Matemáticas/Bachillerato LOGSE/Funciones no elementales

Dada una función real de variable real. función no elemental:

$\begin{array}{cccc}f:& ℝ& ⟶& ℝ\\ & x& \mapsto & y=f(x)\end{array}$

se dice que la función f es no elemental si no cumple las condiciones de función elemental. Existen un número inlimitado de funciones no elementales, presentaremos unos ejemplos de funciones de este tipo.

Funciones de partes de x

Dada la función id(x) que asocia a y el mismo valor de x, definida así:

$\begin{array}{cccc}id:& ℝ& ⟶& ℝ\\ & x& \mapsto & y=id(x)\end{array}$

con la representadión grafica de la derecha.

$id(x)=x$

La función id(x) esta definida para todo x real, es continua u derivable, y creciento en todo su entorno de definición.

Es función impar:

$\mathrm{\forall }x\in ℝ:id(-x)=-id(x)$

Es función idempotente:

$\mathrm{\forall }x\in ℝ:id(id(x))=id(x)$

Función signo

La función signo es una función no elemental definida para todo x real:

$\begin{array}{cccc}sgn:& ℝ& ⟶& ℝ\\ & x& \mapsto & y=sgn(x)\end{array}$

Asigna a y el volor 1 si x es positivo, 0 si x es 0 y -1 si x es negativo:

$sgn(x)=\{\begin{array}{ccc}-1& si& x<0\\ 0& si& x=0\\ 1& si& x>0\end{array}$

La función sgn(x) esta derinida para todo x real, es discontinua para x= 0, para los valores distintos de cero es continua y derivable, y estacionaria (no es creciente ni decreciente).

Es función impar:

$sgn(-x)=-sgn(x)$

Ademas:

$sgn(x)=\frac{1}{sgn(x)}$

Es función idempotente:

$sgn(sgn(x))=sgn(x)$

Función valor absoluto

La función valor absoluto asocia a y el valor de x sin signo:

$\begin{array}{cccc}abs:& ℝ& ⟶& ℝ\\ & x& \mapsto & y=abs(x)\end{array}$

La función esta definida paro todo x real, es continua y no deribable para x= 0.

$abs(x)=\{\begin{array}{ccc}-x& si& x<0\\ x& si& x\ge 0\end{array}$

La función abs nunca toma valores negativos, es decreciente para x negativo y es creciente para x positivo, para x= 0 la función tambien vale cero (y= 0).

Es función par:

$abs(-x)=abs(x)$

Es función idempotente:

$abs(abs(x))=abs(x)$

podemos ver que:

$id(x)=sgn(x)\cdot abs(x)$

Escalón de Heaviside

La función escalón de Heaviside, también llamada función escalón unitario, debe su nombre al matemático inglés Oliver Heaviside. Es una función discontinua cuyo valor es 0 para cualquier argumento negativo, y 1 para cualquier argumento positivo, incluido el cero:

$\begin{array}{cccc}H:& ℝ& ⟶& ℝ\\ & x& \mapsto & y=H(x)\end{array}$

Esta función queda definida de esta forma:

$H(x)=\{\begin{array}{ccc}0& si& x<0\\ 1& si& x\ge 0\end{array}$

Función rampa

La función rampa definida para valores reales:

$\begin{array}{cccc}rampa:& ℝ& ⟶& ℝ\\ & x& \mapsto & y=rampa(x)\end{array}$

Que se puede especificar de esta forma:

$rampa(x)=\{\begin{array}{ccc}0& si& x<0\\ x& si& x\ge 0\end{array}$

Esta función es continua, y no es derivable para x = 0.

Es función idempotente:

$rampa(rampa(x))=rampa(x)$

Puede verse que:

$rampa(x)=id(x)\cdot H(x)$

Función entero de x

Esta función asocia a y el mismo valor de x cuando x en un número entero, si x es positivo y se obtiene eliminando la parte decimas, si x tiene valor negativo y es el valor de x sin parte decimal menos una unidad.

$\begin{array}{cccc}E:& ℝ& ⟶& ℝ\\ & x& \mapsto & y=E(x)\end{array}$

La función entero asocia a y el maximo número entero menor o igual a x, esto es, de todos los números enteros menores o iguales que x, el mayor de ellos:

$E(x)=max(entero\le x)$

Representada en la figura de la derecha.

La función E(x) esta definida paro todo x real, es discontinua para x número entero, y para los valores en los que es continua es estacionaria. Plantilla:Clear

Función mantisa de x

La función mantisa o parte decimal de x, es una función que asocia a y el valor que falta desde el número entero inferior a x

$\begin{array}{cccc}M:& ℝ& ⟶& ℝ\\ & x& \mapsto & y=M(x)\end{array}$

Ver la figura de la derecha, si x es un número entero M(x) es cero, si x en un número positivo M(x) es la parte decimal de x, cuando x tiene valor negativo entonces M(x) es lo que le falta hasta en número entero inferior a x. M(x) nunca toma valores negativos.

