Matemáticas/Álgebra Abstracta/Grupos/Grupos Cocientes

Introducción

En este capítulo, estudiaremos relaciones de equivalencias en un grupo que son definidas a partir de subgrupos del grupo. El objetivo final es proveer al conjunto de clases de equivalencias definidas por la relación con una estructura de grupo, llamada grupo cociente, que será una imagen homomórfica del grupo original. La idea básica es abstraer la construcción de los Enteros módulo m a partir de los Enteros y la relación de congruencia correspondiente.

Como veremos, en general, lo anterior no siempre será posible en el caso de los grupos no abelianos. Se requerirá una clase especial de subgrupos, llamados "subgrupos normales". Tales subgrupos y los grupos cocientes asociados tienen una estrecha relación con los homomorfismos desde el grupo en cuestión.

La construcción de los Enteros módulo $m$.
Recordemos la construcción de los Enteros módulo $m$. Se define una relación de equivalencia como $x\sim y$, ssi, $x-y$ es un múltiplo de $m$. Si denotamos por $H$ el subgrupo formado por los múltiplos de $m$, tenemos que $x\sim y$, ssi, $x-y$ está en $H$. Recordemos que entonces las clases de equivalencia (los subconjuntos formados por todos los números relacionados con uno fijo) definen una partición de los Enteros, es decir, su reunión es todo el conjunto y son disjuntos dos a dos. La clase del 0, es precisamente el subgrupo $H$. La relación $x\sim y$ puede expresarse como que hay un $h$ en $H$ tal que $x-y=h$, o sea $x=y+h$.

Relación de Equivalencia Definida por un Subgrupo

Inspirados en nuestro ejemplo, definiremos una relación asociada a un subgrupo de un grupo.

Definición. (Equivalencia módulo un subgrupo) Sea G un grupo y H un subgrupo de G. Sean x, y elementos de G. Decimos que x es congruente módulo H con y, ssi, para algún h en H, se cumple que x = yh.
Simbolizaremos la relación por $x{\sim }_{H}y$.

Notemos que $x{\sim }_{H}y⟺x=yh\text{ para algún h en H }⟺y^{-1}x\in H$.

Proposición 1. La relación ${\sim }_H$ es una relación de equivalencia en $G$. La clase de equivalencia de $x$ es $xH=\{xh:h\in H\}$.

Demostración: La reflexividad de la relación es trivial, ya que $x^{-1}x=e$, tenemos que $x{\sim }_{H}x.$ Supongamos que $x{\sim }_{H}y$, entonces $y^{-1}x$ está en $H$. Por lo que su inverso también está en $H$. Como $(y^{-1}x{)}^{-1}=x^{-1}y$, tenemos que $y{\sim }_{H}x$, lo que prueba que la relación es simétrica. Supongamos que $x{\sim }_{H}y$ y que $y{\sim }_{H}z$, es decir que $y^{-1}x$ y $z^{-1}y$ están en $H$. Entonces, su producto, $z^{-1}y{y}^{-1}x=z^{-1}x$ está en $H$, por lo que $x{\sim }_{H}z$. Lo que prueba que la relación es transitiva. Esto concluye la prueba de que se trata de una relación de equivalencia en $H$. Sea $[x]$ la clase de equivalencia de $x$. Sea $y$ un elemento de $[x]$. Por la definición de la relación, hay un $h$ en $H$ tal que y = xh, es decir que $[x]$ es un subconjunto de $xH$. Por otra parte, tenemos que si $h$ en $H$, entonces $xh{\sim }_{H}x$ lo que implica que $xH$ está contenido en $[x]$. Por lo que $[x]=xH$. Plantilla:QED

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Notemos que la clase del neutro es precisamente el subgrupo $H$.
Como, en general, $xH$ no es igual a $Hx$, podemos considerar otra relación de equivalencia de modo que las clases de equivalencias sean los $Hx$. La relación será tal que $x{}_H\sim y$, ssi, $x=hy$ para algún $h$ en $H$, o sea, ssi, $x{y}^{-1}$ está en $H$. Es fácil verificar que tenemos otra relación de equivalencia, que coincidirá con la anterior cuando la operación del grupo sea conmutativa, pero no en general.

Las Clases Laterales

Introduciremos una nomenclatura para los conjuntos de la forma $xH$ o $Hx$.

Plantilla:Ejmpl Consideremos el grupo cíclico $C_6=<a:a^6=e>$ y al subgrupo $H=<a^2>=\{e,a^2,a^4\}$. Computaremos las coclases izquierdas de $H$.

$\begin{array}{ccccc}eH& =& \{ee,e{a}^2,e{a}^4\}& =& \{e,a^2,a^4\}\\ aH& =& \{ae,a{a}^2,a{a}^4\}& =& \{a,a^3,a^5\}\\ a^{2}H& =& \{a^{2}e,a^2{a}^2,a^2{a}^4\}& =& \{a^2,a^4,e\}\\ a^{3}H& =& \{a^{3}e,a^3{a}^2,a^3{a}^4\}& =& \{a^3,a^5,a\}\\ a^{4}H& =& \{a^{4}e,a^4{a}^2,a^4{a}^4\}& =& \{a^4,e,a^2\}\\ a^{5}H& =& \{a^{5}e,a^5{a}^2,a^5{a}^4\}& =& \{a^5,a,a^3\}\end{array}$

Observemos que hay solamente dos coclases diferentes, ya que

$\begin{array}{ccc}eH& =& a^{2}H=a^{4}H=\{e,a^2,a^4\}\\ aH& =& a^{3}H=a^{5}H=\{a,a^3,a^5\}\end{array}$

Tal situación es típica de las coclases de un grupo. Como el grupo es conmutativo, tendremos, en este caso, que siempre $xH=Hx$, es decir que las clases laterales izquierdas de un elemento coincidirán con las clases laterales derechas. Notemos, además, que las coclases son disjuntas entre si.

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Plantilla:Ejmpl Consideremos el grupo $G=Z_6$ de los enteros módulo 6 con la suma. Sea $H=\{0,3\}<G$. Como la operación es suma, escribiremos $x+H$ para la clase lateral izquierda de $x$ respecto a $H$. La conmutatividad nos indica, además, que $x+H=H+x$, o sea que cada coclase izquierda coincide con la correspondiente coclase derecha, por lo que solamente escribiremos las coclases izquierdas. (Por simplicidad, pondremos ${\mathbb{Z}}_6=\{0,1,2,3,4,5\}$, es decir que escribiremos el representante de cada clase.)

