Matemáticas/Álgebra Abstracta/Anillos/Tipos de Dominios

Introducción

El anillo de los Enteros es un dominio (de integridad) con algunas propiedades muy interesantes tales como la división euclídea, la factorización de manera única en primos y que sus ideales son todos principales.

Analizaremos dichas propiedades y sus relaciones. Para hacer lo anterior, estudiaremos tres categorías de dominios: dominios euclídeos (que tienen algo parecido al resultado de algoritmo de la división de Euclides), dominios de ideales principales (DIPs) y dominios de factorización única (DFUs).

Tal estudio estará fundamentado principalmente en las relaciones de divisibilidad y las propiedades de primos e irreducibles.

Veremos que, en general, se cumple que dominios euclídeos son DIPS y que los DIPs son DFUs, lo que se ilustra en la figura siguiente. En la última sección, mostraremos que las relaciones de inclusión entre esas clases son estrictas, es decir hay DIPs que no son euclídeos y DFU que no son DIPs.

Nuestros principales ejemplos serán los Enteros, los anillos de polinomios sobre un cuerpo y los subanillos de los Complejos de la forma

ℤ [m] = {a + b \sqrt{m} : a, b \in ℤ, m un entero que no es un cuadrado} .

Resultará muy interesante ver que la aritmética en esos últimos dominios es dependiente del entero $m .$ En algunos casos, por ejemplo tendremos que irreducibles siempre será primos, pero en otros no.

Hay una sección completa dedicada a los Enteros Gaussianos, $ℤ [i],$ . Además de proveernos con una serie de interesantes y bellos resultados, es una muestra del genio de Gauss.

En este capítulo, para indicar que $a$ y $b$ son asociados, escribiremos $a \sim b .$

Los Dominios de Factorización Única, DFUs

Recordemos que llamamos dominio de factorización única a un dominio donde cada elemento no nulo que no es una unidad puede escribirse como un producto de irreducibles, donde los irreducibles y las veces que aparecen son únicas, excepto por asociados. Decimos que ese producto es una descomposición del elemento en producto de irreducibles. Esto quiere decir que, $D$ es un DFU, ssi,

cada elemento de $D$ que no es ni nulo ni unidad, es un producto de elementos irreducibles, y
si $a_{1} a_{2} \dots a_{m} = b_{1} \dots b_{n}$ donde los $a_{i}$ 's y los $b_{j}$ 's son irreducibles, se cumple que $m = n,$ y que, eventualmente después de una reenumeración de los $b_{j}$ 's, se cumplirá que $a_{i} \sim b_{i} .$

Nuestro ejemplo primero son los Enteros, $ℤ,$ donde el Teorema Fundamental de la Aritmética establece precisamente que se trata de un DFU.

Observación. Supongamos que el conjunto de elementos irreducibles de $D$ se haya particionado de acuerdo a las clases de equivalencia de la relación "es asociado con". En algunos casos, hay una manera natural de seleccionar un representante de cada clase. En tales casos, se puede utilizar dichos representantes para eliminar la referencia a asociados en el enunciado de la descomposición en producto de irreducibles.

El anillo $ℤ$ es un DFU. Sigue, de la definición general de irreducible, que si $p$ es irreducible también lo es $- p$ y no hay otro asociado con él. Podemos seleccionar como representante de la clase al número positivo de la clase.
El anillo $k [X]$ de los polinomios con coeficientes en un cuerpo es un DFU (ver el Teorema A del capítulo [[../Factorización de Polinomios|La Factorización de Polinomios]]). En cada clase de equivalencia, siempre hay un polinomio mónico, al que podemos usar como representante predilecto de la clase.

Plantilla:Res Sabemos que en un dominio cualquiera los elementos primos son irreducibles. Hemos visto ejemplos de dominios donde hay elementos irreducibles que no son primos, ver también en el ejemplo A de la sección de Contraejemplos. Sin embargo, cuando el dominio es DFU, se cumple que todos los irreducibles son primos como vimos en la proposición 2 del capítulo [[../Factorización de Polinomios|La Factorización de Polinomios]].

El siguiente lema será usado más adelante.

Lema A. Sea $p$ un irreducible tal que $p^{r},$ $r > 0,$ divide a un elemento $a$ de un DFU $D .$ Entonces, $p^{r}$ (o un asociado) aparece en cualquier descomposición en irreducibles de $a .$

Demostración

c

D

p^{r} c = a .

c,

p^{r}

a .

Plantilla:QED

Proposición 1. (Existencia de mcd y mcm) Sea $D$ un DFU. Dos elementos no nulos siempre tienen mcd y mcm.

Demostración

a

b

D .

p_{1}, p_{2}, \dots, p_{m}

a

b .

a = p_{1}^{r_{1}} p_{2}^{r_{2}} \dots p_{m}^{r_{m}} y que b = p_{1}^{s_{1}} p_{2}^{s_{2}} \dots p_{m}^{s_{m}} .

donde los $r_{i}$ 's y $s_{i}$ 's pueden ser positivos o cero (cero cuando el irreducible no aparecía en la descomposición en irreducibles del elemento). Sea $t_{i} = \min {r_{i}, s_{i}},$ $1 \leq i \leq m .$ Entonces, $c = p_{1}^{t_{1}} p_{2}^{t_{2}} \dots p_{m}^{t_{m}}$ es un mcd de $a$ y $b .$

Análogamente, pero usando el mayor exponente en cada descomposición, obtenemos el mcm; dejaremos al cuidado de lector la verificación de lo anterior.

