Matemáticas/Geometría Analítica/Hipérbola/Ecuaciones de la hipérbola

Ecuaciones en coordenadas cartesianas

Descripcion de análisis de hiperbola

Para obtenerla se debe de hacer un análisis de una diferencia de distancia entre dos puntos que serán los focos de la parábolas (deben ser los puntos de la misma doble distancia del eje de rotación) y un punto cualquiera de la hipérbola, cuya equivalencia sería 2a.

$FP-F{P}^{\prime }=2a$

$\sqrt{(x+c{)}^2+(y-0{)}^2}-\sqrt{(x-c{)}^2+(y-0{)}^2}=2a$

Se procede a eliminar las radicales con los despejes siguientes:

$\sqrt{(x+c{)}^2+y^2}=2a+\sqrt{(x-c{)}^2+y^2}$

$(\sqrt{(x+c{)}^2+y^2}{)}^2=(2a+\sqrt{(x-c{)}^2+y^2}{)}^2$

$(x+c{)}^2+y^2=4a^2+4a\sqrt{(x-c{)}^2+y^2}+(x-c{)}^2+y^2$

$x^2+2cx+c^2+y^2=4a^2+4a\sqrt{(x-c{)}^2+y^2}+x^2-2cx+c^2+y^2$

$x^2+2cx+c^2+y^2-x^2+2cx-c^2-y^2=4a^2+4a\sqrt{(x-c{)}^2+y^2}$

$4cx=4a^2+4a\sqrt{(x-c{)}^2+y^2}$

$4cx-4a^2=4a\sqrt{(x-c{)}^2+y^2}$

$\frac{cx}{a}-a=\sqrt{(x-c{)}^2+y^2}$

$(\frac{cx}{a}-a{)}^2=(\sqrt{(x-c{)}^2+y^2}{)}^2$

$(\frac{cx}{a}-a{)}^2=(\sqrt{(x-c{)}^2+y^2}{)}^2$

$\frac{c^2{x}^2}{a^2}-2cx+a^2=x^2-2cx+c^2+y^2$

$\frac{c^2{x}^2}{a^2}+a^2-x^2-c^2-y^2=0$

$\frac{c^2{x}^2}{a^2}-x^2-y^2=c^2-a^2$

$\frac{c^2{x}^2}{a^2}-x^2-y^2=c^2-a^2$

$\frac{c^2-a^2}{a^2}{x}^2-y^2=c^2-a^2$

$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{c^2-a^2}=1$

Si se proyecta por Teorema de Pitágoras al relacionar el eje mayor con el menor con la distancia del foco.

$a^2+b^2=c^2$

$b^2=c^2-a^2$

Ecuación de una hipérbola con centro en el origen de coordenadas $(0,0)$ y ecuación de la hipérbola en su forma canónica.

$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$

Cuando el Eje Mayor corresponde a y:

$\frac{x^2}{b^2}-\frac{y^2}{a^2}=1$

Ecuación de una hipérbola con centro en un punto distinto a cero $(h,k)$

$\frac{(x-h{)}^2}{a^2}-\frac{(y-k{)}^2}{b^2}=1$

Cuando el Eje Mayor corresponde a y:

$\frac{(x-h{)}^2}{b^2}-\frac{(y-k{)}^2}{a^2}=1$

Ejemplos:

a)

$\frac{(x{)}^2}{25}-\frac{(y{)}^2}{9}=1$

b)

$\frac{(y{)}^2}{9}-\frac{(x{)}^2}{25}=1$

Si el eje x es positivo, entonces la hipérbola es horizontal; si es al revés, es vertical. La excentricidad de una hipérbola siempre es mayor que uno.