Matemáticas/Álgebra Abstracta/Anillos/Extensiones de Cuerpos

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Introducción

Los Cuerpos son la estructura más completa en término de operaciones. Representan el dominio natural donde estudiar las cuatro ``operaciones aritméticas tradicionales. El Álgebra, hasta el siglo XIX, fue principalmente el estudio de las ecuaciones polinómicas, especialmente sobre los Reales y Complejos. El siglo XIX se inicia, matemáticamente, con las primeras demostraciones más o menos completas del llamado ``teorema fundamental del álgebra (cada polinomio con coeficientes complejos tiene un cero complejo). Los trabajos de Lagrange, Ruffini, Abel y Galois, completan los trabajos de siglos anteriores, iniciando al mismo tiempo una nueva visión del álgebra que llevaría en alrededor de cien años a lo que actualmente concebimos como álgebra abstracta. \medskip Los Complejos se obtienen de los Reales agregando (técnicamente, adjuntando) el número $i$ cuyo cuadrado será igual a $-1$. Se extiende las operaciones de suma y multiplicación y se obtiene una estructura de cuerpo en los Complejos. Desde el punto de vista de las ecuaciones, tenemos un cero para el polinomio $X^2+1$, que era irreducible sobre los Reales--es decir sin ceros reales.

La primera parte de este capítulo está dedicado a la generalización de la construcción de los Complejos, aplicados a un cuerpo cualquiera y a un polinomio irreducible cualquiera. Luego, veremos la relación entre subcuerpos y grupos de automorfismos, que es el aspecto central de la teoría de Galois (Proposición 10). Finalmente, estudiaremos los cuerpos finitos, que además de su importancia en el desarrollo de la teoría, tienen actualmente muchas aplicaciones.

\medskip Recordemos que decimos que un cuerpo $E$ es una extensión de un cuerpo $k$, ssi, $k$ es un subcuerpo de $E$. Cuando $E$ es un extensión de $k$ y $K$ es un cuerpo tal que $k\subset K\subset E$, decimos que $K$ es un cuerpo intermedio entre $k$ y $E$.

Plantilla:Ejmpl El cuerpo $ℂ$ es una extensión de $\mathbb{Q}$. $ℝ$ es un cuerpo intermedio entre $\mathbb{Q}$ y $ℂ$.

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La Adjunción de un Elemento

Sean $E$ una extensión del cuerpo $k$. Sea $\alpha$ un elemento de $E$. Nos interesa, ahora, determinar el subcuerpo más pequeño de $E$ que contiene a $k$ y a $\alpha$. Cuando dicho subcuerpo exista, diremos que se ha obtenido por adjunción de $\alpha$ a $k$ y lo denotaremos por $k(\alpha )$, Tal cuerpo será intermedio entre $k$ y $E$.

Plantilla:Ejmpl Consideremos al cuerpo $ℝ$ como una extensión del cuerpo $\mathbb{Q}$ y al elemento $\alpha =\sqrt{2}$. ¿Cuál será el subcuerpo más pequeño de $ℝ$ que contenga a $\mathbb{Q}$ y a $\alpha$?

Supongamos que tal subcuerpo existe y que lo denotamos por $K$. En primer lugar, tenemos que $K$ debe contener a todos los números racionales y, en segundo lugar, a $\alpha =\sqrt{2}$ (usaremos $\alpha$ en lugar de $\sqrt{2}$, para destacar la validez del proceso siguiente para un número irracional cualquiera). Como $K$ es cerrado respecto a la multiplicación, tendremos que todas las potencias naturales positivas de $\alpha$ serán elementos de $K$. En particular, cuando $n$ sea un número entero positivo cualquiera, tendremos, para cualquier número racional $q$, que $q{\alpha }^n$ es un elemento de $K$. También, las sumas de elementos de la forma anterior serán elementos de $K$. Por lo que los polinomios en $\alpha$ serán también elementos de $K$. Como se trata de un cuerpo, los cocientes de tales polinomios serán elementos de $K$.

Usando las reglas de las operaciones con fracciones, vemos que el conjunto formado por tales fracciones tiene la estructura algebraica de un cuerpo. Además, ese cuerpo contiene a los Racionales y a

$\alpha$

, es decir que debe contener al cuerpo

$K$

. Por otra parte, cualquier cuerpo que contenga a

$\mathbb{Q}$

y

$\alpha$

debe contener cada una de esas expresiones. Por lo que concluimos que la "menor" extensión de

$\mathbb{Q}$

que contiene a

$\alpha$

está formada por las fracciones de expresiones polinómicas en

$\alpha$

.

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El proceso descrito es general, por lo que tenemos la siguiente proposición.

Proposición 1. (Adjunción de un elemento) Sea $k$ un cuerpo cualquiera, $\alpha$ un elemento de una extensión $E$ de $k$. Entonces, el subcuerpo de $E$ obtenido adjuntando $\alpha$ a $k$, $k(\alpha )$, consiste de todos las fracciones de expresiones polinómicas en $\alpha$ con coeficientes en $k$. Dicho cuerpo está contenido en cualquier otro subcuerpo de $E$ que contenga a $k$ y a $\alpha$.

Demostración: Ejercicio. Plantilla:QED

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La Adjunción de Elementos Algebraicos

En esta sección, iniciaremos el estudio de la estructura de las adjunciones de elementos que son ceros de polinomios. Tales elementos reciben un nombre especial que extienden a un contexto general la noción de número algebraico vista anteriormente.

Plantilla:DefRht Cuando $k=\mathbb{Q}$, recordemos que llamamos números algebraicos a los elementos de $ℂ$ que eran, de acuerdo a la definición anterior, algebraicos sobre $\mathbb{Q}$.

1. El número real $\sqrt{2}$ es algebraico sobre $\mathbb{Q}$ ya que es un cero de $X^2-2$.
2. Cada número racional $q$ es algebraico sobre $\mathbb{Q}$ ya que es un cero del polinomio $X-q$ de $\mathbb{Q}[X]$.
3. El número complejo $i$ es algebraico sobre $\mathbb{Q}$, ya que es un cero de $X^2+1$.

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Notemos que cuando un elemento sea algebraico sobre un cuerpo, lo será también sobre cualquier extensión del mismo. El resultado converso no es cierto.

En primer lugar, ilustraremos, con un ejemplo, algunas de las peculiaridades que tienen las adjunciones por elementos algebraicos. En una sección posterior, generalizaremos dicho ejemplo a una construcción precisa de una extensión por adjunción de un elemento algebraico.

Plantilla:Ejmpl Sean $k=\mathbb{Q}$ y $E=ℂ$. Sea $m$ un número entero que no es un cuadrado perfecto en $\mathbb{Z}$. Entonces, los ceros de $X^2-m$ son números algebraicos que no son racionales, ya que si lo fueran deberían ser enteros. El polinomio $f=X^2-m$ será, por lo tanto, irreducible sobre $\mathbb{Q}$. Sea $\alpha$ uno de sus ceros complejos, entonces ${\alpha }^2=m$. Queremos precisar la forma de los elementos de $K=\mathbb{Q}(\alpha )$, que por un resultado anterior, son fracciones de polinomios en $\alpha$. Observemos que ${\alpha }^2=m$ implica que:

$\begin{array}{ccccc}{\alpha }^3& =& {\alpha }^2\alpha & =& m\alpha \\ {\alpha }^4& =& {\alpha }^3*\alpha & =& m\alpha \alpha =m^2\\ {\alpha }^5& =& {\alpha }^4\alpha & =& m^2\alpha \end{array}$

Los ejemplos sugieren que para todo $n$ entero mayor que 2, se cumple que ${\alpha }^n$ es igual a un racional o al producto de un racional por $\alpha$. Lo anterior, se puede verificar fácilmente por inducción, lo que dejaremos al cuidado del lector.

El resultado anterior implica que cualquier expresión polinómica en $\alpha$ será igual, por reagrupación de términos con igual potencia de $\alpha$, a una expresión de la forma $a+b\alpha$, con $a$, $b$ elementos de $\mathbb{Q}$.