Plantilla:QED

En el ejemplo B de la sección de Contraejemplos, se muestra que $ℤ [\sqrt{- 5}]$ es un dominio donde hay mcd de dos elementos, pero no mcm, por lo que ese dominio no puede ser un DFU,

Caracterización de los DFU

El objetivo de esta sección es obtener una caracterización de los DFU usando que irreducibles son primos y que se cumple la llamada condición de cadenas finitas de divisores propios que veremos a continuación

Cadenas Finitas de Divisores Propios

¿Cuántos divisores o factores propios tiene un elemento cualquiera? (Un divisor propio de un elemento es un divisor del elemento que no es una unidad o un asociado del elemento.)

Veamos la situación en un DFU. Sea $a$ un elemento que no es una unidad y sea $b$ un divisor propio de $a .$ Entonces, hay un $c$ tal que $a = b c .$ Sean $a = p_{1} \dots p_{r},$ $b = {p_{1}}^{'} \dots {p_{s}}^{'}$ y $c = {p_{1}}^{″} \dots {p_{'}}^{'}$ las descomposiciones de $a,$ $b$ y $c,$ respectivamente. Entonces,

p_{1} \dots p_{r} = {p_{1}}^{'} \dots {p_{s}}^{'} {p_{1}}^{″} \dots {p_{t}}^{″}

.

Sigue de la unicidad que cada uno de los ${p_{j}}^{'}$ debe aparecer en el lado izquierdo, es decir que hay un $p_{i_{j}} \sim {p_{j}}^{'},$ por lo que $b \sim p_{i_{1}} \dots p_{i_{s}} .$ Es decir que cada factor propio está formado por un producto finito de los factores irreducibles de $a .$ Por lo tanto, la cantidad total de factores de un elemento cualquiera es finita. Por lo que se cumple la siguiente proposición.

Proposición 2. En un DFU no hay una sucesión infinita de elementos $a_{i}$ tales que cada $a_{i + 1}$ sea un factor propio de $a_{i} .$

Plantilla:Marco El siguiente enunciado es una forma equivalente para la condición. Plantilla:Marco

Usando esa noción, tenemos la siguiente proposición caracterizando a los DFUs. La demostración será una simple abstracción de una de las pruebas clásicas del Teorema Fundamental de la Aritmética.

Proposición 3. Sea

$D$

un dominio cualquiera. Entonces,

$D$

es un DFU, ssi,

cada irreducible es primo y
se cumple la condición de cadenas finitas de divisores propios.

Demostración

a

a

a

a = a_{1} {a_{1}}^{'}

a_{1}

{a_{1}}^{'}

a_{1} = a_{2} {a_{2}}^{'},

a, a_{1}, a_{2}, \dots,

a .

a

a

p_{1},

a = p_{1} a_{1}

a_{1} .

a_{1}

a_{1}

p_{2}

a_{1} = p_{2} a_{2} .

a_{2}

p_{3}

a_{2} .

p_{1}, p_{2}, \dots, p_{s}

p_{s} | p_{s} p_{s - 1} | \dots | p_{s} \dots p_{2} | p_{s} \dots p_{2} p_{1} = a,

la que no puede ser infinita por la hipótesis (ii).

(Unicidad) Aquí usaremos que irreducibles son primos. Supongamos que tenemos dos descomposiciones que producen el mismo elemento. Digamos que Plantilla:Eqn donde los $p_{i}$ 's y los $q_{j}$ 's son irreducibles, y $a$ y $b$ son unidades. Como irreducibles son primos, $p_{1}$ es un primo que divide al producto de la derecha y, por lo tanto, divide a uno de ellos, digamos a $q_{j_{1}} .$ Como ambos, $p_{1}$ y $q_{j_{1}}$ son irreducibles, deben ser asociados. Por reenumeración de los $q_{j},$ podemos suponer que $q_{1} = q_{j_{1}} .$ Por ser $q_{1} \sim p_{1},$ $q_{1} = u_{1} p_{1},$ donde $u_{1}$ es una unidad. Cancelando el factor común $p_{1}$ en ambos lados de (*), obtenemos que Plantilla:Eqn Repitiendo el proceso anterior cancelamos, $p_{2}$ con $q_{2},$ posiblemente después de otra reenumeración. Así, cancelaremos todos los irreducibles de la izquierda, ya que un irreducible no puede dividir a una unidad. Esto prueba que $s \leq t .$ Pero, por la misma razón, no puede haber irreducibles a la derecha. Luego, $s = t,$ y cada irreducible de un lado es asociado de uno en el otro lado.

Plantilla:QED

Otra caracterización de los UFD

Veremos, a continuación, otra caracterización de los UFD usando la existencia de mcds en lugar de que los irreducibles sean primos.

Necesitaremos algunas propiedades de los MCD que revisaremos a continuación.

Sea $D$ un dominio tal que dos elementos no nulos siempre tienen MCD.

Lema B. Cualquier cantidad finita de elementos no nulos, tiene un MCD.

Demostración

A = {a_{1}, \dots, a_{m}}

D .

m = 2,

A .

k

m = k + 1 .

e = mcd {a_{1}, \dots, a_{k}}

f = mcd {e, a_{k + 1}} .

f

a_{i}

g

a_{i},

g

e

f

f

Plantilla:QED

Lema C. (Asociatividad del MCD) $mcd {a, mcd {b, c}} \sim mcd {mcd {a, b} c} .$

Demostración

{a, b, c} .