$\begin{array}{ccccc}0+H& =& \{0+0,0+3\}& =& \{0,3\}\\ 1+H& =& \{1+0,1+3\}& =& \{1,4\}\\ 2+H& =& \{2+0,2+3\}& =& \{2,5\}\\ 3+H& =& \{3+0,3+3\}& =& \{0,3\}\\ 4+H& =& \{4+0,4+3\}& =& \{4,1\}\\ 5+H& =& \{5+0,5+3\}& =& \{5,2\}\end{array}$

Notemos que

• $0+H=3+H=H$, $1+H=4+H$ y $2+H=5+H$, o sea que solamente tenemos tres clases laterales diferentes;
• la clase del 0 coincide con $H$;
• las clases son disjuntas entre sí y cada una tiene igual cantidad de elementos que las otras, en particular, igual cantidad de elementos que $H$.

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Plantilla:Ejmpl Consideremos el grupo $G=S_3$ cuya tabla, por comodidad, recordamos a continuación. Sea $H=\{e,b\}$. Claramente, $H$ es un subgrupo de $G$. Computaremos las coclases respecto a $H$.

$\begin{array}{ccccccc}\circ & e& a& a^2& b& ab& a^{2}b\\ e& e& a& a^2& b& ab& a^{2}b\\ a^2& a& a^2& e& ab& a^{2}b& b\\ a^2& a^2& e& a& a^{2}b& b& ab\\ b& b& a^{2}b& ab& e& a^2& a\\ ab& ab& b& a^{2}b& a& e& a^2\\ a^{2}b& a^{2}b& ab& b& a^2& a& e\end{array}$

$\begin{array}{ccc}idH=\{e,b\}& & He=\{id,H\}\\ aH=\{a,ab\}& & Ha=\{a,a^{2}b\}\\ a^{2}H=\{a^2,a^{2}b\}& & H{a}^2=\{a^2,ab\}\\ bH=\{id,b\}& & Hb=\{id,b\}\\ abH=\{a,ab\}& & H{\tau }_2=\{a^2,ab\}\\ a^{2}bH=\{a^2,a^{2}b\}& & H{a}^{2}b=\{a,a^{2}b\}\end{array}$

Notemos que tenemos tres coclases izquierdas diferentes que son disjuntas entre si y que cada una de ellas contiene a dos elementos. Lo mismo sucede con las coclases derechas. Pero, que, en general, no se cumple que $xH=Hx$. La clase del neutro es $H$.

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Algunas de las observaciones hechas en los ejemplos anteriores, se pueden generalizar, como veremos, a cualquier grupo y subgrupo. Sea $G$ un grupo y $H$ un subgrupo de $G$

• La coclase del neutro $eH$ coincide con $H$.
  Esto es trivial ya que $eh=h$.
• Cada coclase respecto a $H$ tiene tantos elementos como $H$.
  Consideremos la función $h\mapsto xh$ de $H$ en $xH$. Claramente, la función es suprayectiva. Como $x{h}_1=x{h}_2$ implica que $h_1=h_2$, la función es inyectiva. Por lo tanto, se trata de una función biyectiva. En particular, esto significa que $H$ y $xH$ tienen la misma cantidad de elementos. Análogo resultado para las coclases derechas usando la función $h\mapsto hx$.
• La familia formada por los $xH$ (resp. $Hx$) cuando $x$ recorre a $G$, define una partición de $G$.
  Es decir que cada elemento de $G$ pertenece a algún $xH$ y dos clases laterales son siempre iguales o disjuntas. Esto sigue de que son clases de equivalencia de las relaciones de equivalencia que vimos antes. Podemos también probarlo directamente. Claramente, para todo $x$ en $G$, $x=xe$, lo que implica que $x$ pertenece a $xH$ y, por lo tanto, que la reunión de esas coclases será igual a todo $G$. Supongamos que $xH\cap yH\ne \mathrm{\varnothing }$ y que $z$ fuera un elemento de la intersección. Esto significa que $z=x{h}_1=y{h}_2$, para $h_1$, $h_2$ elementos de $H$. Luego, $x=y{h}_2{h}_1^{-1}$ y, por lo tanto, para todo $h\in H$, $xh=y{h}_2{h}_1^{-1}h$, lo que implica que $xH\subset yH$. Por la simetría de la situación, tendremos la inclusión opuesta, de donde concluimos que $xH=yH$. Por lo tanto, $H$ define una partición en $G$ mediante sus clases laterales izquierdas. Un resultado análogo se tiene para las clases laterales derechas, cuya verificación dejaremos al lector.

Conjunto Cociente

Plantilla:Ejmpl En un ejemplo anterior, vimos que en $C_6=<a:a^6=e>$, el subgrupo $H=\{e,a^3\}$ generado por $a^3$ tenía tres coclases izquierdas: $H=\{e,a^3\}$, $aH=\{a,a^4\}$ y $a^{2}H=\{a^2,a^5\}$. Por lo que, el conjunto cociente $G/H$ tiene tres elementos,

$G/H=\{H,aH,a^{2}H\},$

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La relación $x{\sim }_{H}y$ se leerá como $x$ es congruente con $y$ módulo $H$. Algunas veces, la relación aparece en la literatura como $x{\equiv }_{H}y$ o también como $x\equiv y(\mathrm{mod}H).$ .

¿Qué relación hay entre las coclases izquierdas y las coclases derechas? Para estudiar la relación, consideremos la función

$x\mapsto x^{-1}$

de $G$ en si mismo. Tal función es biyectiva y como $(xh{)}^{-1}=h^{-1}{x}^{-1}$, tenemos que hay una correspondencia biyectiva entre las clases laterales izquierdas y las clases laterales derechas. En particular, que hay tantas clases laterales izquierdas como derechas. La cantidad de esas clases recibe un nombre especial.

Un problema básico es determinar condiciones sobre $H$ de manera que se pueda definir una estructura de grupo en $G/H$ compatible con la estructura de $G$, lo que, en general, no será posible. Veremos la solución a ese problema en una próxima sección.

Ejercicios

1. Sabemos que dado un entero positivo $m$, $m\mathbb{Z}$ es el subgrupo formado por los múltiplos de $m$. Describir cada uno de los siguientes conjuntos cocientes.
   
