Matemáticas/Geometría/Funciones trigonométricas

Dado un ángulo $x\in R$, las funciones trigonométricas $x⟼\sin x$ y $x⟼\cos x$ son, respectivamente, las proyecciones sobre los ejes vertical y horizontal de la hipotenusa de un triángulo rectángulo, uno de cuyos ángulos agudos es precisamente $x$. Para ser más preciso, sean $x\in [0,\pi /2]\subset R$, el triángulo (rectángulo) $OAB$ con vértice $O$ en el origen de coordenadas, el cateto $\overline{OB}$ en el eje de las abscisas, y el cateto $\overline{BA}$ paralelo al eje de las ordenadas.

Entonces las igualdades $\sin x:=\frac{|BA|}{|OA|},\cos x:=\frac{OB}{OA}$ son válidas, en concordancia con la relación de proporcionalidad de lados en un triángulo que asegura el teorema de Thales.

En el caso en el que el ángulo $x$ no esté en el intervalo $[0,\pi /2]$, se conviene en darle a las dos expresiones definidas anteriormente el signo que tiene la coordenada en los numeradores de dichas expresiones (esto es, $\sin x$ es positivo en el primer y segundo cuadrantes, y $\cos x$ es positivo en el primer y cuarto cuadrantes; negativos ambos en los otros casos). Adicionalmente, si $x\ne \pm \pi /2$, se define $\tan x$ en la forma siguiente: $\tan x:=\frac{|BA|}{|OB|}=\frac{\sin x}{\cos x},$ y ahora el signo de esta función se calcula como el cociente de los signos que tienen $\sin x$ y $\cos x$. Otras funciones trigonométricas útiles son $\cot x:=\frac{|OB|}{|BA|}=\frac{1}{\tan x},\csc x:=\frac{|OA|}{|BA|}=\frac{1}{\sin x},\sec x:=\frac{|OA|}{|OB|}=\frac{1}{\cos x},$ tomando las precauciones necesarias para que los denominadores sean no nulos.