Matemáticas/Lógica/Argumentos

Usaremos las proposiciones simples y compuestas, y los resultados de las tablas de verdad ya vistas, para analizar argumentos y decidir si éstos son válidos o no.

Objetivos

• Aplicar las tablas de verdad a argumentos
• Determinar la validez de un argumento

Tautología. Contingencia. Contradicción

Consideremos las siguientes tablas de verdad, para cada una de las proposiciones dadas.

1. $p\vee (q\wedge r)$

$p$	$q$	$r$	$q\wedge r$	$p\vee (q\wedge r)$
V	V	V	V	V
V	V	F	F	V
V	F	V	F	V
V	F	F	F	V
F	V	V	V	V
F	V	F	F	F
F	F	V	F	F
F	F	F	F	F

1. $(p\wedge q)\wedge (\sim p\wedge \sim q)$

$p$	$q$	$\sim p$	$\sim q$	$p\wedge q$	$\sim p\wedge \sim q$	$(p\wedge q)\wedge (\sim p\wedge \sim q)$
V	V	F	F	V	F	F
V	F	F	V	F	F	F
F	V	V	F	F	F	F
F	F	V	V	F	V	F

1. $(p\wedge q)\leftrightarrow (q\wedge p)$

$p$	$q$	$p\wedge q$	$q\wedge p$	$(p\wedge q)\leftrightarrow (q\wedge p)$
V	V	V	V	V
V	F	F	F	V
F	V	F	F	V
F	F	F	F	V

Una tautología es una proposición cuyo valor de verdad es verdadero, independiente de los valores de verdad de las proposiciones que la componen.

La tabla 3 muestra una tautología.

Una contradicción es una proposición cuyo valor de verdad es falso, independiente de los valores de verdad de las proposiciones que la componen.

La tabla 2 muestra una contradicción.

Una contingencia es una proposición que toma valores de verdad verdaderos en unos casos y falsos en otros, dependiendo de los valores de verdad de las proposiciones que la componen.

La tabla 1 muestra una contingencia.

Argumentos

Un argumento es una relación entre un conjunto de proposiciones $p_1,p_2,...,p_k$ llamadas premisas, y otra proposición $q$ llamada conclusión.

Denotamos un argumento por

$\{\begin{array}{c}{p}_1\\ p_2\\ .\\ .\\ .\\ p_k\\ \therefore \\ q\end{array}$

El símbolo $\therefore$ se lee por tanto.

Diremos que un argumento es válido si $q$ es verdadero cada vez que las premisas $p_1,p_2,...,p_k$ sean verdaderas.

Una manera práctica de decidir si un argumento es válido es observar la tabla de verdad:

• si cuando cada premisa es verdadera se tiene que la conclusión también lo es, entonces el argumento es válido.
• si cuando cada premisa es verdadera se tiene que la conclusión es falsa, entonces el argumento no es válido.

Un argumento que no es válido se llama falacia.

• Ejemplo 1.
• Ejemplo 2.
• Ejercicios.