   1. $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}.$
   2. $\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}.$
   3. $\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}.$
2. Hacer lo indicado. ¿Qué relación, si alguna, hay entre el orden del grupo, el orden del subgrupo y la cantidad de clases (índice)?
   1. Hallar las clases laterales de <[2]> en ${\mathbb{Z}}_{12}$.
   2. Hallar las clases laterales de <[3]> en ${\mathbb{Z}}_{12}$.
   3. Hallar las clases laterales de <[5]> en ${\mathbb{Z}}_{12}$.
   4. Hallar las clases laterales de <[2]> en ${\mathbb{Z}}_{12}$.
3. Hallar las clases laterales derechas e izquierdas del subgrupo {e,b} de D_8 ¿Qué relación hay entre la cantidad de clases, el orden del subgrupo y el orden del grupo?
4. Recordemos que $A_n$ es el subgrupo de $S_n$ formado por todas las permutaciones pares. ¿cuántas clases laterales hay respecto a A_n?
5. Sea $V=\{e,(12)(34),(13)(24),(14)(23)\}$.
   1. Probar que V es un subgrupo de A₄. ¿Es isomorfo a C_4 o al grupo de Klein?
   2. Sea $z=x_1{x}_2+x_3{x}_4$, donde los $x_i$'s son números reales. Para cada permutación $\sigma$ de {1,2,3,4}, definamos Plantilla:Eqn Probar que para cada $\sigma$ en V, se cumple que $\sigma (z)=z$. ¿Habrá otras permutación con la misma propiedad?
6. Sea $G=C_{8,a}$. Hallar todas las clases laterales izquierdas y derechas de $G$ respecto al subgrupo $K=<a^2>$. ¿Cuántos elementos tiene $G/K$?
7. Sea $G=S_3=<a,b:a^3=b^2=e,ba=a^{2}b>$. Sean $H=⟨a⟩$ y $K=⟨b⟩$. Hallar las clases laterales izquierdas respecto a $H$ y a $K$, así como los conjuntos cocientes $G/H$ y $G/K$.
8. Sea $G=⟨a,b:a^4=e,b^2=e,bab=a^3⟩=D_8$. Sea $H=⟨a⟩$ y $K=⟨b⟩$.
   1. Verificar que cada clase lateral izquierda de H es también una clase lateral derecha.
   2. Hallar las clases laterales derechas e izquierdas de K,
9. Sean $G$ un grupo y $H$ un subgrupo de $G$. Verificar usando la definición de relación de equivalencia que la relación ${}_H\sim$ definida por $x{}_H\sim y$, ssi, $x{y}^{-1}\in H$ es una relación de equivalencia en $G$ tal que la clase de equivalencia de $x$ es $Hx$.
10. ¿Cuándo G/H es un grupo?
11. Sea $G={ℝ}^2$ el plano cartesiano con la operación de suma por coordenadas. Sea $L=\{(x,y):y=3x\}$.
    1. Probar que L es un subgrupo de G.
    2. Hallar tres clases laterales de L en G.
    3. Geométricamente, L es una línea del plano (con "pendiente" 3). ¿Qué son geométricamente, las clases laterales de L en G.
    4. ¿Cómo podríamos visualizar gráficamente a G/L?
12. El grupo de los Enteros es un subgrupo del grupo aditivo de los Reales.
    1. Probar que cada clase lateral de $\mathbb{Z}$ en $ℝ$ contiene exactamente un número real x tal que 0 = x < 1.
    2. ¿Por qué podemos identificar $ℝ/\mathbb{Z}$ con el intervalo [0,1) de los Reales?

Los Primeros Teoremas de Cardinalidad

En esta sección, veremos un resultado muy importante que relaciona la cardinalidad de un grupo con aquella de un subgrupo y sus clases laterales.

Teorema de Lagrange

Nuestro primer teorema será un resultado atribuido a Lagrange , que aunque válido para grupos infinitos, tiene su mayor importancia para los finitos, por lo que nos limitaremos a ese contexto.

Sea $G$ un grupo finito y sea $H$ un subgrupo. Sabemos que $G$ es la reunión de las clases laterales izquierdas que son disjuntas entre sí, y cada una de esas clases tiene igual cantidad de elementos que $H$. Por lo que si nos preguntamos cuántos elementos tendrá la reunión de todas ellas, la respuesta es fácil: la cantidad de coclases por la cantidad de elementos de cada una, o sea $[G:H]$ multiplicado por $|H|$. Como esa reunión es todo el grupo, se tiene el teorema siguiente.

Proposición 2. (Teorema de Lagrange) Sea $G$ un grupo finito, $H$ un subgrupo de $G$. El orden de $G$ es igual al producto del índice de $H$ en $G$. por el orden de $H$.

$|G|=[G:H]|H|.$

El orden de $H$ y el índice $[G:H]$ son divisores del orden de $G$.

Corolario 2.1. Sea G un grupo de orden $n$. El orden de cualquier elemento $a$ de $G$ es un divisor de $n$. por lo que $a^n=e$.

Demostración: Sea $H=⟨a⟩$. Como $o(a)=|H|$ se tiene que $o(a)|n$. Por ser $n$ un múltiplo del orden de $a,$ se tiene que $a^n=e.$
Plantilla:QED

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Corolario 2.2. Sea $G$ un subgrupo de orden $p$ primo. Entonces, $G$ es un grupo cíclico y sus únicos subgrupos son el mismo y el subgrupo nulo.

Demostración: Como $p$ es primo, sus únicos divisores son $1$ y $p$. Lo que prueba que los únicos subgrupos son los mencionados en el enunciado del corolario. Probaremos ahora que el grupo tiene que ser cíclico. Sea $x$ cualquier elemento distinto del neutro en $G$. Entonces, $<x>$ es un subgrupo de $G$ y su orden tiene que ser $p$. porque no hay otra posibilidad. Luego $G=<x>$. lo que prueba que $G$ es cíclico. Plantilla:QED

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La importancia del teorema de Lagrange para los grupos finitos reside en que nos limita el tamaño de los posibles subgrupos de un grupo finito a los divisores del orden del grupo. Por ejemplo, no puede haber un subgrupo de orden 4 en un grupo de orden 6. El converso al teorema---que haya un subgrupo para cada divisor del orden del grupo---no es válido. Igualmente, para cada divisor del orden del grupo, no siempre hay un elementos cuyo orden sea el divisor. Ver ejemplo en los ejercicios de la sección.

Teorema de Euler

Consideremos el semigrupo multiplicativo de los Enteros módulo $m$ no nulos, ${\mathbb{Z}}_m$. Los elementos invertibles de ese semigrupo forman un grupo, denotado ${\mathbb{Z}}_m^{*}.$ Los elementos de ese grupo son aquellos $[a]$ tales que se cumple que $a$ y $m$ son relativamente primos.