Por lo tanto, los elementos de $\mathbb{Q}(\alpha )$ serán, de acuerdo con la proposición 1, fracciones de la forma

$\frac{a+b\alpha }{c+d\alpha }.$

con $a$, $b$, $c$ y $d$ en $\mathbb{Q}$.

Observemos, a continuación, que en $\mathbb{Q}(\alpha )$, para todo $c$ y $d$ en $\mathbb{Q}$ se tiene que:

$(c+d\alpha )(c-d\alpha )=c^2-d^2{\alpha }^2=c^2-d^{2}m;$

por lo que podremos simplificar aún más las expresiones de los elementos de $\mathbb{Q}(\alpha )$. En efecto, tendremos que:

$\begin{array}{ccc}\frac{a+b\alpha }{c+d\alpha }& =& \frac{a+b\alpha }{c+d\alpha }\cdot \frac{c-d\alpha }{c-d\alpha }\\ [3mm]& =& \frac{(ac-bdm)+(ad+bc\alpha )}{c^2-d^{2}m}\\ [3mm]& =& \frac{ac-bdm}{c^2-d^{2}m}+\frac{ad+bc}{c^2-d^{2}m}\alpha .\end{array}$

Lo que prueba, que podremos escribir cada elemento de

$\mathbb{Q}(\alpha )$

de la forma

$p+q\alpha$

, donde

$p$

y

$q$

son números racionales. Además, claramente, números de esa forma están en

$\mathbb{Q}(\alpha )$

.

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Ejercicios

1. Sea $k=ℝ$ y $E=ℂ$. Como $i$ ($i^2=-1$) es un elemento de $ℂ$, se tiene que la adjunción de $i$ a $ℝ$ produce un cuerpo $ℝ(i)$. Probar que $ℝ(i)=ℂ$. Es decir que cualquier fracción de expresiones polinómicas en $i$ se puede expresar de la forma $a+bi$ con $a$ y $b$ reales.
2. Probar que no puede haber un cuerpo $K$ tal que $\mathbb{Z}\subset K⊊\mathbb{Q}$.
3. Sea $E$ una extensión de un cuerpo $k$. Si $F$ es una extensión de $E$, $F$ es también una extensión de $k$.
4. Sea $D$ un dominio de integridad contenido en un cuerpo $K$. Probar que el cuerpo de fracciones de $D$ está contenido en $K$.
5. Sea $(K_i{)}_{i\in I}$ una familia de cuerpos que contienen a un conjunto $S$. Sea $K$ la intersección de todos esos conjuntos. Probar que $K$ es un cuerpo que contiene a $S$.
6. Escribir una demostración para la proposición 1.
7. Sea $\alpha$ algebraico sobre un cuerpo $k$. Probar que el conjunto de polinomios en $k[X]$ que tiene a $\alpha$ como uno de sus ceros es un ideal de $k[X]$.
8. Sea $\alpha$ algebraico sobre $\mathbb{Q}$. Sea $f=a_0+a_{1}X+\cdots +X^n$ un polinomio irreducible sobre $\mathbb{Q}$ tal que $f(\alpha )=0$. Probar que $X^k$, $k\ge n$, es igual a un polinomio de grado a lo más $n-1$ en $\alpha$. (Esta es una generalización de un ejemplo del texto)

Congruencias Módulo un Polinomio

En la sección anterior, iniciamos el estudio de la estructura que resulta al adjuntar un elemento algebraico a un cuerpo. En nuestros ejemplos siempre supusimos la existencia de una extensión del cuerpo donde vivía el elemento algebraico. Pero, cuando queremos solucionar una ecuación no siempre sabremos si tal solución existe y, parte del trabajo. será determinar si tal solución existe. En esta sección, trataremos de responder a esa pregunta, la que formularemos explícitamente como un problema.

En primer lugar, observemos que si $f=gh$, cualquier cero de uno de los factores de $f$ es también un cero de $f$, por lo que podemos reducir nuestras consideraciones a polinomios irreducibles que además, sin perdida de generalidad, podremos suponer mónicos. Además, como los ceros de polinomios de $k[X]$ de grado 1, son elementos de $k$, supondremos que el grado del polinomio es mayor que 1.

La construcción seguirá como ejemplo la construcción de ${\mathbb{Z}}_m$ a partir de $\mathbb{Z}$. Primeramente, usaremos las analogías algebraicas entre el anillo de los Enteros y el anillo de polinomios sobre un cuerpo para extender la noción de congruencia de los números enteros al anillo de los polinomios.

La relación de congruencia anterior tiene propiedades semejantes a la congruencia de números enteros. Por ejemplo, es una relación de equivalencia (¡verificarlo!). Por lo que particiona a $k[X]$ en clases de equivalencia. Recordemos que cuando $f$ sea un polinomio, su clase de equivalencia (respecto a la relación de congruencia) estará dada por

$[f{]}_m=\{g\in kX:g\equiv f(\mathrm{mod}m)\}.$

Recordemos que las clases de equivalencia siempre son disjuntas entre si y que su reunión es todo el conjunto.

La siguiente proposición proporciona, varios enunciados equivalentes a la noción de congruencia anterior.

Proposición 2. Sea $k$ un cuerpo y $m$ un polinomio de grado positivo de $k[X]$. Las siguientes afirmaciones son equivalentes:

1. $f\equiv g(\mathrm{mod}m)$;
2. $f-g$ es un múltiplo de $m$;
3. $f=g+h$, donde $h$ es un múltiplo de $m$.

Demostración: Ejercicio. Plantilla:QED

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Sean $k$ y $m$ como arriba y sea $I$ el ideal generado por $m$ en $k[X]$. Si $f$ y $g$ son polinomios congruentes módulo $m$, entonces $f-g$ es un elemento de $I$. Viceversa, cuando la diferencia de dos polinomios esté en $I$, dicha diferencia será un múltiplo de $I$. Es decir que las clases de congruencia módulo $m$ coinciden con los elementos del anillo cociente $k[X]/I$.

Estructura de $k[X]/⟨m⟩$.

Sean $k$ cuerpo y $m$ un polinomio de grado positivo en $k[X]$. Sea $f$ un polinomio cualquiera de $k[X]$. Entonces, por el algoritmo de la división, podemos hallar polinomios $q$ y $r$ tales que $\text{gr}(r)<\text{gr}(m)$ y $f=qm+r$. Por lo que $f-r$ es un múltiplo de $m$. Es decir que

Cada polinomio de $k[X]$ es congruente módulo $m$ a un polinomio de grado inferior al grado de $m$.

Por lo que, siempre, podremos escoger representantes de las clases de congruencia a polinomios cuyo grado sea inferior al grado de $m$. Además, dos polinomios diferentes con grados inferiores a $m$ deben pertenecer a clases diferentes, ya que su diferencia será menor al grado de $m$, por lo que dicha diferencia no puede ser un múltiplo de $m$. Los polinomios de grado 0 pueden identificarse con los elementos de $k$. Por lo que la clase de equivalencia de $a$ en $k[X]/⟨m⟩$ será $a$ mismo.

Se tiene la siguiente proposición.

Proposición 3. Sea $k$ un cuerpo y sea $m$ un polinomio en $k[X]$ de grado $n\ge 1$. Entonces, el anillo cociente $k[X]/⟨m⟩$ está formado por las clases de equivalencia de polinomios en $X$ con grado a lo más $n-1$. Dicho anillo contiene una copia isomorfa a $k$ formada por las clases de los polinomios constantes y el polinomio nulo.