Plantilla:QED

Lema D. $mcd {c a, c b} \sim c mcd {a, b}$

Demostración

d = mcd {a, b}

e = mcd {c a, c b} .

c d | c a, c b,

c d | e .

e = c d u,

u

D .

x

c a = e x = c d u x .

a = d u x,

d u | a

d u | b .

d u | d,

u

e \sim c d,

Plantilla:QED

Lema E. Si $mcd {a, b} \sim 1$ y $mcd {a, c} \sim 1,$ entonces, $mcd {a, b c} \sim 1 .$

Demostración

mcd {a, b} \sim 1,

mcd {c a, b c} \sim c .

mcd {a, a c} \sim a .

mcd {a, b c} \sim mcd {mcd {a, a c}, b c} \sim mcd {a, mcd {a c, b c}} \sim mcd {a, c} \sim 1 .

Plantilla:QED

La siguiente proposición muestra que la condición de que los irreducibles sean primos es equivalente a que haya mcd de elementos.

Proposición 4. Sea $D$ un dominio cualquiera donde dos elementos no nulos cualesquiera tienen un mcd. Entonces, cada irreducible es primo.

Demostración

q

D

q | a b .

q ∤ a

q ∤ b .

q

mcd {q, a} \sim 1

mcd {q, b} \sim 1 .

mcd {q, a b} = 1,

q ∤ a b .

q

q

a

b .

Plantilla:QED

Tenemos, en forma inmediata, el siguiente resultado.

Corolario 4.1. (Segunda caracterización de los UFD) Un dominio es DFU, ssi,

(i). cada par de elementos tiene MCD y

(ii) se cumple la condición de cadenas finitas de divisores propios.

Plantilla:Res Este resultado fue probado en el teorema A del capítulo [[../Factorización de Polinomios|20]]. Tiene importantes consecuencias como que $ℤ [X]$ y $k [X],$ $k$ cuerpo, son DFUs. Por inducción, sigue entonces que $ℤ [X_{1}, X_{2}, X_{3}, \dots]$ y $k [X_{1}, X_{2}, X_{3}, \dots]$ (polinomios en varias indeterminadas) son DFUs.

Ejercicios

Probar que la relación "ser asociado con" es una relación de equivalencia.
Sea $D$ un DFU. Probar que si $d \sim mcd {a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}}$ entonces $mcd {a_{1} / d, a_{2} / d, \dots, a_{n} / d},$ donde $x / y$ es el elemento $z$ tal que $y z = x,$ cuando $y | x .$
Sea $D$ un DFU. Sean $a, b, c$ elementos de $D .$ Probar que si $mcd a, b \sim 1$ y que $a | b c,$ entonces $a | c .$
Escribir la prueba de que cuando $D$ es un DFU, entonces también lo es el anillo de polinomios sobre $D$ en $n$ indeterminadas, $D [X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n}] .$

Los Dominios de Ideales Principales

Recordemos que llamamos dominio de ideales principales, DIP a un dominio tal que cada ideal propio está generado por un elemento. Notemos que los cuerpos son trivialmente DIPS. También sabemos que $ℤ$ y $k [X]$ son DIPS (ver la proposición 19.2).

Proposición 5. Sea $D$ un DIP. Sea $x$ un elemento no nulo de $D .$ Las siguientes propiedades son equivalentes:

$x$ es primo;
$x$ es irreducible;
El ideal $⟨ x ⟩$ es maximal, por lo que $D / ⟨ x ⟩$ es un cuerpo.

Demostración

⟹

⟹

x

D

y

⟨ x ⟩ \subset ⟨ y ⟩ .

x = y z

y

z

z

x

y

⟨ y ⟩ = ⟨ x ⟩ .

y

⟨ y ⟩ = D .

⟨ x ⟩

⟹

I = ⟨ x ⟩

D .

D / I

I

x

Plantilla:QED

Sea $a$ un divisor propio de $b,$ entonces $b = a c,$ lo que implica que $b$ está en $⟨ a ⟩ .$ Si $a$ estuviera en $⟨ b ⟩,$ $b$ dividiría a $a,$ por lo que $a$ y $b$ serían asociados. Luego, cuando $a$ es un divisor propio de $b,$ $⟨ b ⟩$ es un subconjunto propio de $⟨ a ⟩ .$

Sigue de la discusión anterior, que la condición de cadenas finitas de divisores propios es equivalente, en un DIP, a la siguiente condición:

Plantilla:Marco

Proposición 6. DIPS satisfacen la condición noetheriana.

Demostración

I_{1} \subset I_{2} \subset \dots \subset I_{n} \subset

I_{j} = ⟨ a_{j} ⟩ .

I

I_{k},

k = 1, 2, \dots,

I = {x \in D : x \in I_{j}, para algún j} .

Veamos que $I$ es un ideal. Sean $x,$ $y$ en $I .$ Por definición de reunion, hay $j,$ $k$ tales que $x$ está en un $I_{j}$ y $y$ está en $I_{k} .$ Sea $s = \max {j, k},$ entonces como $I_{j}$ e $I_{k}$ son subconjuntos de $I_{s}$ tenemos que $x, y$ están ambos en $I_{s} .$ Como $I_{s}$ es ideal, tenemos que $x - y$ está en $I_{s}$ y que $z x$ está en $I_{s}$ para todo $z$ en $D .$ Por lo tanto, esos elementos están en $I,$ por lo que $I$ es un ideal. Como $D$ es DIP, hay un $d$ tal que $I = ⟨ d ⟩ .$ Supongamos que $d$ esté en $I_{m} .$ Entonces, $I = ⟨ d ⟩ \subset I_{m},$ pero como $I$ es la reunión de los $I_{j},$ $I_{m} \subset I .$ Luego, $I = I_{m} .$ Por lo tanto, para todo $n > m$ se tiene que $I = I_{m} \subset I_{n} \subset I,$ por lo que $I_{n} = I_{m} .$

Plantilla:QED

Como lo anterior implica que se cumple la condición de cadena finita de divisores y que los irreducibles son primos, concluimos que

Proposición 7. Los DIPs son DFUs.