Luego, tenemos que $|{\mathbb{Z}}_m^{*}|=\phi (m)$, donde $\phi$ es la función de Euler . Aplicando el teorema de Lagrange al grupo ${\mathbb{Z}}_m^{*}$, tenemos la siguiente proposición.

Proposición 3. (Teorema de Euler) Sea $a$ un entero positivo relativamente primo con el entero positivo $n$. Entonces,

$a^{\phi (n)}\equiv 1(\mathrm{mod}n).$

Demostración: Como $|{\mathbb{Z}}_m^{*}|=\phi (n)$, tenemos, por el corolario al teorema de Lagrange, que $[a{]}^{\phi (n)}=[1]$. lo que es equivalente al resultado de la proposición. Plantilla:QED

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El resultado se puede aplicar a la siguiente proposición de teoría de números.

Corolario 3.1. (Teorema pequeño de Fermat) Sea $p$ primo, para todo $a$ tal que $\text{mcd}(a,p)$ se cumple que

$a^{p-1}\equiv 1(\mathrm{mod}p).$

Demostración: Para cualquier elemento no nulo $[a]$ de ${\mathbb{Z}}_p^{*}$ se cumple que $a$ es relativamente primo con $p$. por lo que el orden de ${\mathbb{Z}}_p^{*}$ es $p-1$. Luego, $[a{]}^{p-1}=1$. lo que es equivalente a lo afirmado en la proposición. Plantilla:QED

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Ejercicios

1. ¿Es posible que un grupo de orden 1000 tenga un subgrupo de orden 250? En caso afirmativo, dar un ejemplo.
2. Sea $G=C_{24,a}$ y H el subgrupo de G generado por $a^4$. Hallar $G/H$ y $H\mathrm{\setminus }G$.
3. Sea G el grupo diedral de orden 8, $D_8$ (las simetrías del cuadrado). Probar que las rotaciones determinan un subgrupo H de G. Describir G/H.
4. Sea $G={\mathbb{Z}}_{24}^{*}$. Hallar el orden de cada uno de sus elementos. ¿Es $G$ un grupo cíclico?
5. Sea $G$ el subconjunto de los Enteros módulo 6 no nulos. ¿Es G un grupo con respecto a la multiplicación?
6. Sea $G$ el subconjunto de los Enteros módulo 7 no nulos. ¿Es G un grupo con respecto a la multiplicación?
7. Hallar el orden del grupo ${\mathbb{Z}}_6^{*}\times {\mathbb{Z}}_5^{*}$.
8. Sean $H$, $K$ subgrupos de un grupo $G$ tales que $K<H<G$. Probar que $[G:K]=[G:H][H:K].$
9. Sea $G=C_2\times C_2\times C_2$. Probar que no hay elementos de orden 4 en G, aunque |G|=8.
10. Sea $G=⟨a,b|a^2=e,b^3=e,(ba{)}^3=e⟩.$. Probar que G es un grupo de orden 12 que no tiene un subgrupo de orden 6. Se puede verificar que $G\cong A_4$
11. Sea G un grupo cuyo orden es $pq$ donde p y q son primos diferentes. Probar que cada subgrupo propio es cíclico. ¿Es necesariamente G un grupo cíclico? ¿abeliano? (Sug. Buscar ejemplos.)
12. Sea G un grupo no nulo que no tiene subgrupos propios. Probar que el orden de G es un número primo.

Los Subgrupos Normales

En la primera sección, vimos que cada subgrupo $H$ de un grupo $G$ define dos relaciones de equivalencia en el conjunto $H$. Tales relaciones son definidas por particiones del grupo: una de ellas definida por las clases laterales izquierdas respecto a $H$ y la otra definida por las clases laterales derechas. Asociadas con ellas. tenemos los conjuntos cocientes $G/H$ y $H\mathrm{\setminus }G$. Nos concentraremos, por ahora, en el conjunto $G/H$. Nos interesa ver cuándo será posible establecer una estructura de grupo en $G/H$ deducida de la estructura de grupo de $G$.

Sea $H$ un subgrupo de $G$ y sea $G/H$ el conjunto cociente de $G$ por la partición definida por las coclases izquierdas de $H$. es decir el conjunto formado por todas esas coclases. Recordemos que dicha partición está asociada a la relación de equivalencia, $x{\sim }_{H}y⟺y^{-1}x\in H$.

Lo que queremos es definir una operación en $G/H$ tal que Plantilla:Eqn Es decir, tal que el producto de dos coclases sea igual a la coclase del producto de dos representantes de las coclases.

Tomando

$y=x^{-1}$

en la relación (*), vemos que se debería cumplir que

$xH{x}^{-1}H=x{x}^{-1}H=eH=H.$

Es decir que para todo $h_1$. y $h_2$ en $H$. debiera haber un $h$ en $H$ tal que

$x{h}_1{x}^{-1}{h}_2=h.$

Pero esto, implica que para todo $h_1$ en $H$ y todo $x$ en $G$ debiera cumplirse que $x{h}_1{x}^{-1}=h{h}_2^{-1}$. o sea, que

$xh{x}^{-1}$ es un elemento de $H.$

La relación implica que para todo $h\in H$ y $x\in G$. podremos hallar $h$ en $H$ tal que $xh{x}^{-1}=h$. Lo que es equivalente a afirmar que $xh=h^{\prime }x$, o sea que $xH\subset Hx$. Invirtiendo los roles de $x$ y $x^{-1}$ en las relaciones anteriores, obtendremos que $Hx\subset xH$. De donde, obtendremos una condición necesaria adicional: que las clases laterales izquierdas y derechas de un elemento de $G$ deben coincidir. Plantilla:Caja Es fácil ver que esta condición es suficiente para tener una buena definición de operación en $G/H$. En efecto, se cumplirá que:

$xHyH=x(Hy)H=x(yH)H=xyHH=xyH.$

Se verifica que la condición anterior no se cumple para cualquier subgrupo, por lo que daremos un nombre especial a los subgrupos que satisfacen dicha condición.

1. Los subgrupos triviales de un grupo son subgrupos normales del grupo.
2. En un grupo abeliano, todos los subgrupos son normales.
3. Observemos que un grupo es normal, cuando los conjugados de sus elementos pertenecen al grupo.
4. La relación de "ser subgrupo normal de" no es necesariamente transitiva. En efecto, es posible hallar subgrupos $H_1$, $H_2$ y $H_3$ de un grupo, tales que $H_1$ es un subgrupo normal de $H_2$ y $H_2$ es un subgrupo normal de $H_3$, pero $H_1$ no es un subgrupo normal de $H_3$.

