Matemáticas/Geometría/Coordenadas/Paralelas del plano

2. Coordenadas paralelas del plano

Archivo:Sistema coordenadas.png

Fig.1 Sistema de coordenadas cartesianas

Para fijar la situación de un punto en un plano por coordenadas paralelas se fijan primero en éste dos rectas, llamadas ejes coordenados, que se corten formando un ángulo cualquiera y cuyo punto de intersección es el origen del sistema de coordenadas $O$, Fig.1. Si designamos a los dos ejes por $X$ e $Y$, damos a cada uno de ellos una dirección positiva desde el origen hacia cierto lado y negativa a la contraria y proyectamos un punto $P$ del plano sobre el eje $X$ por una paralela al $Y$ y sobre este último una paralela al $X$ figura 1, serán $OQ=RP=x$ y $OR=QP=y$ las coordenadas paralelasdel punto $P$. Las distancias $OQ$ y $OR$ se denominan Abscisa y ordenada del punto $P$ y los ejes $X$ e $Y$ reciben también los nombres de eje de las abscisas y eje de las ordenadas. El sistema de coordenadas de la figura 1 es oblicuo. Si fuera $\omega =\frac{\pi }{2}$ o 90 grados, tendríamos el sistema de coordenadas ortogonal o cartesiano, en honor a René Descartes, fundador de la Geometría analítica.

Si $x$ , $y$ y $x_1$, $y_1$ son las coordenadas de dos punto $P$ y $P_1$ figura2, la distancia entre estos dos puntos es

$P{P}_1=\sqrt{(x_1-x{)}^2+(y_1-y{)}^2}$

y también puede determinarse el ángulo $\alpha$ que forma la recta $AB$ con el eje $X$ por la expresión

$tg\phi =\frac{y_1-y}{x_1-x}$

Mediante esta fórmula puede saberse por simple cálculo si tres puntos $P$, $P_1$ y $P_2$ dados por sus coordenadas $x,y$ ; $x_1,y_1$ y $x_2,y_2$ se encuentran en línea recta. Si esto sucede, los segmentos $P{P}_1$ y $P_1{P}_2$ tendrán la misma inclinación, es decir, formaran el mismo ángulo $\phi$ con el eje $X$, luego

$\frac{y_1-y}{x_1-x}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$

para tres puntos $P(4,13)$, $P_1(2,8)$ y $P_2(6,18)$ resulta por ejemplo,

$\frac{8-13}{2-4}=\frac{18-8}{6-2}=\frac{5}{2}$, así como la prueba $\frac{18-13}{6-4}=\frac{5}{2}$,

luego los tres puntos estarán en línea recta.

Archivo:Coordenadas dos puntos.png

Fig.2 La recta en coordenadas cartesianas