La siguiente proposición es la generalización del teorema de Bezout para los Enteros--- dados dos enteros no nulos, podemos expresar el mcd de ellos como una combinación lineal de dicho enteros.

Proposición 10. (Teorema de Bezout) Sea $D$ un DIP y sean $a$ y $b$ elementos no nulos de $D .$ Entonces, hay un elemento $d$ que es un mcd de $a$ y $b .$ Además, hay elementos $x,$ $y$ tales que

$d = a x + b y .$

Demostración:

a

b

D .

I

I = ⟨ a, b ⟩ .

D

d

I = ⟨ d ⟩ .

a

b

I,

d

d

D

x,

y

Plantilla:Eqn

e

a

b,

e

d .

d

a

b .

Plantilla:QED

Ejercicios

Sean $a$ y $b$ elementos de un DIP. Probar que el generador $m$ del ideal $⟨ a ⟩ \cap ⟨ b ⟩$ es un mcm de $a$ y $b .$
Sea $p$ un entero primo. Sea $D_{p} = {a / b \in ℚ : mcd (a, b) = 1, b = p^{k} para algún k \geq 0 .} .$ Probar que $D_{p}$ es un DIP.
Sea $D = ℤ [\sqrt{2}] = {a + b \sqrt{2}; A, b \in ℤ} .$ Sea $J = ⟨ 2 ⟩ .$ Describir la estructura de $D / J$ (Escribir su tabla de multiplicación). Hallar un ideal maximal de $D / J .$
Sea $A = {[\begin{matrix} a & 0 \\ 0 & b \end{matrix}] : a, b \in ℤ} .$ Probar que cada ideal de $A$ es principal. Hallar los ideales primos y maximales y verificar que no todos los ideales primos son maximales.
Sea $D$ un DIP. Probar que un ideal primo es o ${0}$ o $D$ o un ideal maximal.

Los Dominios Euclídeos

Dijimos en la introducción que los dominios euclídeos representan la abstracción de la división euclídea en los Enteros. A continuación, tendremos la definición formal.

Definición. ({Dominio Euclídeo) Sea $D$ un dominio. Decimos que $D$ es un dominio euclídeo, ssi, hay una función $ϕ : D ∖ {0} ⟶ ℤ$ (llamada el tamaño o la norma euclídea) tal que

Si $a | b,$ $b \neq 0,$ entonces $ϕ (a) \leq ϕ (b),$ y
Para todo a,b en $D,$ $b \neq 0,$ hay elementos $q$ y $r$ tales que $a = q b + r$
con $r$ tal que $ϕ (r) < ϕ (b)$ o $r = 0 .$

Supongamos que $D$ es un dominio euclídeo con "tamaño" $ϕ .$ Como las unidades son divisores de cualquier elemento del dominio, tenemos que para todo unidad $u$ y $a$ no nulo, se cumple, por (i), que $ϕ (u) \leq ϕ (a) .$ En particular, lo anterior es válido para $a = 1$ ; pero como 1 es una unidad, para cualquier unidad $u,$ $ϕ (1) \leq ϕ (u) .$ Luego, $ϕ (1) = ϕ (u)$ para toda unidad $u .$ Además, $ϕ (1)$ es el menor valor asumido por $ϕ .$ Es decir que el conjunto de los $ϕ (a),$ $a$ no nulo es un conjunto de números enteros acotado inferiormente por $ϕ (1) .$

Ejemplos de Dominios Euclídeos

Plantilla:Ejmpl El ejemplo prototipo es el dominio de los números enteros con $ϕ (z) = | z | .$ En efecto, si $a | b,$ $b \neq 0,$ hay un entero $c$ tal que $a c = b$ ; de donde $| a | | c | = | a c | = | b |,$ por lo que $| a | \leq | b,$ ya que $| c | \geq 1 .$ Recordemos el teorema de la división euclídea que establece que para todo $a$ y $b$ enteros, $b > 0$ podemos hallar únicos enteros $q$ y $r,$ tales que $a = q b + r$ con $0 \leq r < b .$ Claramente, de allí, sigue la segunda condición de la definición de dominio Euclídeo.

Plantilla:Ejmpl Sea $D = k [X]$ el anillo de polinomios con coeficientes en un cuerpo $k .$ Veremos que se trata de un dominio euclídeo con tamaño o estructura euclídea dada por el \text{gr}ado de los polinomios.

Cuando $f$ y $g$ son polinomios tales que ninguno de ellos es nulo y $f | g$ entonces $gr (f) \leq gr (g) .$

Para los polinomios, se tiene, también, un teorema de la división análogo al de la división euclídea de los Enteros. Es decir, dados polinomios $f$ y $g,$ $g$ no nulo, hay polinomios $q$ y $r$ tales que $f = q g + r,$ donde $r = 0$ o $gr (r) < gr (g) .$ Es decir que el anillo de polinomios es un dominio euclídeo, con tamaño definido por el \text{gr}ado de un polinomio.

Probaremos, a continuación, que todos los dominios euclídeos comparten con los Enteros, la propiedad de que cada ideal es principal.

Proposición 11. Sea $D$ un dominio euclídeo con norma euclídea $ϕ .$ Entonces, $D$ es un DIP (cada ideal es principal). Cuando el ideal no es nulo, su generador, tiene el menor tamaño entre los elementos del ideal.