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Grupos Cocientes

Proposición 4. (Cociente por un Grupo Normal) Sea G un grupo, H un subgrupo normal de G. Entonces, el conjunto de las clases laterales izquierdas (que coincide con el conjunto de las clases laterales derechas) tiene una estructura de grupo respecto a la operación definida por

$xH\cdot yH:=xyH.$

Simbolizaremos a ese grupo por $G/H$ y lo llamaremos el grupo cociente de $G$ por (el subgrupo) $H$ o G módulo H. La función $x\mapsto xH$ es un supramorfismo, al que llamaremos el supramorfismo canónico.

Demostración: La definición de normal garantiza que la operación definida en el enunciado está bien definida en el conjunto de las clases laterales. El neutro para la operación es la clase del neutro $H=eH$, ya que $eHxH=exH=xH=xeH=xHeH$. La asociatividad sigue de, $xH(yHzH)=xH(yzH)=x(yz)H=(xy)zH=xyHzH=(xHyH)zH.$

Análogamente, $xH{x}^{-1}H=x{x}^{-1}H=eH=H=eH=(x^{-1}x)H=x^{-1}HxH$. Lo que prueba que la clase $x^{-1}H$ es la inversa de la clase $xH$.

Plantilla:QED

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Plantilla:Ejmpl Sea $G=\mathbb{Z}$ el grupo de los números enteros. Para cada entero $m$, los múltiplos de $m$ determinan un subgrupo de $\mathbb{Z}$ al que denotamos por $m\mathbb{Z}$. Como $\mathbb{Z}$ es abeliano, cualquier subgrupo es normal. Por lo tanto, tenemos una estructura de grupo cociente en $\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}$ que coincide con la estructura de ${\mathbb{Z}}_m$. En efecto, sigue del trabajo anterior que:

$x{\sim }_{m\mathbb{Z}}y⟺x-y\in m\mathbb{Z}⟺x{\equiv }_{m}y.$

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Plantilla:Ejmpl Sea $G=D_8=⟨a,b:a^4=b^2,ba{b}^{-1}=a^3⟩$. Sea $H=\mathrm{\angle }a⟩$. Entonces, $|H|=4$. Como $|D_8|=8,$ tenemos que $[G:H]=2$. Es decir que hay dos coclases (tanto por izquierda como por derecha). La coclase izquierda que no es igual a $H$ es, por lo tanto, igual al complemento de $H$. Lo mismo pasa con la coclase derecha distinta de $H$. En consecuencia, las coclases izquierdas coinciden con la clase derecha, lo que implica que $H$ es un subgrupo normal de $G$. $G/H$ es un grupo cíclico.

Sea $K=⟨b⟩$. Las clases izquierdas respecto a $K$ son $\{e,b\}=K$, $aK=\{a,ab\}$, $a^2=\{a^2,a^{2}b\}$ y $a^{3}K=\{a^3,a^{3}b\}$. Veamos ahora la clase derecha $Ka=\{a,ba\}=\{a,a^{3}b\}\ne aK$. Por lo que $K$ no es normal en $G$.

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Núcleos son subgrupos normales

Proposición 5. (Núcleos son Normales) Sea $f:G\to G^{\prime }$ un homomorfismo de grupos. Entonces, el núcleo del homomorfismo, es decir el subgrupo de $G$ consistente de todos los elementos enviados por $f$ en el neutro de $G^{\prime }$, es un subgrupo normal de $G^{\prime }$.

Demostración: Sabemos, por un resultado anterior, que el núcleo es un subgrupo de $G$. Sea $x$ un elemento cualquiera de $G$ y $k$ un elemento del núcleo. Se tiene que: $f(xk{x}^{-1})=f(x)f(k)f(x^{-1})=f(x)e^{\prime }f(x{)}^{-1}=e^{\prime }.$

De donde, resulta que $xk{x}^{-1}$ es un elemento del núcleo; Lo que nos dice que el núcleo es un subgrupo normal.

Plantilla:QED

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Sea

$G=G{L}_2(ℝ)$

el grupo de las matrices invertibles de tamaño

$2\times 2$

y sea

$S{L}_2(ℝ)$

el subgrupo formado por todas las matrices con determinante 1. Como

$S{L}_2(ℝ)$

es el núcleo del determinante---que es un homomorfismo, se trata de un subgrupo normal de

$G{L}_2(ℝ)$

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El centro de un grupo es un subgrupo normal

Proposición 6. El centro de un grupo es un subgrupo normal.

Demostración: Basta con recordar que cada elemento del centro es igual a sus conjugados. Plantilla:QED

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La siguiente proposición será útil en la clasificación de grupos.

Proposicion 7. Sea $N$ un subgrupo del centro del grupo $G$. Si $G/N$ es cíclico, entonces $G$ es abeliano.

Demostración: Como $N<Z(G)$. tenemos que $N$ es normal en $G$. Por lo que $G/N$ está bien definido. Como $G/N$ es cíclico hay un elemento $a$ en $G$ tal que $G/N=⟨aN⟩=⟨Na⟩$. Pero esto implica que $G=⟨a,N⟩$. Así, que $G$ es generado por un conjunto de elementos que conmutan entre si, por lo que $G$ es abeliano. Plantilla:QED

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Ejercicios

1. Hallar el orden de cada uno de los siguientes grupos cocientes. Para evitar complejidad de la escritura, en ${\mathbb{Z}}_m$ los elementos están designados por sus representantes: $x$ en lugar de $[x]$.
   1. ${\mathbb{Z}}_6/⟨e⟩$.
   2. $({\mathbb{Z}}_4\times {\mathbb{Z}}_{12})/(⟨2⟩⟩\times ⟨2⟩)$.
   3. $({\mathbb{Z}}_3\times {\mathbb{Z}}_6)/⟨(1,1)⟩$.
   4. ${\mathbb{Z}}_2\times S_3/⟨(1,a)⟩$.
2. Hallar lo indicado
   1. $\ker (\phi )$, cuando $\phi :\mathbb{Z}⟶\mathbb{Z}$ tal que $\phi (1)=5$.
   2. $\ker (\phi )$ y $\phi (25)$, cuando $\phi :\mathbb{Z}⟶{\mathbb{Z}}_{1}2$ y $\phi (1)=6$.
   3. $\ker (\phi )$ y $\phi (10,20)$, cuando $\phi :\mathbb{Z}\times Z⟶Z$, $\phi (1,0)=5$ y $\phi (0,1)=-1$.
   4. $\ker (\phi )$ y $\phi (10)$, cuando $\phi :\mathbb{Z}⟶S_6$ y $\phi (1)=(12)(465)$.
3. ¿Cuántos homomorfismos hay de $\mathbb{Z}$ en $\mathbb{Z}$?
4. ¿Cuántos monomorfismos hay de $\mathbb{Z}$ en $\mathbb{Z}$?
5. ¿Cuántos isomorfismos hay de $\mathbb{Z}$ en $\mathbb{Z}$?
6. Hallar, si existe, un homomorfismo no trivial entre los grupos. indicados. Si no existe, explicar por qué no existe.