Demostración: Sigue de los razonamientos anteriores que cada clase de congruencia tiene un representante que es un polinomio de grado a lo más $n-1$. Además, dos polinomios diferentes de ese tipo están en clases diferentes. Sea $h=\sum _{i=0}^{n-1}{a}_i{X}^i$ un polinomio de grado inferior a $n$. Pasando al cociente, tenemos que $\begin{array}{ccc}[h]& =& [\sum _{i=0}^{n-1}{a}_i{X}^i]=\sum _{i=0}^{n-1}[a_i{X}^i]=\sum _{i=0}^{n-1}[a_i][X^i]=\sum _{i=0}^{n-1}{a}_i[X{]}^i\end{array}$ Plantilla:QED

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La siguiente proposición es el objetivo de nuestra exploración

Proposición 4. (Existencia de Extensión y Cero) Sea $k$ un cuerpo y $m$ un polinomio irreducible en $k[X]$. Entonces, $E=k[X]/⟨m⟩$ es una extensión de $k$--cuerpo que contiene a $k$. Además, la clase $[X]$ es un cero del polinomio $m$.

Demostración: Como el polinomio es irreducible, el polinomio es primo, por lo que sabemos que $E$ es un dominio; probaremos que es un cuerpo. Sea $[h]\ne [0]$ en $E$. Entonces, $h$ no está en $⟨m⟩$, lo que implica que $m\nmid h$. Como $m$ es irreducible, eso significa que $\text{mcd}\{h,m\}=1$. Por la identidad de Bezout, hay polinomios $f$ y $g$ tales que $fh+gm=1$. Pasando al cociente, tenemos que $[f][h]+[g][m]=[1].$

Como $[m]=[0]$, se tiene que $[f][h]=[1]$, lo que prueba que $[h]$ es invertible y que, en consecuencia, $E$ es un cuerpo. Sigue de la proposición anterior que $E$ es una extensión de $k$--identificado con las clases de los polinomios de grado 0 y del polinomio nulo. Finalmente, como la clase de $m$ es igual a cero, se tiene que $m([X])=[0]$, lo que muestra que $[X]$ es un cero de $m$.

Plantilla:QED

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Corolario 4.1. (Existencia de Extensiones) Sea $k$ un cuerpo y sea $f$ cualquier polinomio de $k[X]$. Entonces, hay una extensión de $k$ que contiene un cero de $f$.

Demostración: Sea $m$ un factor irreducible de $f$. Entonces, por la proposición anterior, el cuerpo $E=k[X]/⟨m⟩$ es una extensión de $k$ que contiene un cero de $m$. Como cualquier cero de $m$ es un cero de $f$, se tiene el resultado. Plantilla:QED

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La construcción anterior de una extensión del cuerpo $k$ para obtener un cero de un polinomio de $k[X]$, fue inventada por el matemático alemán Leopold Kronecker (1823--1891).

Plantilla:Ejmpl Sea $k={\mathbb{Z}}_2$ y $m=X^2+X+1$.

Por inspección, vemos que $m$ no tiene ceros en $k$, por lo que $m$ es irreducible sobre $k$. Luego, $K={\mathbb{Z}}_2/⟨m⟩$ es un cuerpo que es un extensión de ${\mathbb{Z}}_2$.

Las clases de equivalencias de $K=k[X]/⟨f⟩$ son $[0]=0$, $[1]=1$, $[X]$ y $[X+1]$.

Como $[m]=[0]$ , tenemos que $0=[m]=[X^2+X+1]=[X{]}^2+[X]+1$. Es decir que $[X]$ es un cero de $m$. Luego, $[X^2]=[X]+1$ (se trata de un anillo con característica 2). Luego, $[X][X+1]=[X{]}^2+[X]=[X]+1+[X]=1$.

Sea $\theta =[X]$ la clase de $X$ en $K$. Se deja de ejercicio verificar las siguientes tablas de operaciones en $K$.

$\begin{array}{ccccc}+& 0& 1& \theta & \theta +1\\ 0& 0& 1& \theta & \theta +1\\ 1& 1& 0& \theta +1& \theta \\ \theta & \theta & \theta +1& 0& 1\\ \theta +1& \theta +1& \theta & 1& 0\end{array}\begin{array}{ccccc}\cdot & 0& 1& \theta & \theta +1\\ 0& 0& 0& 0& 0\\ 1& 0& 1& \theta & \theta +1\\ \theta & 0& \theta & \theta +1& 1\\ \theta +1& 0& \theta +1& 1& \theta \end{array}$

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Plantilla:Ejmpl

Sea

$k=ℝ$

y

$f=X^2+1$

. Entonces,

$K=ℝ/⟨X^2+1⟩$

es un cuerpo extensión de

$ℝ$

cuyos elementos son todos de la forma

$a+bi$

, donde

$i^2+1=0$

. Es decir, los Complejos.

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Plantilla:Ejmpl Consideremos el cuerpo $k={\mathbb{Z}}_5$ y sea $f=X^2-2$. ¿Tiene $f$ ceros? ¿Cuántos ceros?

En primer lugar, observemos que la ecuación $x^2-2=0$ no tiene soluciones en $k$, ya que los cuadrados en $k$ son $0$, $1$ y $4$. Por lo tanto, el polinomio dado es irreducible. Por la teoría general de los ceros de un polinomio sobre un cuerpo, sabemos que $f$ tiene a lo más dos ceros. Notemos que si podemos hallar alguna solución, en algún lugar, podríamos llamar a esa solución $\sqrt{2}$ y, entonces, la otra solución sería $-\sqrt{2}$, por lo que también estaría en la misma extensión.

Un cuerpo

$K$

que contiene a

$k$

y contiene las dos soluciones es

$K={\mathbb{Z}}_5/⟨X^2-2⟩=\{a+b\alpha :a,b\in k,{\alpha }^2-2=0\}$

Observemos, que usando la notación de una sección anterior,

$K={\mathbb{Z}}_5(\alpha )$

.

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Los ejemplos anteriores muestran situaciones en donde la construcción de un cuerpo que tiene al menos un cero de un polinomio, nos conduce a un cuerpo donde están todos los ceros del cuerpo. Lo anterior, se debe a que el polinomio escogido tenía grado 2. En general, lo anterior no es cierto, como veremos en el próximo ejemplo.

Plantilla:Ejmpl Sea $k=\mathbb{Q}$ y sea $f(X)=X^3-2$. Claramente, se tiene que es irreducible sobre $\mathbb{Q}$. De ser reducible, tendría necesariamente, un factor de grado 1. Aplicando el teorema de los ceros racionales, ya que el polinomio es mónico, dicho cero debería ser entero y, claramente no hay entero cuyo cubo sea igual a 2.

Sea $\alpha =\sqrt[3]{2}$. Sabemos, por nuestros trabajos que $\mathbb{Q}(\alpha )$ estaría formado por todos los números de la forma

$a+b\alpha +c{\alpha }^2,$

con $a$, $b$ y $c$ números racionales. Por lo que todos esos números serían números reales.

Por otra parte, sabemos de nuestros trabajos con los números complejos que las soluciones de la ecuación

$x^3=2$

son los números complejos:

$\sqrt[3]{2}$

,

$\omega \sqrt[3]{2}$

, y

${\omega }^2\sqrt[3]{2}$

, donde

$\omega =\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$

es una de las raíces cúbicas primitivas de

$1$

.

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El ejemplo anterior muestra que la construcción o la adjunción de un cero de un polinomio irreducible a $\mathbb{Q}$, puede producir un cuerpo que no necesariamente contiene a todos los ceros del polinomio. Los resultados anteriores garantizan tan sólo la existencia de una extensión que contiene, por lo menos, un cero; pero, como muestra el último ejemplo, puede que ese sea el único cero que contenga.

Veremos, a continuación, como obtener una extensión que contenga todos los ceros de un polinomio dado.

