Matemáticas/Combinatoria/Binomio de Newton

Formulación del teorema

Este teorema establece: Usando la fórmula para calcular el valor de $(\binom{n}{k})$ (que también es representado ocasionalmente como $C (n, k)$ o $C_{k}^{n}$ ) se obtiene la siguiente representación: $(x + y)^{n} = \sum_{k = 0}^{n} \frac{n!}{k! (n - k)!} x^{n - k} y^{k}$ El coeficiente de $x^{n - k} y^{k}$ en el desarrollo de $(x + y)^{n}$ es $(\binom{n}{k})$ donde $(\binom{n}{k})$ recibe el nombre de coeficiente binomial y representa el número de formas de escoger k elementos a partir de un conjunto con n elementos. Usualmente el teorema del binomio se expresa en la siguiente variante: $(x + y)^{n} = \sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) x^{n - k} y^{k} = (\binom{n}{0}) x^{n} + (\binom{n}{1}) x^{n - 1} y + (\binom{n}{2}) x^{n - 2} y^{2} + \dots + (\binom{n}{n - 1}) x y^{n - 1} + (\binom{n}{n}) y^{n}$

Ejemplo

Como ejemplo, para n=2, n=3, n=4, utilizando los coeficientes del triángulo de Pascal: Plantilla:Ecuación Para obtener la expansión de las potencias de una resta, basta con tomar -y en lugar de y en los términos con potencias impares de y. La expresión (2) queda de la siguiente forma:

(x - y)^{2} = x^{2} - 2 x y + y^{2}

Teorema generalizado del binomio (Newton)

Isaac Newton generalizó la fórmula para tomar otros exponentes, considerando una serie infinita (que converge cuando |x/y|<1): Plantilla:Ecuación Donde r puede ser cualquier número real (en particular, r puede ser cualquier número real, no necesariamente positivo ni entero), y los coeficientes están dados por:

(\binom{r}{k}) = \frac{1}{k!} \prod_{n = 0}^{k - 1} (r - n) = \frac{r (r - 1) (r - 2) \dots (r - k + 1)}{k!}

(el k = 0 es un producto vacío y por lo tanto, igual a 1; en el caso de k = 1 es igual a r, ya que los otros factores (r − 1), etc., no aparecen en ese caso).

Una forma útil pero no obvia para la potencia recíproca:

\frac{1}{(1 - x)^{r}} = \sum_{k = 0}^{\infty} (\binom{r + k - 1}{k}) x^{k}

La suma en Plantilla:Eqnref converge y la igualdad es verdadera siempre que los números reales o complejos x e y sean suficientemente cercanos, en el sentido de que el valor absoluto | x/y | sea menor que uno.

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Teorema generalizado del binomio (Newton)

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