Matemáticas/Geometría/Ángulos/Amplitud

Amplitud de un ángulo

Se llama amplitud de un ángulo a la medida de este.

Unidades de amplitud

Transportador de ángulos.

Las unidades utilizadas para la medida de los ángulos del plano son:

• Radián (usado oficialmente en el Sistema Internacional de Unidades)

$1\text{ vuelta}=2\pi \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}$

• Grado sexagesimal

$1\text{ vuelta}=360^{\circ }$

• Grado centesimal

$1\text{ vuelta}=400^{\mathrm{g}}$

Los ángulos se pueden medir mediante utensilios tales como el goniómetro, el cuadrante, el sextante, la ballestina, el transportador de ángulos o semicírculo graduado, etc.

Equivalencias

• La equivalencia entre grados sexagesimales y radianes es: π rad = 180°. Por tanto

1 radián = 57.29577951... grados sexagesimales y

1 grado sexagesimal = 0.01745329252... radianes.

• La equivalencia entre grados centesimales y radianes es: π rad = 200^g

La tabla muestra la conversión de los ángulos más comunes.

Grados

0°

30°

45°

60°

90°

120°

135°

150°

180°

210°

225°

240°

270°

300°

315°

330°

360°

Radianes

0

π/6

π/4

π/3

π/2

2π/3

3π/4

5π/6

π

7π/6

5π/4

4π/3

3π/2

5π/3

7π/4

11π/6

2π

Otras unidades de medida de ángulos convencionales son el grado sexagesimal, el grado centesimal y, en astronomía, la hora.

• El radián tiene una unidad derivada llamada radián por segundo (rad/s), que corresponde a la magnitud [[velocidad angular. Esta unidad tiene una equivalencia con las rpm. Las equivalencias se pueden calcular fácilmente haciendo la siguiente relación:

$\mathrm{r}\mathrm{p}\mathrm{m}\mathrm{=}\frac{rev}{min}\mathrm{=}\frac{2\pi rad}{60s}$, que simplificada es: $\mathrm{r}\mathrm{p}\mathrm{m}\mathrm{=}\frac{\pi }{30}\frac{rad}{s}$, o bien: $\frac{rad}{s}\mathrm{=}\frac{30}{\pi }\mathrm{r}\mathrm{p}\mathrm{m}$.

Es decir que, para pasar una cantidad x de rpm a rad/s tenemos que multiplicarla por π/30:

$x\mathrm{r}\mathrm{p}\mathrm{m}\mathrm{\cdot }\frac{\frac{\pi }{30}rad/s}{rpm}\mathrm{=}$$x\cdot \frac{\pi }{30}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}/\mathrm{s}\mathrm{=}$$x^{\prime }\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}/\mathrm{s}$

Análogamente, para pasar una cantidad y de rad/s a rpm tenemos que multiplicarla por 30/π:

$y\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}/\mathrm{s}\mathrm{\cdot }\frac{\frac{30}{\pi }rpm}{rad/s}\mathrm{=}$$y\cdot \frac{30}{\pi }\mathrm{r}\mathrm{p}\mathrm{m}\mathrm{=}$$y^{\prime }\mathrm{r}\mathrm{p}\mathrm{m}$

Relación entre radianes y grados sexagesimales

Se parte de la base de que una circunferencia completa tiene $2\pi$ radianes, y que una circunferencia tiene 360° sexagesimales, luego tenemos:

$\mathrm{3}\mathrm{6}\mathrm{0}\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{=}\mathrm{2}\mathrm{\pi }\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{e}\mathrm{s}$

$\mathrm{1}\mathrm{8}\mathrm{0}\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{=}\mathrm{\pi }\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{e}\mathrm{s}$

Haciendo una regla de tres simple se llega a que el factor de conversión de grados sexagesimales a radianes es:

$\frac{\pi }{180}\cdot \frac{radianes}{grados}$

Luego tenemos que, para un ángulo x dado en grados, su equivalente X en radianes es:

$X=x\cdot \frac{\pi }{180}\cdot \frac{radianes}{grados}$

y viceversa (si tenemos que, para un ángulo X dado en radianes, su equivalente x en grados es):

$x=X\cdot \frac{180}{\pi }\cdot \frac{grados}{radianes}$

Conversión de ángulos comunes

Unidades	Valores
Revolución	0	$\frac{\tau }{12}$	$\frac{\tau }{8}$	$\frac{\tau }{6}$	$\frac{\tau }{4}$	$\frac{\tau }{2}$	$\frac{3}{4}\tau$	$1\tau$
Grados sexagesimales	0°	30°	45°	60°	90°	180°	270°	360°
Radianes	0	$\frac{\pi }{6}$	$\frac{\pi }{4}$	$\frac{\pi }{3}$	$\frac{\pi }{2}$	$\pi$	$\frac{3\pi }{2}$	$2\pi$
Grados centesimales	0g	$\frac{100^{\mathrm{g}}}{3}$	50g	$\frac{200^{\mathrm{g}}}{3}$	100g	200g	300g	400g