Sean $k$ cuerpo y $f$ un polinomio irreducible sobre $k$. Sea $K=k[X]/⟨f⟩$ la extensión de $k$ donde $f$ tiene al menos la solución $\alpha =[X]$. Por la teoría general de polinomios, se tendrá que, $X-\alpha$ será un factor de $f$ en $K$, o sea que habrá un polinomio $g$ en $K[X]$ tal que:

$f=(X-\alpha )g.$

Si $g$ tiene algún factor lineal, dicho factor nos produce otra solución en $K$. Ver ejemplo discutido arriba. Supongamos que podemos factorizar $g$ sobre $K[X]$ como $g=(X-{\beta }_1)(X-{\beta }_2)\cdots (X-{\beta }_r)h$, donde $h$ puede ser un elemento de $k$ o un irreducible sobre $K$ y $r$ puede ser cero. Con $r=0$, queremos decir que $h=g$. La descomposición anterior implica que los ceros de $f$ que están en $K$ son: $\alpha$ y ${\beta }_1$, ${\beta }_2$, ... , ${\beta }_r$. Cuando $h$ sea un polinomio de grado cero en $K[X]$, tendremos que esos son todos los ceros de $f$, es decir que todos los ceros de $f$ estarán en $K$.

Supongamos que el grado de $h$ fuera mayor que 1. Pongamos $K_1=K$. Aplicando la construcción anterior a $h$, obtendremos una extensión $K_2$ de $K_1$, donde habrá al menos un cero de $h$. Como $h$ es un factor de $g$ y, por lo tanto, de $f$, resulta que el nuevo cero es también un cero de $f$. Si hemos hallado todos los ceros de $f$, $K_2$ contendrá a dichos ceros. En caso contrario, repetimos el proceso anterior, hallando una extensión $K_3$ de $K_2$ conteniendo ceros adicionales de $f$.

Repitiendo el proceso anterior, cuantas veces sea necesario, obtendremos una cadena de extensiones:

$k\subset K_1\subset K_2\subset \cdots .$

Como en cada extensión, obtenemos al menos un cero de $f$ y la cantidad de ceros es, a lo más, igual al grado de $f$, tendremos que la cadena anterior acaba después de una cantidad finita de extensiones. Por lo que, hallaremos una extensión $E=K_t$, para algún $t\ge 1$, donde el polinomio $f$ tendrá todos sus ceros. Este resultado lo enunciaremos como una proposición, luego de la siguiente definición.

Notemos que cualquier cuerpo que contenga todos los ceros de un polinomio es una extensión del cuerpo de descomposición del polinomio.

Formalizaremos la construcción anterior, en la demostración de la siguiente proposición.

Proposición 5. (Existencia de un Cuerpo de Descomposición) Sea $k$ un cuerpo, $f$ en $k[X]$ un polinomio irreducible. Entonces, hay una extensión $E$ de $k$ que es un cuerpo de descomposición para $f$.

Demostración: Si el grado de $f$ es 1, entonces $k$ coincide con el cuerpo de descomposición. Supongamos que el polinomio $f$ tiene grado $n$, $n>1$, y que el resultado es cierto para todos los polinomios irreducibles de grado menor que $n$. Por una proposición anterior, hay una extensión de $E$ de $k$, k[X]/\langle f\rangle,</math> donde $f$ tiene al menos un cero. Como muestran los ejemplos, es posible que esa extensión tenga más de un cero. Si los ceros de $f$ (habrá $n$ de ellos) están en $E$, entonces $E$ será un cuerpo de descomposición para $f$. En caso contrario, sean ${\alpha }_1$, ${\alpha }_2$, ${\alpha }_k$ los ceros de $f$ en $E$. Por el teorema del factor tendremos que: $f=(X-{\alpha }_1)(X-{\alpha }_2)\cdots (X-{\alpha }_k)g.$

Donde $g$ será un polinomio con coeficientes en $E$, pero de grado menor que $n$. Si $g$ es irreducible, la hipótesis de inducción aplicada a $g$ nos producirá una extensión $F$ de $E$ que será un cuerpo de descomposición para $g$ y, por lo tanto, para $f$. Si $g$ fuera reducible, procederemos por inducción con cada uno de sus factores irreducibles.

Plantilla:QED

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Elementos Trascendentales

Plantilla:Ejmpl Consideremos a $ℝ$ como extensión de $\mathbb{Q}$. Se ha probado (Lindemann, 1882) que el número real $\pi$ es transcendente sobre $\mathbb{Q}$. ¿Cuáles serán los elementos de $\mathbb{Q}(\pi )$?

Otro importante número real transcendente sobre

$\mathbb{Q}$

es

$e$

(Hermite, 1873).

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Proposición 6. Sea $k$ un cuerpo y $E$ una extensión de $k$ que contiene un elemento $\mu$ transcendente sobre $k$. Entonces, $E$ contiene una copia de $k[X]$ y $k(X)$ (el cuerpo de las fracciones racionales de $k[X]$).

Demostración: Consideremos la evaluación $e{v}_{\mu }:k[X]⟶E$, $f\mapsto f(\mu )$. Sabemos que esa función es un homomorfismo de anillos. Además, es inyectiva, ya que no hay un polinomio no nulo $f$ tal que $f(\mu )=0$. Por lo que la imagen de $k[X]$ es un subanillo de $E$, por lo que $E$ contiene una copia de $k[X]$. Como, dicha copia es un dominio de integridad, tiene un cuerpo de fracciones (isomorfo a $k(X)$) que estará contenido en $E$, ya que los cuerpos son cerrados respecto a fracciones de sus elementos.

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El Polinomio Minimal

Sea $E$ una extensión de $k$. Sea $\alpha$ un elemento de $E$ algebraico sobre $k$. Sea $I$ el ideal de $k[X]$ formado por todos los polinomios que tienen a $\alpha$ como un cero. Como $k[X]$ es un DIP, dicho ideal es generado por un polinomio mónico del menor grado posible entre los polinomios del ideal, al que daremos el siguiente nombre. Plantilla:DefRht Notemos que si $f$ es el polinomio minimal del elemento $\alpha$ y $g$ es un polinomio tal que $g(\alpha )=0$, entonces $f|g$.

Sigue de nuestros trabajos anteriores la siguiente proposición para la adjunción de elementos algebraicos

Proposición 7. (Teorema de la Adjunción de Algebraico) Sea $E$ una extensión del cuerpo $k$. Sea $\alpha$ un elemento de $E$ que es algebraico sobre $k$ y sea $f$ su polinomio minimal de grado $n$. Entonces, el subcuerpo $k(\alpha )$ de $E$ generado por $k$ y $\alpha$, consiste de todos los polinomios en $\alpha$ de grado a lo más $n-1$. Dicho cuerpo es isomorfo a $k[X]/⟨f⟩$.

1. Sea $\alpha =\sqrt{m}$, donde $m$ no es un cuadrado perfecto en $\mathbb{Q}$. Claramente, el polinomio minimal de $\alpha$ es $X^2-m$. Entonces, $Q(\sqrt{m})=\{a+b\sqrt{m}:a,b\in \mathbb{Q}\}=\mathbb{Q}[\sqrt{m}]=\mathbb{Q}[X]/⟨X^2-m⟩$.
2. ¿Cuál es el polinomio minimal de $\alpha =\sqrt{2}+\sqrt{3}$ sobre $\mathbb{Q}$? Sea $f_{\alpha }$ el polinomio minimal pedido. Como $\alpha$ no es racional, el grado de $f_{\alpha }$ será mayor que 1. El siguiente cálculo nos proveerá con un polinomio anulado por $\alpha$. $\begin{array}{cccc}& \alpha & =& \sqrt{2}+\sqrt{3}\\ ⟹& {\alpha }^2& =& 5+2\sqrt{6}\\ ⟹& {\alpha }^2-5& =& 2\sqrt{6}\\ ⟹& ({\alpha }^2-5{)}^2& =& 4\cdot 6\\ ⟹& {\alpha }^4-10{\alpha }^2+1& =& 0\end{array}$

   Se verifica que $f(X)=X^4-10X^2+1$ es irreducible, por lo que se trata del polinomio minimal deseado.