   a.	${\mathbb{Z}}_2⟶{\mathbb{Z}}_4$.	b.	${\mathbb{Z}}_2⟶{\mathbb{Z}}_5.$.
   c.	${\mathbb{Z}}_{12}⟶{\mathbb{Z}}_4$.	d.	${\mathbb{Z}}_{12}⟶{\mathbb{Z}}_5$.
   e.	$\mathbb{Z}⟶S_3.$.	f.	$\mathbb{Z}⟶D_8.$.
   g.	$Z\times Z⟶2\mathbb{Z}.$.	h.	$2\mathbb{Z}⟶\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}.$.
   i.	$S_3⟶S_4.$.	j.	$C_{25}⟶C_{30}.$.

7. Sea $G=C_6$. el grupo cíclico con generador $a$. Sea $H=<a^2>$. Explicar por qué $H$ es normal en $G$ y describir la estructura de $G/H$.
8. Sea $G=C_{12}=⟨a⟩$ el grupo cíclico de orden 12 con generador $a$.
   1. Sea $H=⟨a^4⟩$. Describir el grupo cociente G/H.
   2. Sea $H=⟨a^5⟩$. Describir el grupo cociente G/H.
9. Sea $G=D_6$ el grupo de las simetrías de un triángulo equilátero.
   1. Sea H el subgrupo de las rotaciones. Verificar que H es un subgrupo normal de G.
   2. Sea K el subgrupo generado por una de las reflexiones. Verificar que K no es normal en G. (Hallar las coclases izquierdas y derechas de cada elemento del grupo).
10. Probar que las condiciones en la definición de grupo normal son, efectivamente, equivalentes.
11. Sea $G$ un grupo y $H=e$. Probar que $G/H>$ es isomorfo con $G$.
12. Sea $G$ un grupo y $H$ un subgrupo de $G$ tal que $[G:H]=2$. Probar que siempre $H$ es normal en $G$ y describir la estructura de $G/H$.
13. Probar que la intersección de dos subgrupos normales es un subgrupo normal.
14. Sea $f:G-->H$ un homomorfismo. Para todo subgrupo normal $N$ de $f(G)$ se cumple que la imagen inversa por $f$ de $N$ es normal en $G$. ($f^{-1}(N)=\{x\in G:f(x)\in N\}$).
15. Probar que el cociente de un grupo cíclico es un grupo cíclico. ¿Será cierto que si un grupo es tal que todos sus grupos cocientes por subgrupos propios son cíclicos, entonces el grupo es cíclico?
16. Probar que el cociente de un grupo abeliano es abeliano.
17. Probar que el cociente de un grupo cíclico es abeliano.
18. El conjunto cociente $ℝ/\mathbb{Z}$ se puede identificar con el intervalo $[0,1)$, ya que cada clase lateral contiene un único representante en ese conjunto. Como $ℝ$ es abeliano, cualquier subgrupo es normal. Por lo tanto, $ℝ/\mathbb{Z}=[0,1)$ es un grupo (abeliano). ¿Cuál es la operación del grupo, tal que $y\mapsto [y]$ es un homomorfismo de grupos, donde [y] se identifica con su representante único en [0,1)? (Sugerencia: Probar que la función $u:[0,1)⟶ℂ$ tal que $u(t)=e^{2\pi it}=\cos (2\pi t)+i\text{sen}(2\pi t)$ es biyectiva y su imagen es el subgrupo de complejos cuyo módulo es 1.)

Productos de Grupos y Subgrupos

Aplicaremos la noción de grupo normal para el estudio de producto de grupos y subgrupos.

Estructura de un Producto de Grupos

Sean $G,H,K$ grupos tales que $G=H\times K$ con la estructura canónica de operación por componentes. Sea $i_H:H⟶G$ tal que $i_H(h)=(h,e_K)$. Como Plantilla:Eqn tenemos que $i_H$ es un homomorfismo de grupos que es, obviamnete, inyectivo. Por lo que $H$ es isomorfo con su imagen $H^{\prime }=\{(x,e_K):x\in H\}$.

Análogamente, podemos definir un monomorfismo $i_K$ de $K$ en $G$ con imagen $K^{\prime }=\{(e_H,y):y\in K\}\cong K$.

Luego, $G$ es un producto directo de sus subgrupos $H^{\prime }$ y $K^{\prime }$, de acuerdo a la definición en el capítulo de Grupos Generados.

Sea $p{r}_H:G⟶H::(x,y)\mapsto x$. Claramente, $p{r}_H$ es un supramorfismo cuyo núcleo es precisamente $K^{\prime }$ lo que muestra que $K^{\prime }$ es un subgrupo normal de $G$. Análogamente, se verifica que $H^{\prime }$ es normal en $G$. Si $(x,y)$ esta en $H^{\prime }\cap K^{\prime }$, tenemos que $x=e_H$ y $y=e_K$, o sea que esos subgrupos solamentge tienen en común el elemento neutro. Resumiremos la discusión anterior en la siguiente proposición.

Proposición 8. Sea $G=H\times K$. Entonces, $G$ es producto directo de dos subgrupos normales $H^{\prime }$ y $K^{\prime }$ de $G$ que tienen en común solamente al elemento neutro y que son isomorfos a $H$ y $K$ respectivamente.

Conjuntos Productos que son Grupos

En el capítulo [[../Grupos Generados#Operaciones con Subconjuntos|Los Grupos Generados]], definimos el producto $AB$ de dos subconjuntos $A$ y $B$ de un grupo como el conjunto formado por todos los posibles productos con un primer factor en $A$ y su segundo factor en $B$. Vimos, también, que aunque $A$ y $B$ fueran subgrupos, su producto no tiene por que ser un subgrupo de $G$.

A continuación, veremos qué pasa cuando uno de ellos o ambos son normales en $G$.

Proposición 9. Sean $H$, $K$ subgrupos de $G$ y sea $P=HK$.

1. Si $H◃G$ entonces $P=HK$ es un subgrupo de $G$,
2. Si $H$ y $K$ son normales, $P$ es un subgrupo normal de $G$.
3. En ambos casos, si $H\cap K=\{e\}$, entonces la representación de cada elemento de $HK$ de la forma $hk$ $h\in H$ y $k$ en $K$. es única.