Demostración

I

S = {ϕ (a) : a \in I ∖ {0}},

S

b

I

ϕ (b)

S .

a

I

a = q b + r

ϕ (r) < ϕ (a)

r = 0 .

a = q b + r

r = a - q b,

r

I .

r = 0,

ϕ (r) < ϕ (b) .

a

b,

I = ⟨ b ⟩ .

Plantilla:QED

Corolario 11.1. Los dominios euclídeos son DFUs.

Ejercicios

Sea $ϕ$ una estructura euclídea en un dominio $D .$ Definamos $ϕ^{'}$ por $ϕ^{'} (x) : = ϕ (x) - m,$ donde $m$ es un entero fijo. Probar que $ϕ^{'}$ también es una estructura euclídea en $D .$ Es decir que, sin perdida de generalidad, siempre se puede suponer que la estructura es tal que para todo elemento no nulo $x,$ $ϕ (x) \geq 0 .$
Sean $α = 4 + 5 i$ y $b = 7 + 8 i$ elementos de $ℤ [i] .$ Hallar $γ$ un máximo común divisor de $α$ y $β,$ junto con enteros gaussianos $z,$ $w$ tales que $z α + w β = γ .$
(Primos en $ℤ [i]$ ) Sea $π$ un elemento primo de $ℤ [i]$ tal que $π \in̸ ℤ, i ℤ .$ Probar que $N (π) = 2$ o $N (π) = p$ es un entero primo de la forma $4 k + 1 .$ En caso contrario, probar que $N (π) = p^{2}$ donde $p$ es un entero primo de la forma $4 k + 3 .$ ¿Cuáles enteros primos $p$ son primos Gaussianos?
Sea ω=cos⁡(2π/3)+isen⁡(2π/3) un raíz cúbica de la unidad. ℤ[ω]={a+bω:a,b∈ℤ} es un dominio de integridad. Sea N(z)=zz‾.
1. Sea $α = a + b ω .$ Probar que $N (α) = a^{2} - a b + b^{2}$ y que $N (α β) = N (α) N (β) .$
2. Probar que $z$ en $ℤ [ω]$ es una unidad, ssi, $N (z) = 1 .$
3. Probar que si $N (z)$ es un entero primo, entonces $z$ es irreducible en $ℤ [ω] .$
4. Probar que $1 - ω$ es irreducible.
5. Probar que $ℤ [ω]$ es un dominio euclídeo.
Sea $D$ un dominio euclídeo. Probar que podemos computar el mcd de dos elementos usando un algoritmo análogo al existente por los enteros.

Los Enteros de Gauss

Recordemos que llamamos enteros de Gauss o enteros gaussianos a los elementos del dominio

ℤ [i] = {a + b i : a, b \in ℤ, i^{2} = - 1} .

En esta sección estudiaremos detalladamente el dominio de los enteros gaussianos. Además de su importancia como uno de los primeros dominios de números no tradicional, nos servirá para ilustrar diversas técnicas al trabajar con dominios euclídeos (ya que probaremos que $ℤ [i]$ lo es). Llamamos la atención, también, a observar las relaciones que hay entre la aritmética de este dominio y la teoría de los números enteros ordinarios.

Recordemos que llamamos norma del entero gaussiano $z$ al número entero denotado $N (z)$ y definido como $N (z) : = z \bar{z} .$ Se verifica que $N$ es multiplicativa, o sea que $N (z w) = N (z) N (w) .$ Cuando $z = a + b i,$ se cumple que $N (z) = a^{2} + b^{2}$ (lo que gráficamente es el cuadrado de la distancia del punto $(a, b)$ al origen en el plano cartesiano). Notemos que si $z \neq 0,$ entonces $N (z) > 0 .$

Empezaremos nuestro estudio con la siguiente proposición.

Proposición 12. Los enteros de Gauss son un dominio euclídeo con estructura euclídea dada por la norma. La demostración seguirá después de algunos lemas.

Lema F. Para todo complejo $z,$ hay al menos un entero de Gauss $τ$ tal que $N (z - τ) \leq 1 / 2 .$

Demostración

\sqrt{2} / 2 .

z = a + b i .

u_{1}

a

u_{2}

b .

| a - u_{1} | \leq 1 / 2

| b - u_{2} | \leq 1 / 2,

τ = u_{1} + i u_{2} \in ℤ [i] .

N (z - τ) = (a - u_{1})^{2} + (b - u_{2})^{2} \leq \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2} .

Plantilla:QED

Lema G. Sean $α$ y $β$ enteros de Gauss, $α \neq 0 .$ Entonces, hay enteros de Gauss $τ$ y $ρ$ tales que

$β = τ α + ρ, con N (ρ) < N (α) .$

Demostración

τ

N (β / α - τ) \leq 1 / 2 .

β

β = τ α + (β - τ α) .

ρ = β - τ α .

ρ = α (\frac{β}{α} - τ) .

N (ρ) = N (α) N (\frac{β}{α} - τ) \leq N (α) \cdot \frac{1}{2} < N (α) .

Plantilla:QED

Demostración de la proposición.

α

β

N (β) \geq 1 .

N (α β) = N (α) N (β) \geq N (α) .

Lo que junto con el lema anterior, prueba lo afirmado.

Plantilla:QED

Sigue de los trabajos generales anteriores que $ℤ [i]$ es un DIP y, en consecuencia, un DFU.