3. ¿Cuál es el polinomio minimal de $\alpha =\sqrt{2}+\sqrt{3}$ sobre $K_1=\mathbb{Q}(\sqrt{2})$? Sea $g$ el polinomio minimal pedido. Repitamos el cálculo anterior, pero considerando que elementos de $K_1$ son ahora admisibles como coeficientes. $\begin{array}{cccc}& \alpha & =& \sqrt{2}+\sqrt{3}\\ ⟹& \alpha -\sqrt{2}& =& \sqrt{3}\\ ⟹& (\alpha -\sqrt{2}{)}^2& =& 3\\ ⟹& {\alpha }^2-2\sqrt{2}\alpha +1& =& 0\end{array}$ Es fácil ver, entonces, que $g(X)=X^2-2\sqrt{2}{X}^2+1$, es el polinomio minimal deseado.

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Ejercicios

1. Sea $k=\mathbb{Q}$.
   1. Probar que $m=X^2-X+1$ es irreducible en $\mathbb{Q}[X]$.
   2. Hallar polinomios del menor grado posible congruentes módulo $m$ a cada uno de los siguientes polinomios:
      1. $X^2$, $X^3$, $X^4$.
      2. $X^6-1$.
      3. $X^9-X^6+X^3+1$.
      4. $X^{100}$.
   3. Sea $\alpha =[m]$ en $k[X]/⟨m⟩$. Simplificar $(a+b\alpha )(c+d\alpha )$.
2. Sea $k={\mathbb{Z}}_2$. Para cada uno de los siguientes polinomios verificar que son irreducibles sobre $k$ y construir $k[X]/⟨f⟩$.
   1. $f=X^2+X+1$.
   2. $f=X^3+X+1$.
   3. $f=X^4+X^3+1$.
3. Sea $k={\mathbb{Z}}_3$. Probar que $f=X^2+2X+2$ es irreducible sobre $k$ y construir $k[X]/⟨f⟩$.
4. Sea $K={\mathbb{Z}}_3/(X^4+X+1)$. Hallar un representante de grado $\le 3$ de $\begin{array}{cccccccc}a.& [X^4].& & b.& [X^8].& & c.& [X^n],n>0,\text{ cualquiera}.\end{array}$
5. Hallar un cuerpo con
   1. $8$ elementos;
   2. $25$ elementos; y
   3. $343$ elementos.
6. Sea $A={\mathbb{Z}}_2[X]/⟨X^3+1⟩$ y sea $\alpha =[X]$ en $A$.
   1. Probar que la factorización de $X^3+1$ en irreducibles de ${\mathbb{Z}}_2[X]$ es $X^3+1=(X^2+X+1)(X+1)$.
   2. Probar que $|A|=8$ y que $({\alpha }^2+\alpha +1)(\alpha +1)=0$. Por lo que $A$ no es un dominio de integridad.
   3. Hallar el grupo de unidades $A^{*}$ de $A$ y probar que es cíclico de orden 3.
7. Sea $\alpha$ un elemento algebraico sobre un cuerpo $k$. Entonces, $\alpha$ es algebraico sobre cualquier extensión de $k$ que contenga a $\alpha$.
8. Hallar cuerpos $k<E<F$ y elemento $\beta$ de $F$ tal que $\beta$ es algebraico sobre $E$, pero no lo es sobre $k$.
9. Sea $m$ un número entero positivo que no es un cuadrado perfecto. Sea $\alpha =\sqrt{m}$. Probar las afirmaciones siguientes:
   1. Las potencias naturales de $\alpha$ son o un entero o un entero multiplicado por $\sqrt{m}$.
   2. Sea $n$ un entero positivo. Entonces, ${\alpha }^{-n}$ es un racional o un racional multiplicado por $\alpha$.
10. Probar que $\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3})=\mathbb{Q}(\sqrt{2}+\sqrt{3})$. Si ponemos $K_1=\mathbb{Q}(\sqrt{2})$, $K_2=\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ y $K=\mathbb{Q}(\sqrt{2}+\sqrt{3})$. ¿Qué relación hay entre $\mathbb{Q}$, $K_1$, $K_2$ y $K$?
11. Hallar el polinomio minimal sobre $\mathbb{Q}$ de cada uno de los siguientes números complejos. $\begin{array}{cccccccc}a.& \sqrt{7}.& & b.& 1/\sqrt{7}.& & c.& \sqrt[3]{2}.\\ d.& 3+\sqrt{2}.& & e.& \sqrt{-5}.& & f.& \frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i.\end{array}$

    
    

12. Hallar los polinomios minimales sobre $\mathbb{Q}$ de cada uno de los siguientes números complejos: $\sqrt{5}$, $-\sqrt{5}$, $1/\sqrt{5}$, $2+\sqrt{5}$, $2-\sqrt{5}$, $1/(2+\sqrt{5})$. Probar que si $\alpha$ es cualquiera de esos números, entonces $k(\alpha )=k(\sqrt{5})$.
13. Sean $\alpha$ y $\beta$ dos números algebraicos y que hay polinomios $f$ y $g$ en $\mathbb{Q}[X]$ tales que $\alpha =f(\beta )$ y que $\beta =g(\alpha )$. Probar que $\mathbb{Q}[\alpha ]=\mathbb{Q}[\beta ]$.
14. Sea $J$ el conjunto de polinomios en $k[X]$ que se anulan en un elemento $\alpha$ de una extensión $E$ de $k$ que es algebraico sobre $k$. Probar, usando directamente la definición de ideal, que $J$ es un ideal de $k[X]$.
15. Probar que el polinomio minimal de un elemento algebraico sobre un cierto cuerpo $k$ es irreducible sobre $k$.
16. Sea $\alpha$ un cero de un polinomio irreducible $f$ de grado mayor que 1. Probar que si $g$ es un polinomio que tiene a $\alpha$ como uno de sus ceros, entonces cada cero de $f$ es también un cero de $g$.
17. Sea $E=\mathbb{Q}[X]/(X^2+X+1)$. Sea $\omega$ uno de los ceros del polinomio $f(X)=X^2+X+1$.
    1. Verificar que $f$ es irreducible.
    2. De acuerdo a la teoría, podemos escribir cada elemento de $E$ de la forma $a+b\omega$, con $a$ $b$ racionales. Escribir de esa forma, cada uno de los siguientes elementos de $E$. ${\omega }^2$, ${\omega }^3$, $1/\omega$, $1/(1+\omega )$, $1/(c+d\omega )$.
18. (*) Probar que el conjunto de números algebraicos es cerrado respecto a la suma y a la multiplicación.

Automorfismos de Cuerpos

Recordemos que un automorfismo de un cuerpo $E$ es un isomorfismo de cuerpos de $E$ en si mismo. Los automorfismos de un cuerpo forman un grupo con respecto a la composición.

Proposición 8. Sea $E$ un cuerpo. Sea $G$ un subgrupo del grupo de automorfismos de $E$. Sea $L$ el subconjunto de $E$ determinado por los elementos de $E$ que quedan fijos por los automorfismos en $G$. Entonces, $L$ es un subcuerpo de $E$.

Demostración: Sea $\sigma$ en $G$, o sea un automorfismo cualquiera de $E$. Entonces, $\sigma (0)=0$. Luego, $0$ está en $L$. Sean $x,y$ elementos de $L$. Entonces, $\sigma (x-y)=\sigma (x)-\sigma (y)=x-y$, como $\sigma$ es cualquiera, concluimos que $x-y$ está en $L$. Análogamente, para cualquier $\sigma$ en $G$, $\sigma (xy)=\sigma (x)\sigma (y)=xy$, $\sigma (1)=1$ y $\sigma (x^{-1})=(\sigma (x){)}^{-1}=(x{)}^{-1}=x^{-1}$, lo que muestra respectivamente que $L$ es un subanillo, subanillo con identidad y subcuerpo de $E$. Plantilla:QED

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Nomenclatura. Diremos que $L$ es el subcuerpo fijo por los elementos del grupo $G$ de automorfismos es el subcuerpo fijo por $G$.

Corolario 8.1. Sea $E$ un cuerpo. El cuerpo primo de $E$ es fijo para cada automorfismo de $E$.

