Matemáticas/Lógica/Tablas de la verdad/Ejemplo 2

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¿Bajo qué condiciones de p y q la proposición

[(p↔q)∧∼q]→(p∧∼q)

es falsa?

Sol: Este ejercicio se puede resolver de dos formas:

Primera forma, tabla de verdad.

En este caso, las proposiciones simples son dos, p y q. Luego, la tabla de verdad tiene 22=4 filas.

Empezando por llenar las columnas de las proposiciones simples, la tabla queda de la forma

p q ∼q p↔q (p↔q)∧∼q p∧∼q [(p↔q)∧∼q]→(p∧∼q)
V
V
V
F
F
V
F
F

Luego, llenando la tercera columna, que es la negación de la segunda, tenemos

p q ∼q p↔q (p↔q)∧∼q p∧∼q [(p↔q)∧∼q]→(p∧∼q)
V
V
F
V
F
V
F
V
F
F
F
V

La cuarta columna la llenamos usando el bicondicionante para las columnas uno y dos. Tenemos

p q ∼q p↔q (p↔q)∧∼q p∧∼q [(p↔q)∧∼q]→(p∧∼q)
V
V
F
V
V
F
V
F
F
V
F
F
F
F
V
V

Llenamos la quinta columna usando la conjunción para las columnas cuatro y tres. Tenemos

p q ∼q p↔q (p↔q)∧∼q p∧∼q [(p↔q)∧∼q]→(p∧∼q)
V
V
F
V
F
V
F
V
F
F
F
V
F
F
F
F
F
V
V
V

Para llenar la sexta columna usamos la conjunción para las columnas uno y tres. Tenemos

p q ∼q p↔q (p↔q)∧∼q p∧∼q [(p↔q)∧∼q]→(p∧∼q)
V
V
F
V
F
F
V
F
V
F
F
V
F
V
F
F
F
F
F
F
V
V
V
F

Finalmente, para llenar la séptima y última columna de la tabla, usamos la condicionante para las columnas quinta y sexta, teniéndose que

p q ∼q p↔q (p↔q)∧∼q p∧∼q [(p↔q)∧∼q]→(p∧∼q)
V
V
F
V
F
F
V
V
F
V
F
F
V
V
F
V
F
F
F
F
V
F
F
V
V
V
F
F

De esta forma, vemos que para que la proposición compuesta [(p↔q)∧∼q]→(p∧∼q) tenga valor de verdad falso, debe cumplirse que cada proposición simple, p y q, deben tener valor de verdad falso.


Segunda forma, descomposición en proposiciones simples.

Vemos que en la proposición compuesta [(p↔q)∧∼q]→(p∧∼q) el conectivo importante es el condicionante →.

Por la tabla asociada, vemos que la única combinación que hace al condicionante tener valor de verdad falso, es cuando el antecedente tiene valor de verdad verdadero, y el consecuente tiene valor de verdad falso.

Luego, se debe tener que

[(p↔q)∧∼q]≡V y (p∧∼q)≡F

Del hecho que la proposición compuesta [(p↔q)∧∼q] tiene valor de verdad verdadero, se debe tener entonces que tanto la proposición (p↔q) como la proposición (∼q) deben tener valor de verdad verdadero.

Así, como ∼q≡V, entonces tenemos que q≡F.

Ahora, como (p↔q)≡V y q≡F, se tiene que la proposición simple p≡F.

Luego, ambas proposiciones simples p y q deben tener valor de verdad falso.


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