La función M(x) esta definida para todo x real, es discontinua para x número entero y para los valores en los que es continua es creciente.

Puede verse que:

$id(x)=E(x)+M(x)$

Ver la figura de la derecha. Plantilla:Clear

Función parte entera de x

La función parte entera de x es el resultado de eliminar la parte decimal del número, de forma que se conserva el signo y la parte entera. Es una funcion definida para todo número real:

$\begin{array}{cccc}int:& ℝ& ⟶& ℝ\\ & x& \mapsto & y=int(x)\end{array}$

La función parte entera se define como:

$int(x)=\{\begin{array}{ccc}min(entero\ge x)& si& x<0\\ max(entero\le x)& si& x\ge 0\end{array}$

para x menor que cero: es el minimo entero mayor o igual que x y para x mayor o igual que cero: es el maximo entero menor o igual que x.

Esta función es impar:

$int(-x)=-int(x)$

Función parte decimal de x

La función parte decimal de x es el resultado de eliminar la parte entera del número, de forma que se conserva el signo y la parte decimal. Es una funcion definida para todo número real:

$\begin{array}{cccc}fracint:& ℝ& ⟶& ℝ\\ & x& \mapsto & y=fracint(x)\end{array}$

Para x negativo frac int(x) es no positivo, para x positivo frac int(x) es no negativo.

Esta función es impar:

$fracint(-x)=-fracint(x)$

Puede verse que:

$id(x)=int(x)+fracint(x)$

Función redondeo de x

La funcion redondeo de x esta definida para todo número real:

$\begin{array}{cccc}redon:& ℝ& ⟶& ℝ\\ & x& \mapsto & y=redon(x)\end{array}$

Esta función asocia a todo x número real el número entero más proximo, en caso de enteros igualmente proximos se tomara el de menor valor absoluto. La función parte entera se define como:

$redon(x)=\{\begin{array}{ccc}min(entero\ge x-0,5)& si& x<0\\ max(entero\le x+0,5)& si& x\ge 0\end{array}$

Esta función es impar:

$redon(-x)=-redon(x)$

Función fracción de redondeo de x

La funcion fracción de redondeo de x esta definida para todo número real:

$\begin{array}{cccc}fracredon:& ℝ& ⟶& ℝ\\ & x& \mapsto & y=fracredon(x)\end{array}$

Esta función asocia a todo x número real el número fraccionario más proximo a un número entero.

Esta función es impar:

$fracredon(-x)=-fracredon(x)$

se puede ver que:

$id(x)=redon(x)+fracredon(x)$

Función suelo

Esta función es equivalente a la funcios parte entera: $y=E(x)$:

$\begin{array}{cccc}suelo:& ℝ& ⟶& ℝ\\ & x& \mapsto & y=suelo(x)\end{array}$

La función suelo asocia a y el maximo número entero menor o igual a x:

$E(x)=max(entero\le x)$

Función fracción de suelo

La función fracción de suelo es equivalente a mantisa o parte decimal, asocia a y el valor que falta desde el número entero inferior a x

$\begin{array}{cccc}fracsuelo:& ℝ& ⟶& ℝ\\ & x& \mapsto & y=fracsuelo(x)\end{array}$

Puede verse que:

$id(x)=suelo(x)+fracsuelo(x)$

Ver la figura de la derecha. Plantilla:Clear

Función techo

La función techo asocia a y el valor entero de x por esceso, compararla con la función suelo:

$\begin{array}{cccc}techo:& ℝ& ⟶& ℝ\\ & x& \mapsto & y=techo(x)\end{array}$

El valor de la función techo es el minimo valor entero mayor o igual que x:

$techo(x)=min(entero\ge x)$

Función fracción de techo

La función fracción de techo asocia a y el valor que falta desde el número entero superios a x

$\begin{array}{cccc}fractecho:& ℝ& ⟶& ℝ\\ & x& \mapsto & y=fractecho(x)\end{array}$

Puede verse que:

$id(x)=techo(x)+fractecho(x)$

Ver la figura de la derecha. Plantilla:Clear

Funciones escalonadas

Función rectangular

La función rectangular (también llamada función ventana unitaria o pulso unitario) se define como:

$\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}(x)=\mathrm{\Pi }(x)=\{\begin{array}{ccc}0& si& |x|>\frac{1}{2}\\ \frac{1}{2}& si& |x|=\frac{1}{2}\\ 1& si& |x|<\frac{1}{2}\end{array}$

Función escalonada

Una función es escalonada si toma valores constantes en distintos intervalos, por ejemplo podemos ver la función y= s(x) de la figura:

$s(x)=\{\begin{array}{ccc}1& si& -3\le x<-1\\ 2& si& -1\le x<1\\ -1& si& 1\le x\le 3\end{array}$