Demostración: Sea $\sigma$ cualquier automorfismo de $E$. Como $1$ queda fijo por $\sigma$, cada elemento del subanillo generado por 1 queda fijo por $\sigma$, e igualmente las fracciones de los elementos de ese anillo. Por lo que el cuerpo primo queda fijo por todos los automorfismos de $E$.Plantilla:QED

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Proposición 9. Sea $E$ una extensión del cuerpo y sea $L$ un subcuerpo de $E$. Sea $H$ el conjunto formado por todos los automorfismos de $E$ que dejan fijos cada elemento de $L$. Entonces $H$ es un subgrupo del grupo $G$ de los automorfismos de $E$.

Demostración: Claramente, $H$ no es vacío, ya que la identidad deja fijo cada elemento de $E$ y, por lo tanto, cada elemento de sus subcuerpos. Sean $\sigma$ y $\tau$ elementos de $H$. Entonces, para cada $x$ de $L$ se tiene que $\sigma (x)=x$ y $\tau (x)=x$. Sea $x$ en $L$. Entonces, ${\tau }^{-1}(x)={\tau }^{-1}(\tau (x))=x$, lo que muestra que $H$ es cerrado respecto a tomar inversos. Igualmente, $(\sigma \tau )(x)=\sigma (\tau (x))=\sigma (x)=x$, lo que muestra que $H$ es cerrado por respecto a la composición. Por lo tanto, $H$ es un subgrupo del grupo $G$ de automorfismos de $E$. Plantilla:QED

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Notación. Sea $E$ una extensión del cuerpo $k$. Denotaremos por $\mathsf{\text{Aut}}(E/k)$ al grupo de automorfismos de $E$ que dejan fijo a (los elementos de) $k$.

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Plantilla:Ejmpl Sea $k=ℝ$ y $E=ℂ$. Sea $\sigma \in G=\mathsf{\text{Aut}}(ℂ/ℝ)$. Entonces, para cada $z=a+bi$ se tiene que

$\sigma (a+bi)=\sigma (a)+\sigma (b)\sigma (i)=a+b\sigma (i).$

Es decir que cada automorfismo de $G$ queda determinado por la imagen por $\sigma$ de $i$. Digamos que $\sigma (i)=u+iv$, $u,v\in ℝ$. Entonces, $i^2=-1$ implica que $\sigma (i{)}^2=-1$, es decir que

$u^2-v^2+(2uv)i=-1.$

Lo que implica que $u^2-v^2=-1$ y $2uv=0$. De donde, $u=0$ y $v=\pm 1$. Por lo que tenemos solamente dos posibilidades para $\sigma$, la identidad $a+bi\mapsto a+bi$ o la conjugación $a+bi\mapsto a-bi$.

Es decir que

$G$

es un grupo cíclico de orden 2.

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La siguiente proposición resume las dos proposiciones anteriores para extensiones de cuerpo.

Proposición 10. (Teorema de Galois) Sea $E$ una extensión del cuerpo $k$ y sea $G=\mathsf{\text{Aut}}(E/k)$. Entonces,

1. Cada cuerpo intermedio $k<L<E$ tiene asociado un subgrupo $H_L$ de $G$ formado por todos los elementos de $G$ que fijan (los elementos de) $L$.
2. Cada subgrupo $H$ de $G$ tiene asociado un subcuerpo $L_H$ de $E$ formado por los elementos de $E$ que quedan fijo para todos los automorfismos en $H$.

Demostración: Ejercicio Plantilla:QED

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La proposición establece correspondencia entre los cuerpos intermedios entre $k$ y $E$ y los subgrupos de $G=\mathsf{\text{Aut}}(E/k)$. Dicha correspondencia puede usarse para estudiar la estructura de las extensiones en término de la estructura del grupo $G$. La primera aparición de dicha correspondencia se debe al francés Evariste Galois (1811--1832). El problema era determinar cuando los ceros de un polinomio sobre $\mathbb{Q}$ podían expresarse usando las cuatro operaciones y radicales con los coeficientes del polinomio. Pensar, por ejemplo, en las fórmulas cuadrática o cúbicas. Galois determinó que una condición necesaria para lo anterior, era que el grupo $G$ de automorfismo del cuerpo de descomposición del polinomio, tuviera una cadena de subgrupos normales,

$\{e\}=H_k◃H_{k-1}◃\cdots ◃H_2◃H_1◃G,$

tal que cada $H_i/H_{i+1}$ fuera abeliano.

Observemos que si el cuerpo de descomposición de un polinomio tuviera como grupo de automorfismos a $S_5$, dicha cadena no existiría y, por lo tanto, los ceros no podrían calcularse mediante fórmulas por radicales. Como hay polinomios de grado 5 que satisfacen lo anterior, se tiene la imposibilidad de la resolución de la ecuación general de quinto grado mediante radicales.

Ejercicios

1. Probar el Teorema de Galois (Proposición 10).
2. (Usando la notación de la proposición "Teorema de Galois".) Sea $E$ una extensión de un cuerpo $k$ y sea $G=\mathsf{\text{Aut}}(E/k)$.
   1. Sea $H$ un subgrupo de $G$, ¿qué relación hay entre $H$ y el subgrupo de $G$ de los elementos que fijan el cuerpo intermedio de los elementos fijos por $H$, $L_H$?
   2. Sea $L$ un cuerpo intermedio entre $k$ y $E$. ¿qué relación hay entre $L$ y el subcuerpo fijo por $H_L$?
3. Sea $f$ un polinomio irreducible, mónico y de grado $n$ en $k[X]$ que tiene $n$ ceros simples ${\alpha }_i$, $i=1,2,\dots ,n$, en el cuerpo de descomposición $E$ de $f$. Sea $G=\mathsf{\text{Aut}}(E/k)$.
   1. Probar que cada $\sigma$ de $G$ permuta los ceros de $f$. (Ver que al aplicar $\sigma$ a $f=(X-{\alpha }_1)(X-{\alpha }_2)\cdots (X-{\alpha }_n)$, $f$ no cambia.
   2. Concluir que $G<S_n$.
4. Sea $E$ el cuerpo de descomposición de $X^6-1$ de $\mathbb{Q}[X]$. Hallar el grupo de automorfismos de $E/\mathbb{Q}$.

Los Cuerpos Finitos

Los cuerpos finitos tienen característica positiva, es decir un número primo $p$. Por lo que su cuerpo primo se identifica con ${𝔽}_p=\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$. Sea $k$ un cuerpo finito, digamos con $q$ elementos. Entonces, el grupo multiplicativo, denotado por $k^{*}$ tiene $q-1$ elementos. Por el teorema de Lagrange, tenemos que para cada $x\ne 0$ de $k$ se cumple que Plantilla:Eqn

Luego, para todo $x$ de $k$, se cumple que Plantilla:Eqn

Nuestro primer resultado sobre cuerpos finitos, establecerá que su grupo multiplicativo es cíclico. Usando lo anterior, estableceremos la estructura de un cuerpo finito cualquiera.

El grupo multiplicativo de un cuerpo finito es cíclico

La demostración del resultado requiere de unos lemas previos. Es posible que dichos resultados hayan aparecidos anteriormente en el texto o los ejercicios, pero daremos aquí los enunciados y demostraciones para completitud. Otra demostración, usando un resultado anterior, aparece en un ejercicio al final de la sección.

Lema A. Sea $G$ un grupo y sean $a$, $b$ elementos de $G$ con ordenes finitos $m=o(a)$ y $n=o(b)$. Si $m$ y $n$ son relativamente primos, entonces se cumple lo siguiente.

1. $⟨a⟩\cap ⟨b⟩=\{e\}$ y
2. si además, $ab=ba$, entonces $⟨a,b⟩$ es un grupo cíclico que es igual a $⟨a⟩⟨b⟩$ e isomorfo al producto de grupos $⟨a\times ⟨⟩$. Se cumple que $o(ab)=mn$.