A continuación, nos preocuparemos de la divisibilidad en $ℤ [I] .$ Como se trata de un DFU, elementos irreducibles son primos y viceversa. Mucho del trabajo relacionara primos en $ℤ [I]$ con primos en $ℤ$ ; para distinguirlos hablaremos de primos gaussianos (en $ℤ [I]$ ) y de primos enteros (en $ℤ$ ),

Unidades de Z[i]

Sea $z = a + b i$ un entero gaussiano cuya norma es igual a 1. Entonces, se tiene que $a^{2} + b^{2} = 1,$ lo que implica que $a = \pm 1, b = 0$ o $a = 0, b = \pm 1 .$ Es decir $z$ está en ${1, - 1, i, - i} .$ Notemos que cada uno de esos enteros gaussianos es un unidad en $ℤ [I],$ (</math>i(-i)=1</math>).

Supongamos, ahora, que $u$ fuera una unidad de $ℤ [I] .$ Entonces hay un $v$ tal que $u v = 1 .$ Luego, tomando norma y usando que es multiplicativa, tenemos que

u v = 1 ⟹ N (u v) = N (1) ⟹ N (u) N (v) = 1 .

Luego, $N (u) = N (v) = 1 .$ Por lo que,

z \in ℤ [I] es una unidad ⟺ N (z) = 1 ⟺ z \in {1, - 1, i, - i} .

Plantilla:Res Observando que $(1 + i) (1 - i) = 2,$ tenemos que el primo entero 2 no es irreducible en $ℤ [I]$ (ramifica) ya que ni $(1 + i)$ ni $(1 - i)$ son unidades. De hecho se trata de irreducibles.

Si $1 + i = u v,$ tomando normas tenemos que $2 = N (1 + i) = N (u) N (v),$ de donde o $N (u) = 1$ o $N (v) = 1,$ por lo que $u$ o $v$ es una unidad. Luego, $(1 + i)$ es irreducible en $ℤ [I] .$ Análogamente, se verifica que $1 - i$ es irreducible, u observando que $1 - i$ es un asociado de $1 + i$ ya que $1 - i = (- i) (1 + i) .$

Plantilla:Res

Sea $p$ un entero primo tal que $p = a^{2} + b^{2},$ con $a, b$ enteros. Como $a^{2} + b^{2} = (a + b i) (a - b i),$ si $a, b \neq 0$ se tiene que $p$ no es un primo gaussiano. Por ejemplo, $2 = 1^{2} + 1^{2},$ $5 = 2^{2} + 1^{2},$ $13 = 3^{2} + 1^{2},$ etc.

Plantilla:Res Supongamos que $3 = z w .$ Tomando normas tenemos que $9 = N (z) N (w)$ por lo que $N (z) = 1, 3$ o $9 .$ Si $z = a + b i,$ se ve claramente que $a^{2} + b^{2} = 3$ es imposible. Si $N (z) = 1,$ entonces $z$ es una unidad. Si $N (z) = 9,$ entonces $N (w) = 1$ y $w$ es una unidad. Luego, $3$ es un irreducible, por lo tanto, un primo gaussiano.

Primos de Z[i]

Para el estudio de los primos gaussianos, necesitaremos algunos resultados sobre los primos enteros que veremos a continuación.

En primer lugar, notemos que si $p$ es un primo entero impar entonces $p$ es de la forma $4 k + 1$ o $4 k + 3 .$ Veremos que la pertenencia a una de esas clases implica conductas diferentes en $ℤ [I] .$

El siguiente resultado será básico para nuestras consideraciones.

Lema H. (Estructura de $ℤ_{p}^{*}$ )
Sea $p$ un primo entero impar.

$ℤ_{p}^{*}$ tiene un único elemento de orden 2.
Si $p = 4 k + 3$ entonces $ℤ_{p}^{*}$ no contiene elemento de orden 4
Si $p = 4 k + 1$ entonces $ℤ_{p}^{*}$ tiene dos elementos de orden 4, que son soluciones de la congruencia $y^{2} \equiv - 1 (\mod p) .$

Demostración

ℤ_{p}^{*}

p - 1

Como $2 | p - 1$ hay un único subgrupo de orden 2, que será ${1, - 1} .$ Es decir que $- 1 \equiv p - 1 (\mod p)$ es el elemento buscado.
Como $4 ∤ p - 1 = 4 k + 2,$ no puede haber elemento de orden 4.
Como $4 | p - 1 = 4 k$ hay un subgrupo de orden 4, que tiene dos generadores, que son elementos de orden 4..

Plantilla:QED

Corolario H.1. Si $p = 4 k + 1$ entonces $- 1$ es un cuadrado en $ℤ_{p} .$

Demostración

a

ℤ_{p}^{*}

a^{2}

a^{2} \equiv - 1 (\mod p) .

Plantilla:QED

Lema I. (Fermat) Un entero primo positivo $p$ puede representarse como la suma de los cuadrados de dos enteros, ssi, $p = 2$ o $p = 4 k + 1 .$

Demostración

2 = 1^{2} + 1^{2} .

p

p = 4 k + 3

Plantilla:Eqn

a^{2} \equiv - b^{2} (\mod () p),

(a / b)^{2} \equiv - 1,

(a / b)

p = 4 k + 1 .

y

y^{2} + 1 \equiv 0 (\mod p) .

p | y^{2} + 1 .

p

ℤ [I],

p | y^{2} + 1 = (y + i) (y - i) .

Si $p$ fuera un primo gaussiano $p | y + i$ o $p | y - 1 .$ Como $p$ es entero, lo anterior significaría que $p$ dividiría la parte imaginaria de esos factores o sea a 1. Luego, $p$ no es un primo gaussiano. Luego, $p = π ρ$ donde ni $π$ ni $r h o$ son unidades. Computando normas, tendríamos que

p^{2} = N (π) N (ρ) .