Demostración:
1. Sean $xy$, $zw$ elementos de $HK$ tales que $x$, $z$ están en $H$ y $y$, $w$ están en $K$. Entonces, Plantilla:Eqn Como $H$ es normal en $G$, $yz{y}^{-1}$ está en $H$. por lo que $xyx{y}^{-1}$ es un elemento de $H$. Luego, $(xy)(zw)$ es un elemento de $P=HK$ que es, por lo tanto, cerrado respecto a la operación. Probaremos, ahora, que $P$ es cerrado respecto a a tomar inversos. Plantilla:Eqn Luego, $HK<G$.
2. Sea $g$ un elemento cualquiera de $G$ y sea $z=xy$ en $P$, con $x$ en $H$ y $y$ en $K$. Entonces, Plantilla:Eqn Luego, $P◃G$.
3. Supongamos que $H\cap K=\{e\}$ Si $h_1{k}_1=h_2{k}_2$ entonces Plantilla:Eqn Como el elemento de la izquierda en (*) está en $H$. mientras que aquel de la derecha está en $K$, tenemos que cada uno de ellos debe ser igual al neutro $e$, de donde, $h_1=h_2$ y $k_1=k_2$.
Plantilla:QED

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Proposición 10. (Producto Interno de Subgrupos Normales) Sean $H$ y $K$ subgrupos normales de un grupo $G$ tales que $G$ es generado por $H$ y $K$ (o sea que $G=<H,K>$),

1. $G=HK$.
2. Si la intersección $H\cap K$ es el subgrupo trivial {e}. Entonces, $G=H\times K$ (producto directo de $H$ y $K$).

Demostración:
1. Por la proposición, $HK$ es un subgrupo de $G$, que como genera a $G$ debe ser igual a $G$.
2. Probaremos, que los elementos de $H$ conmutan con los elementos de $K$. En efecto, sea $z=hk(kh{)}^{-1}=hk{h}^{-1}{k}^{-1}=(hk{h}^{-1})k^{-1}$. Por la normalidad de $K$, $z$ es el porducro de dos elementos de $K$, por lo que está en $K$. Como también $z=h(k{h}^{-1}{k}^{-1})$, concluimos que $z$ está en $H$. Como el único elemento común a $H$ y $K$ es el neutro, concluimos que $z=e$. Es decir que $hk(kh{)}^{-1}=e$, lo que es equivalente a $hk=kh$. Sea $f:HxK⟶HK=G$ tal que $f(h,k)=hk$. Entonces. Plantilla:Eqn por lo que $f$ es un homomorfismo. Por la parte a) tenemos que $f$ es suprayectiva. Por la unicidad de la escritura del producto, $hk=e$, ssi, $h=e=e_H$ y $k=e=e_K$. Por lo que $f$ es un isomorfismo.
Plantilla:QED

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Observación. En el capítulo [[../Grupos#Producto de Grupos|Los Grupos]], vimos en una proposición condiciones necesarias y suficientes para que un grupo fuera producto interno de dos de sus subgrupos. En esa proposición se requería que los elementos de $H$ conmutaran con los elementos de $K$ ; dicha exigencia se reemplazó en la proposición por la normalidad de los subgrupos. En la demostración anterior, no invocamos la proposición citada. Si se invocará, la demostración se simplificarla. Queda al cuidado del lector hacerlo.

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Plantilla:Ejmpl Sea $G=S_3=⟨a,b:a^3=b^2=e,ba{b}^{-1}=a^2⟩$ y sean $H=<a>$ y, $K=$.

Claramente, $G=HK$, pero $G≆H\times K$, ya que implicaría que sería cíclico. Notemos que $K$ no es normal en $G$.

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Ejercicios

1. Probar que el producto de dos grupos abelianos es un grupo abeliano.
2. Sea $G$ un grupo abeliano tal que $|G|=pq$ donde $p$ y $q$ son números primos diferentes. Probar que hay elementos $x$, $y$ tales que $o(x)=p$, $o(y)=q$ y que $G\cong C_p\times C_q$. Por lo que el grupo es ciclico.
3. Construir un tabla de $\phi (n)$ para $20\le n\le 40$.
4. (Generalización del teorema del producto) Sea $G$ un grupo y sea $(N_i{)}_{1=1}^m$ una familia de subgrupos tales que
   1. Cada $N_i$ es normal en $G$, $i=1,\dots ,m$.
   2. $G$ es generado por la reunión de los $N_i$, $G=⟨N_1,\dots ,{\mathbb{N}}_m⟩$.
   3. Para todo $i\ne j$, $N_i\cap N_j=\{e\},1\le i,j\le m$.

   Entonces, $G\cong N_1\times N_2\times \dots \times N_m$.