Demostración:
1. Si $c\ne e$ está en la intersección de $⟨a⟩$ con $⟨b⟩$, su orden, que es mayor que 1, es un divisor de $m$ y $n$, contradiciendo la hipótesis de relativamente primos de esos números.
2. Los elementos de $⟨a,b⟩$ son todos los productos de la forma $x_1{y}_1{x}_2{y}_2\cdots x_k{y}_k$ con $k\ge 0$, los $x_i$'s en $⟨a⟩$ y los $y_i$ en $⟨b⟩$. La hipótesis de conmutatividad dice que cada una de esas expresiones es, entonces, igual a una expresión $xy$ con $x=a^i$, $0\le i<m$ y $y=b^j$, $0\le j<n$. Esto dice que $⟨a,b⟩\subset ⟨a⟩⟨b⟩$. Como la otra inclusión, siempre es válida, se tiene la igualdad anunciada. Notemos, además, que resulta entonces que el grupo $⟨a,b⟩$ es abeliano. Probaremos, a continuación, que la representación como producto de un elemento de $⟨a⟩$ por un elemento de $⟨b⟩$ es única. Sean $x_1,x_2$ en $⟨a⟩$, $y_1,y_2$ en $⟨b⟩$. Entonces, $x_1{y}_1=x_2{y}_2⟹x_2^{-1}{x}_1=y_2{y}_1^{-1}.$

   En la última igualdad, el elemento de la izquierda es un elemento de $⟨a⟩$, mientras que el elemento de la derecha es un elemento de $⟨b⟩$. Luego, ambos elementos deben ser igual al neutro $e$ del grupo. Lo que prueba que $x_1=x_2$ y $y_1=y_2$. Por lo tanto, la función $\phi :⟨a,b⟩⟶⟨a⟩\times ⟨b⟩$ tal que $xy\mapsto (x,y)$--$x$ en $⟨a⟩$, $y$ en $⟨b⟩$--es biyectiva. Además,

   $\begin{array}{ccc}\phi ((x_1{y}_1)(x_2{y}_2))& =& \phi (x_1{x}_2{y}_1{y}_2)\\ & =& (x_1{x}_2,y_1{y}_2)=(x_1,y_1)(x_2,y_2)\\ & =& \phi (x_1{y}_1)\phi (x_2{y}_2).\end{array}$

   Lo que prueba que $\phi$ es un isomorfismo de grupos. Si $(a,b{)}^k=(e,e)$ se tiene que $(a^k,b^k)=(e,e)$, de donde $m|k$ y $n|k$. Luego, por ser $m$ y $n$ relativamente primos, $mn|k$. Esto implica que el orden de $(a,b)$ en $⟨a⟩\times ⟨b⟩$ es divisible por $mn$. Pero como, $|⟨a⟩\times ⟨b⟩|=mn$, concluimos que el orden de $(a,b)$ es $mn$, lo que implica que $⟨a⟩\times ⟨b⟩$ y su isomorfo $⟨a,b⟩$ son cíclicos.

Plantilla:QED

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Lema B. Sea $G$ un grupo tal que para cada $n$ natural, la ecuación $x^n=e$ tiene a lo más $n$ soluciones. Entonces, el grupo $G$ es cíclico.

Demostración: Sea $a$ un elemento de $G$ tal que $o(a)=n$ y sea $H=⟨a⟩$. Por el teorema de Lagrange, para cada $x$ en $H$ se tiene que $x^n=e$. Luego, $H$ contiene a todos los elementos de orden $n$ en $G$. Como el orden de cada conjugado de un elemento en $H$ tiene orden $n$, concluimos que $H$ es normal en $G$. Luego, todos los subgrupos cíclicos de $G$ son normales en $G$. Sea $b$ un elemento de $G$ cuyo orden $m$ sea maximal entre los elementos de $G$. Probaremos que $G=⟨b⟩$. Sea $c$ cualquier elemento de $G$ con orden igual a $r$. Si $r|m$ entonces $⟨b⟩$ contiene un elemento de orden $r$, lo que implica que $⟨c⟩$ está contenido en $⟨b⟩$. Supongamos entonces que $r\nmid m$. Entonces, hay un primo $p$ y un entero $k$ tales que $p^k|r$, pero $p^k\nmid m$. Digamos que $m=p^{h}s$ y $r=p^{k}t$ con $0\le h<k$ y $\text{mcd}\{p,s\}=\text{mcd}\{p,t\}=1$. Como $s|m$ hay un elemento $u$ en $⟨b⟩$ tal que $o(u)=s$. Por la misma razón, $⟨c⟩$ contiene un elemento $v$ con $o(v)=p^k$. Como los ordenes de $u$ y $v$ son relativamente primos, $⟨u⟩$ y $⟨v⟩$ tienen solamente al elemento nulo en la intersección . Consideremos al elemento $z=uv{u}^{-1}{v}^{-1}$. Como $z=(uv{u}^{-1})v^{-1}$ se tiene que $z$ está en $⟨v⟩$. Como $z=u(v{u}^{-1}{v}^{-1})$, tenemos que $z$ está en $⟨u⟩$. Luego, $z=e$, lo que implica que $uv=vu$. Por el Lema A, se tiene que $uv$ tiene orden $p^{k}s$. Pero, ese número es mayor que el orden de $b$, lo cual es una contradicción. En conclusión, $⟨b⟩$ contiene a todos los elementos de $G$, por lo que $G$ es cíclico. Plantilla:QED

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Proposición 11. Sea $F$ un cuerpo finito. Entonces $F^{*}$ es un grupo cíclico.

Demostración: Para cada $n$ natural, la ecuación $x^n=1$ tiene a lo más $n$ soluciones en un cuerpo. Luego, por el lema anterior, $F^{*}$ es cíclico. Plantilla:QED

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Estructura de un Cuerpo Finito

Sea $k$ un cuerpo finito, digamos con $q$ elementos. La característica de $k$ es un número primo $p$. Sea $f$ un polinomio de grado $n$, irreducible sobre $k$. Sigue de la teoría general de los cuerpos que el cociente $E=k/⟨f⟩$ es un cuerpo que es una extensión de $k$ donde $f$ tiene al menos un cero, digamos $\alpha$. La teoría dice que $E$ está formado por todos los polinomios en $\alpha$ de grado a lo más $n-1$ con coeficientes en $k$. Como hay $n$ coeficientes y cada coeficiente se puede escoger de $q$ maneras diferentes, concluimos que $E$ tiene exactamente $q^n$ elementos. Hemos probado la siguiente proposición.

Proposición 12. Sea $k$ un cuerpo finito con $|k|=q$, Si $f$ es un polinomio de grado $n$, entonces la extensión $E=k[X]/⟨f⟩$ tiene $q^n$ elementos.

Corolario 12.1. Sea $k$ un cuerpo finito y $\alpha$ un elemento algebraico sobre $k$. Entonces, el cuerpo que resulta al adjuntar $\alpha$, $k(\alpha )$ es finito,

Demostración: La adjunción $k(\alpha )$ es isomorfa como cuerpo a $k[X]/⟨f⟩$, donde $f$ es el polinomio minimal de $\alpha$ sobre $k$. Plantilla:QED

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A continuación, veremos que cada cuerpo finito es de la forma anterior, con $k={\mathbb{Z}}_p$.

Sea $F$ un cuerpo con $q$ elementos de característica $p$, $p$ primo, por lo que su cuerpo primo es ${\mathbb{Z}}_p$.