Luego, $N (π) = N (ρ) = p$ o uno de ellos tiene norma 1 y es, por lo tanto, una unidad, lo que no puede ser. Si $π = a + b i,$ $p = N (π) = a^{2} + b^{2} .$

Plantilla:QED

Los Primos Gaussianos

Lema J. Si $π$ es un entero gaussiano tal que $N (z)$ es un entero primo, entonces $π$ es un primo gaussiano.

Demostración

π = x y .

N (π) = N (x) N (y) .

N (π)

N (x) = 1

N (y) = 1

x

y

π

Plantilla:QED

<Lema K. Si $π$ es un primo gaussiano entonces $N (π) = p$ o $p^{2},$ donde $p$ es un primo entero.

Si $N (π) = p$ entonces $p = 2$ o $p = 4 k + 1 .$

Si $N (π) = p^{2}$ entonces $p$ es de la forma $4 k + 3$ y es un asociado de $π .$

Demostración

π

N (z) .

π | N (z) = π \overline{π}

ℤ [i],

π

α

ℤ [i]

p = π α .

Computando las normas se tiene que

p^{2} = π \overline{π} α \overline{α} .

Por lo que (1) $N (π) = p$ o (2) $N (π) = p^{2} .$ En el caso (1), $p = N (π)$ es la suma de dos cuadrados, por lo que es 2 o un primo de la forma $4 k + 1 .$

En el caso (2), se tiene que $N (α) = 1,$ por lo que $α$ es una unidad y $π$ y $p$ son asociados.

Se tiene que $p \neq 2,$ ya que 2 no es primo en $ℤ [i] .$ Igualmente, si $p$ es de la forma $4 k + 1,$ por el teorema de Fermat, $p = a^{2} + b^{2} = (a + b i) (a - b i),$ o sea que no es primo. Luego, $p$ debe ser de la forma $4 k + 3 .$

Plantilla:QED

Proposición 13. (Los Primos de $ℤ [𝐢]$ )
Los primos gaussianos o primos en $ℤ [i]$ son:

Los primos enteros de la forma $4 k + 3$ y sus asociados en $ℤ [i] .$
Enteros gaussianos cuya norma es un primo entero, ya sea 2 o de la forma $4 k + 1 .$

Demostración

π

4 k + 3

ℤ [i],

Plantilla:QED

Ejercicios

Probar que $1 + 2 i | 3 + 4 i$ en $ℤ [i] .$
Hallar todos los primos gaussianos cuya norma es igual a 2.
Probar que $z | w$ en $ℤ [i]$ implica que $N (z) | N (w) .$ Dar un ejemplo de que el converso no es válido.
Probar usando solamente análisis de normas que $85 i$ no es un primo gaussiano.
Si $p$ es un primo entero que no es un primo gaussiano, entonces $p = N (z)$ para algún $z$ en $ℤ [i] .$
Si $p$ es un entero primo tal que $p \equiv 1 (\mod 4),$ entonces $p$ no es un primo gaussiano.
Sea $p$ un primo entero, probar que si $p = a^{2} + b^{2}$ entonces $p$ es de la forma $4 k + 1 .$
Probar que le grupo de las unidades de $ℤ [i]$ es isomorfo a $ℤ_{4} .$
Hallar un mcd de $11 - 3 i$ y $2 + 8 i .$
Probar que para todo $n,$ se cumple que el polinomio $x^{n} = 2$ es irreducible sobre $ℤ [i] .$
(Prueba Alternativa del lema H), Sea p un entero primo impar.
1. (Existencia de elemento de orden 2) Verificar que $- 1 \equiv̸ 1 (\mod p)$ para concluir que $- 1$ tiene orden 2 en $ℤ_{p}^{*} .$ Considerar cualquier $x$ con orden 2, y verificar que $p | (x^{2} - 1),$ por lo que $p | x + 1$ o $p | x - 1 .$ Usar lo anterior para concluir que $x \equiv - 1 (\mod p)$
2. (Ausencia de elementos de orden 4, si $p = 4 k + 3$ ) Usar teorema de Lagrange.
3. (Existencia de elementos de orden 4, cuando $p = 4 k + 1$ ). Sea $A = ℤ_{p} * / ⟨ - 1 ⟩$ cuyo orden en $(p - 1) / 2 = 2 k .$ Por teorema de Cauchy. hay un elemento $\bar{y}$ de orden 2 en $A .$ Luego, $y^{2} \equiv - 1 (\mod 4),$ por lo que $y$ tiene orden 4 en $ℤ_{p}^{*} .$

Contraejemplos

En esta sección, daremos algunos ejemplos que prueban la inclusión estricta de los dominios euclídeos en los dominios de ideales principales, y la de estos en los dominios de factorización única. Así, como otras excepciones.

Nuestro primer ejemplo, mostrara que hay dominios que no son DFU.

Plantilla:Ejmpl Un dominio que no es DFU.

Sea $D = Z [\sqrt{- 5}] .$ Vimos en un ejemplo del capítulo [[../Divisibilidad|La Divisibilidad]] $3$ es un irreducible de $D$ que no es primo, por lo que $D$ no puede ser un DFU. En consecuencia, tampoco puede ser $D I P$ o euclídeo.

Plantilla:Ejmpl Un dominio donde dos elementos tienen mcd, pero no mcm.

