz cuyos elementos se obtienen multiplicando el número real por todos los elementos de la matriz.

Ejemplo

Sea $D\in {ℳ}_{2\times 2}(ℝ)$ y $5\in ℝ$

$5\times \left[\begin{array}{cc}1& 4\\ 3& 2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}5\times (1)& 5\times (4)\\ 5\times (3)& 5\times (2)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}5& 20\\ 15& 10\end{array}\right]$

Producto por un escalar

Sean $A\in {ℳ}_{n\times m}(𝕂)$ y $\lambda \in 𝕂$. Se define la operación de producto por un escalar como una función $𝕂\times {ℳ}_{n\times m}(𝕂)⟶{ℳ}_{n\times m}(𝕂)$ tal que $(\lambda ,A)\mapsto B=\lambda A$ y donde $b_{ij}=\lambda a_{ij}$ en donde el producto es la operación binaria correspondiente pero en el campo $𝕂$. Por ejemplo, la entrada $b_{12}$ es igual al producto $\lambda a_{12}$.

Veamos un ejemplo más explícito. Sea $A\in {ℳ}_{2\times 3}(ℝ)$ y $2\in ℝ$

$2\left[\begin{array}{ccc}1& 8& -3\\ 4& -2& 6\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}2(1)& 2(8)& 2(-3)\\ 2(4)& 2(-2)& 2(6)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}2& 16& -6\\ 8& -4& 12\end{array}\right]$

También es inmediato ver que el producto por un escalar da como resultado una matriz del mismo tamaño que la original. También el producto por un escalar dependerá de la estructura algebraica en la que las entradas están. En el caso de que estén en un campo serán dos distributividades (una respecto de suma de matrices y otra respecto de suma en el campo), asociatividad y una propiedad concerniente al producto por el elemento neutro multiplicativo del campo. A continuación se presentan las propiedades.

Propiedades

Sean $A,B\in {ℳ}_{n\times m}(𝕂)$ y $\lambda ,\mu \in 𝕂$, donde $𝕂$ es un campo, entonces se cumplen las siguientes propiedades para la operación producto por un escalar

Asociatividad

$(\lambda \mu )A=\lambda (\mu A)$

Demostración. Dada la definición de la operación se sigue el resultado ya que $(\lambda \mu )a_{ij}=\lambda (\mu a_{ij})$ debido a que $a_{ij}\in 𝕂$ para todo $i,j$.

Distributividad respecto de la suma de matrices

$\lambda (A+B)=\lambda A+\lambda B$

Demostración Dada la definición de la operación se sigue el resultado ya que $\lambda (a_{ij}+b_{ij})=\lambda a_{ij}+\lambda b_{ij}$ debido a que $a_{ij},b_{ij}\in 𝕂$ para todo $i,j$.

Distributividad respecto de la suma en el campo

$(\lambda +\mu )A=\lambda A+\mu A$

Demostración Dada la definición de la operación se sigue el resultado ya que $(\lambda +\mu )a_{ij}=\lambda a_{ij}+\mu a_{ij}$ debido a que $a_{ij}\in 𝕂$ para todo $i,j$.

Producto por el neutro multiplicativo del campo

$1_{𝕂}A=A$

Demostración Dada la definición de la operación se sigue el resultado ya que $1_{𝕂}(a_{ij})=a_{ij}$ debido a que $a_{ij}\in 𝕂$ para todo $i,j$.
Por como se definió la operación de producto por escalares se dice que ${ℳ}_{n\times m}(𝕂)$ es cerrado bajo producto por escalares. Con éstas propiedades y las de la adición se tiene que ${ℳ}_{n\times m}(𝕂)$ es un espacio vectorial con las operaciones de suma y producto por escalares definidas antes.
En el caso de que las entradas y los escalares no estén en un campo sino en un anillo entonces no necesariamente existe el neutro multiplicativo. En caso de que exista, con lo cual el anillo es un anillo con uno, se dice que ${ℳ}_{n\times m}(A)$ es un módulo sobre $A$.
Ahora, a partir de las propiedades básicas se puede demostrar inmediatamente que

$\lambda 0=0$

Demostración Dada la definición de la operación se sigue el resultado ya que $c_{ij}=\lambda (0_{ij})=\lambda (0_{𝕂})=0_{𝕂}$ para todo $i,j$.

$0_{𝕂}A=0$

Demostración Dada la definición de la operación se sigue el resultado ya que $c_{ij}=0_{𝕂}(a_{ij})=0_{𝕂}$ para todo $i,j$ debido a que $a_{ij}\in 𝕂$ para todo $i,j$.

$\lambda A=0⟶\lambda =0_{𝕂}\text{ o }A=0$

Demostración Dada la definición de la operación se sigue el resultado ya que como en un campo no hay divisores de cero entonces $\lambda (a_{ij})=0_{𝕂}$ para todo $i,j$ implica que $\lambda =0_{𝕂}$ o $a_{ij}=0_{𝕂}$para todo $i,j$, i.e. $A=0$. No es posible un caso en el que sólo algunas entradas de la matriz sean cero y el escalar sea no nulo ya que en esos casos estaríamos diciendo que hay divisores de cero y llegaríamos a una contradicción, ya que la suposición es que las entradas y los escalares están en un campo.

$(-\lambda )A=\lambda (-A)$

Demostración Dada la definición de la operación se sigue el resultado ya que $(-\lambda )(a_{ij})=(-1_{𝕂}(\lambda ))a_{ij}=(\lambda (-1_{𝕂}))a_{ij}=\lambda (-1_{𝕂}(a_{ij}))=\lambda (-a_{ij})$ debido a que $a_{ij}\in 𝕂$ para todo $i,j$.

Este último resultado permite usar la notación $-\lambda A$ sin riesgo de ambigüedad.