Ejercicios del Capítulo

1. ¿Por qué en un grupo abeliano, todos los subgrupos son normales?
2. Los subgrupos de índice 2 de un grupo son normales, ¿qué se puede decir de aquellos de índice 3?
3. Sea $\nu :G\to G/N$. Sea $\bar{H}$ un subgrupo de $G/N$. Probar que ${\nu }^{-1}(\bar{H})$ (la imagen inversa de $\bar{H}$ por $\nu$ ) es un subgrupo de $G$ que contiene a $N$.
4. Sea $g$ en $G=S_3$ el 3--ciclo $(132)$. Sea $H=<g>$. Probar que $H$ es normal en $S_3$.
5. Probar que cualquier subgrupo normal $N$ de un grupo $G$ es una reunión de clases de conjugación disjuntas. Buscar un ejemplo de un grupo no normal que no es reunión de clases disjuntas.
6. Probar que si H es normal en G, y K es un subgrupo de G que contiene a H, entonces H es normal en K.
7. Buscar un ejemplo de grupo $G$ con subgrupos $H$ y $K$ tales que K es normal en H, H es normal en K, pero K no es normal en G.
8. Sea $f:G⟶H$ un supramorfismo. Probar que $H$ es un grupo abeliano, ssi, para todo $x,y$ de $G$, $xy{x}^{-1}{y}^{-1}$ es un elemento del núcleo del homomorfismo.
9. Sea $G=<a,b:a^4=e,b^4=e,a^2=b^2,ba{b}^{-1}=a^3>$ (Grupo Cuaterniónico). Probar que
   1. $G=\{b^k,a{b}^k;k=0,1,2,3\}$.
   2. $G$ no es abeliano.
   3. Cada subgrupo de G es normal.
10. Sea $G$ un grupo y $H$ un subgrupo de $G$. Llamamos normalizador en $G$ de $H$ al conjunto $N_G(H)$ formados por todos los $g$ de $G$ tales que $gH{g}^{-1}=H$. Probar las siguientes afirmaciones,
    1. H es un subgrupo normal en su normalizador.
    2. Si H es normal en un subgrupo K de G, K es un subgrupo del
       normalizador de H.
    3. H es normal en G. ssi, $N_G(H)=G$.
11. Sea $G=HxK$. Probar que $Hxe$ y $exK$ son subgrupos normales de $G$.
12. Considerar a $\mathbb{Z}$ como subgrupo del grupo aditivo de los Racionales. Sea $[q]$ la clase del racional $q$ en $\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$.
    1. Probar que $[11/4]$ es un elemento de orden 4 en $\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$.
    2. Hallar el orden de $[m/n]$ cuando m y n son enteros relativamente primos entre si.
    3. Concluir que $\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$ es un grupo infinito cuyos elementos todos tienen orden finito y que hay elementos cuyo orden es arbitrariamente grande.
13. El grupo lineal especial $S{L}_2(ℝ)$ es un subgrupo normal del grupo lineal $G{L}_2(ℝ)$. Determinar el grupo $G{L}_2(ℝ)/S{L}_2(ℝ)$.
14. Probar que $L:=\{(x,y):y=mx\}$ es un subgrupo aditivo de ${ℝ}^2$. En una sección anterior, pedimos (para el caso m=3) identificar geométricamente las clases laterales de L en ${ℝ}^2$. ¿Cómo podemos visualizar al grupo cociente ${ℝ}^2/L$? ¿Cómo podemos identificar algebraicamente a ese grupo? (Sugerencia. Probar que cada clase lateral contiene exactamente un punto del eje Y.)
15. La intersección de subgrupos normales es un subgrupo normal.
16. Sea $S$ un subconjunto de un grupo $G$. Probar que la intersección de todos los subgrupos normales que contienen a $S$ es un subgrupo normal, caracterizado por ser el menor (respecto a la inclusión) de tales subgrupos. Usar lo anterior, para probar que el subgrupo derivado (el subgrupo generado por los conmutadores) es normal.
17. Cuando un grupo finito tienen exactamente un subgrupo de cierto orden, dicho subgrupo es normal.
18. Sea $H◃G$ con índice $m=[G:H]$. Probar que para todo $a$ en $G$ se cumple que $a^m$ está en $H$.
19. Los automorfismos internos forman una subgrupo normal del grupo de automorfismos de un grupo.
20. Sean $H$ y $N$ subgrupos de $G$ con $N$ normal. Probar que $H\cap N$ es normal en $H$. Buscar un ejemplo que muestre que no necesariamente $H\cap N$ es normal en $G$.
21. Suponer que el grupo $G$ tiene un subgrupo de orden $m$. Sea $H$ la intersección de todos los subgrupos de orden $m$ del grupo. Probar que $H$ es un subgrupo normal.
22. Sea $f:G⟶H$ un homomorfismo de grupos.
    1. Si $N$ es un subgrupo normal de G, $f(N)$ es normal en $f(G)$.
    2. Si $N^{\prime }$ es un grupo normal de $G$, $f^{-1}(N^{\prime })$ es normal en $G$.
23. Si $G$ no es abeliano, entonces, $G/Z(G)$ no puede ser cíclico.
24. Un grupo no abeliano $G$ de orden $pq$, $p$ y $q$ primos, tiene centro trivial.
25. (Grupos con torsión.) Un grupo con torsion es un grupo con elementos de orden finito diferentes del neutro. Un grupo es libre de torsión cuando no tiene elementos diferentes del neutro con orden finito. Un grupo es un grupo de torsión, ssi, todos sus elementos tiene orden finito.
    1. Dar un ejemplo de un grupo que es libre de tprsión.
    2. Dar un ejemplo de un grupo de torsión.
    3. Dar un ejemplo de un grupo con torsión, oero que no es de torsión.
    4. Cada grupo abeliano contiene un subgrupo de torsión. Dicho subgrupo es normal y el correspondiente grupo cociente es libre de torsión.

Comentarios

• Conjunto cociente. Una relación de equivalencia $\sim$ en un conjunto X define una partición de X y cada partición de X define una relación de equivalencia en X. Una partición de X, recordemos, es una familia $X_i,i\in I$ de subconjuntos de X, disjuntos entre si y cuya reunión es todo X. El conjunto cociente de X por la relación $\sim$ es el conjunto denotado por $X/\sim$ ("X módulo $\sim$") definido como el conjunto formado por las clases de equivalencias de $\sim$, o sea los subconjuntos que forman la partición de X. La construcción de un conjunto cociente esbozada arriba es una de las construcciones más importantes de matemáticas. Representa una abstracción de algunas propiedad de los elementos del conjunto X. Una abstracción es siempre poner el foco en algo y olvidarnos del resto. Por ejemplo, cuando trabajamos con la congruencias módulo 5, estamos interesados solamente en los residuos obtenidos al dividir por 5. Por lo que, si nos olvidamos del resto, dos números lucen lo mismo, cuando su residuo al dividir por cinco son iguales. Esta es precisamente lo que establece la definición de congruencia módulo 5. Por lo que las clases de equivalencia son cinco, una por cada residuo posible.
• Subgrupos Normales. Hay una definición alterna para subgrupos normales que descansa en la noción de partición. Sea G un grupo y $(X_i)$ una familia de subconjuntos de $X$. Sea $G^{\prime }$ el conjunto cuyos elementos son los $X_i$'s. Cuando la operación de $G$ extendida a subconjuntos provee a $G^{\prime }$ con una estructura de grupo, entonces se cumple que
  1. El elemento de la partición que sirve de neutro es un subgrupo H de G.
  2. Los grupos G/H y G' son isomorfos.

  Se define grupo normal a un grupo construido de esta manera. En nuestra terminología, esto quiere decir que un subgrupo es normal, ssi, es el núcleo de un homomorfismo.

  Ver una exposición basada en esta aproximación en la página Grupo cociente de Wipedia.

• Teorema de Euler. El teorema de Euler tiene, aparte de sus aplicaciones a la teoría de los grupos cíclicos, muchas otras aplicaciones. Ver por ejemplo Childs , Lauritzen y la página Pequeño teorema de Fermat para aplicaciones a criptografía y a algoritmos de Álgebra Computational (Programas de computadoras para hacer álgebra de manera simbólica) Alguna información adicional se puede hallar en la página de Wikipedia: Teorema de Euler.