Sea $D = Z [\sqrt{- 5}]$ (ver el ejemplo anterior) y sea $α = 1 + 2 \sqrt{- 5} .$ Entonces, 3 es un elemento irreducible que no divide a $α,$ por lo que $mcd (3, α) = 1 .$

Supongamos ahora que $γ = mcm (α, 3) .$ Entonces, excepto por un factor que fuera una unidad, tendríamos que $γ = 3 α .$ Sin embargo, este valor para $γ$ produce una contradicción, ya que (por el ejemplo anterior) 21 es un múltiplo común de 3 y $γ,$ pero no es un múltiplo de $3 α .$ Sin embargo, $3 α$ es la única posibilidad lógica. En efecto, sea $δ$ igual a $mcm (3, α) .$ Entonces, $3 | δ,$ digamos que, $3 λ = δ .$ Ya que $3 α$ es un múltiplo común, se debe tener que $δ | 3 α,$ digamos que $δ μ = 3 α .$ Tomando conjugados y multiplicando, tendremos que

9 α \bar{α} = λ \bar{λ} μ \bar{μ} .

Pero, $9 α \bar{α} = 9 * 21,$ por lo que $λ \bar{λ} μ \bar{μ} = 21 .$ Luego, $λ \bar{λ}$ y $μ \bar{μ}$ son enteros divisores de 21. Por lo que son iguales a 1, 3, 7, o 21.

Si cualesquiera de esos números fuera 1, tendríamos que $λ$ o $μ$ serían unidades.
Si $λ$ fuera un unidad, entonces $3 = mcm (3, α,$ una contradicción.
Si $μ$ fuera una unidad, entonces $3 α$ debe ser $mcm (3, α),$ que es lo que queríamos probar.
Las alternativas 3 o 7 son imposibles porque no hay elementos con ese tamaño en $D .$
Finalmente, si uno de ellos fuera 21, el otro sería 1, y estaríamos al comienzo de nuestro análisis.

Plantilla:Ejmpl Un DFU que no es DIP: $ℤ [X] .$

Sea $ℤ [X]$ el anillo de los polinomios con coeficientes enteros. Vimos que $ℤ [X]$ es un DFU, ver corolario A.1 del capítulo La Factorización de Polinomios. Pero, mostraremos a continuación que no es un DIP.

Consideremos al ideal $I = ⟨ 2, X ⟩$ en $ℤ [X]$ y supongamos que $ℤ [X]$ fuera un DIP. Entonces, tendríamos un polinomio, digamos $d,$ que generaría el ideal. Como 2 está en $I,$ se debe cumplir que $d | 2$ lo que implica que el grado de $d$ es cero y, por lo tanto, que es un elemento de $ℤ .$ Luego, $d$ debe ser una unidad, o sea 1 o $- 1,$ o un asociado de $2,$ o sea 2 o $- 2 .$

Como $2 ∤ X$ (Si $2 | f,$ $f$ debe tener todos sus coeficientes pares, mientras que $X$ es mónico). Luego, como $d | X,$ $d$ no puede ser un asociado de 2, por lo que debe ser igual a $\pm 1$ . Sin embargo, como $d$ está en $⟨ 2, X ⟩,$ debe haber polinomios $f,$ $g$ tales que

1 = 2 f + X g .

Lo que es imposible, ya que $X g$ no tiene términos constantes y todos los coeficientes de $2 f$ son pares.

Plantilla:Ejmpl Se puede verificar, pero no es trivial, que $ℤ [(1 + \sqrt{- 19}) / 2]$ es un DIP que no tiene estructura euclídea posible.

Ejercicios del Capítulo

Sean $a,$ $b$ elementos de un dominio. Probar que $⟨ a ⟩ = ⟨ b ⟩,$ ssi, $a$ y $b$ son asociados.
Probar que la relación de "ser asociado con" es una relación de equivalencia.
Sea ℤ[ω]={a+bω:a,b∈ℤ,ω=(−1+i3)/2}. Definir N(z)=zz‾ (conjugado como complejo)
1. Verificar que $ω^{3} = 1$ y que $1 + ω + ω^{2} = 1 .$
2. Probar que $ℤ [ω]$ es un dominio.
3. Probar que $N (a + b ω) = a^{2} - a b + b^{2} .$
4. Probar que $N (z z^{'}) = N (z) N (z^{'}) .$
5. Probar que $z$ es una unidad, ssi, $N (z) - 1 .$ Hallar las unidades de $ℤ [ω] .$
6. Probar que para todo número complejo $ζ$ hay un elemento $q$ de $ℤ [ω]$ tal que $N (ζ - q) < 1 .$
7. Probar que $ℤ [ω]$ es un dominio euclídeo.
8. Probar que $1 - ω$ es primo en $ℤ [ω] .$
Sea D=ℤ2={a+b2:a,b∈ℤ}.
1. Probar que $D$ es un dominio contenido en $ℝ$ .
2. Probar que $1 + \sqrt{2}$ es una unidad.
3. Probar que hay infinitas unidades en $D .$

Notas

Plantilla:Listaref

Matemáticas/Álgebra Abstracta/Anillos/Tipos de Dominios

Sumario

Introducción

Los Dominios de Factorización Única, DFUs

Caracterización de los DFU

Ejercicios

Los Dominios de Ideales Principales

Ejercicios

Los Dominios Euclídeos

Ejemplos de Dominios Euclídeos

Ejercicios

Los Enteros de Gauss

Unidades de Z[i]

Primos de Z[i]

Los Primos Gaussianos

Ejercicios

Contraejemplos

Ejercicios del Capítulo

Notas

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Los Dominios de Factorización Única, DFUs

Caracterización de los DFU

Ejercicios

Los Dominios de Ideales Principales

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Ejemplos de Dominios Euclídeos

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