Como el grupo multiplicativo $F^{*}$ es cíclico, tiene un generador que denotaremos por $\gamma$. Considerando la evaluación en $\gamma$ de los polinomios con coeficientes en ${\mathbb{Z}}_p$, obtenemos la función $g\mapsto g(\alpha )$ de ${\mathbb{Z}}_p[X]$ en $F$. Se sabe del capítulo los [[../Anillo de Polinomios|Anillos de Polinomios]] que dicha función es un homomorfismo de anillos. Como $e{v}_{\gamma }(X^r)={\gamma }^r$, tenemos que la función $e{v}_{\gamma }$ es suprayectiva. Sigue entonces, del teorema de homomorfismo de anillos que ${\mathbb{Z}}_p[X]/I\cong F$, donde $I$ es el núcleo de $e{v}_{\gamma }$.el ideal $I$ es principal, está generado por un polinomio de grado positivo, el polinomio minimal sobre ${\mathbb{Z}}_p$ de $\gamma$. Como $\gamma$ satisface la ecuación $x^q-x=0$, tenemos que $X^{p^n}-X$ está en ese ideal, por lo que $f$ será un factor de $X^{p^n}-X$. Por el teorema de homomorfismos de anillos, tenemos que $F\cong {\mathbb{Z}}_p[X]/I$. Hemos, por lo tanto, probado la siguiente proposición.

Proposición 13. Sea $F$ un cuerpo de característica $p$, $p$ primo, que tiene $q$ elementos. Entonces, hay un número natural $n$ y un polinomio $g$ de grado $n$, $n\ge 1$, irreducible sobre ${\mathbb{Z}}_p$ tales que $q=p^n$, Además, $F\cong {\mathbb{Z}}_p[X]/⟨g⟩$, la clase de $X$ es un generador del grupo cíclico de $F$ y $g$ es un factor del polinomio $X^{p^n}-1$.

Existencia de Cuerpos Finitos y Polinomios Irreducibles

La proposición 13 describe la estructura de un cuerpo con $q=p^n$ elementos, donde $p$ es un número primo. Pero, dado $n>1$, ¿existe tal cuerpo? o equivalentemente, ¿hay un polinomio irreducible de grado $n$?

En esta sección, probaremos que tal cuerpo y polinomio efectivamente existen. Sea $p$ un número primo. Consideremos el polinomio $f=X^{p^n}-X$ sobre ${\mathbb{Z}}_p$. Computando la derivada, obtenemos que $f^{\prime }=p^n{X}^{p^n-1}-1$ que es igual a $-1$, ya que la característica del cuerpo base es $p$. Pero, eso significa que no hay ceros comunes entre el polinomio y su derivada, por lo que el polinomio $f$ no tiene ceros múltiples (ver ejercicio al respecto).

Sea $E$ el cuerpo de descomposición de $f$. Sabemos, por la proposición 5 que tal cuerpo existe y que es una extensión de ${\mathbb{Z}}_p$ que contiene a todos los ceros de $f$. Por la generación del cuerpo de descomposición, $E$ se obtiene esencialmente "adjuntando" los ceros de $f$, como cada adjunción produce un cuerpo finito y hay una cantidad finita de tales adjunciones, se tiene que $E$ es un cuerpo finito. Sea $L$ el subconjunto de $E$ formado por todos los ceros de $f$. Probaremos que $L$ es un subcuerpo de $E$. Para eso, necesitaremos un lema que discutiremos a continuación.

Recordemos que, en cualquier anillo conmutativo de característica $p$, se cumple que $(a+b{)}^p=a^p+b^p$, Tenemos, además la siguiente generalización.

Lema C. Sea $A$ un anillo conmutativo con identidad de característica $p>0$, $p$ primo. Entonces, para todo $n$ natural se cumple que

$(a+b{)}^{p^n}=a^{p^n}+b^{p^n}.$

Demostración: (Inducción.) El caso $n=1$, es lo que recordamos arriba. Supongamos que la relación se cumple cuando $n=k$. Entonces $\begin{array}{ccc}(a+b{)}^{p^{k+1}}& =& (a+b{)}^{p^{k}p}=((a+b{)}^{p^k}{)}^p\\ & =& (a^{p^k}+b^{p^k}{)}^p=(a^{p^k}{)}^p+(b^{p^k}{)}^p\\ & =& a^{p^{k+1}}+b^{p^{k+1}}.\end{array}$ Plantilla:QED

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Volvamos a la discusión del conjunto $L$ de los ceros de $X^{p^n}-X$ en el cuerpo de descomposición $E$. Sean $\alpha$ y $\beta$ dos de esos ceros. Entonces,

• $(\alpha +\beta {)}^{p^n}={\alpha }^{p^n}+{\beta }^{p^n}=\alpha +\beta$, por el lema. Por lo que la suma de dos ceros de $f$ es otro cero de $f$.
• $(-\alpha {)}^{p^n}=(-1{)}^{p^n}{\alpha }^{p^n}=-\alpha$; por lo que, el opuesto aditivo de un cero es otro cero. Notemos que la relación anterior es válida aún cuando $p=2$, ya que en ese caso siempre se tiene que $-x=x$.
• $(\alpha \beta {)}^{p^n}={\alpha }^{p^n}{\beta }^{p^n}=\alpha \beta$; o sea que, el producto de dos ceros de $f$ es nuevamente un cero de $f$.

Todo lo anterior muestra que $L$ es un subanillo de $E$, por lo que es un dominio de integridad. Como es finito, debe ser un cuerpo que es un subcuerpo de $E$ que contiene todos los ceros de $f$. Pero. el cuerpo de descomposición es el cuerpo más pequeño que contiene todos lo ceros de $f$. Luego $L=E$. Además, como $L$ está formado por todos los ceros de $f$, se tiene que $|L|=p^n$. Hemos probado así el siguiente resultado.

Proposición 14. Sea $p$ un número primo. Para cada número natural $n$ hay un cuerpo $E$ extensión de ${\mathbb{Z}}_p$ tal que $|E|=p^n$. $E$ está formado por todos los ceros del polinomio $X^{p^n}-X$. Sigue de la proposición 13, el siguiente corolario.

Corolario 14.1. Sea $p$ un número primo. Para cada número natural $n$. hay un polinomio irreducible $f$ de grado $n$.

Sea $E$ un cuerpo con $p^n$ elementos. Sabemos que el grupo multiplicativo de $E$ es cíclico, lo que usamos en la demostración de la proposición 13, para que a partir de un generador del grupo cíclico, hallar un polinomio irreducible de grado $n$ . Dicho polinomio era el polinomio minimal del generador sobre ${\mathbb{Z}}_p$. Ahora bien, hay $\phi (p^n-1)$ generadores del grupo $E^{*}$, por lo cual será posible hallar varios polinomios irreducibles de grado $n$. Tomando dos polinomios irreducibles distintos, digamos $f$ y $g$, se tiene dos cuerpos diferentes $K_f={\mathbb{Z}}_p[X]/⟨f⟩$ y $K_g={\mathbb{Z}}_p[X]/⟨g⟩$ que tienen cada uno $p^n$ elementos. Probaremos a continuación, que esos cuerpos son isomorfos, por lo que podremos decir que hay un único cuerpo con $p^n$ elementos.

Sean $K$ un cuerpo cualquiera con $q=p^n$ elementos y $E$ el cuerpo de descomposición de $X^{p^n}-X$. Sea $\gamma$ un generador del grupo multiplicativo de $K$ y sea $f$ el polinomio minimal de $\gamma$ sobre ${\mathbb{Z}}_p$. Por los resultados anteriores, tenemos que $K\cong {\mathbb{Z}}_p[X]/⟨f⟩$. Como $\gamma$ también es un cero de $X^{p^n}-X$ (ver la ecuación 21-02, podemos considerar a $\gamma$ como un elemento de $E$. Sea $e{v}_{\alpha }:{\mathbb{Z}}_p[X]⟶E$, la evaluación en $\alpha$, que es un homomorfismo de anillos con núcleo $⟨f⟩$. Por el teorema de homomorfismos que hay un isomorfismo de ${\mathbb{Z}}_p[X]/⟨f⟩$ con su imagen en $E$. Pero como dicha imagen tendría $p^n$ elementos, al igual que $E$, concluimos que la imagen es todo $E$. Es decir que $K$ es isomorfa con $E$. Por lo que podemos afirmar lo siguiente.

Proposición 15. Dos cuerpos finitos con iguales cantidades de elementos, son isomorfos.

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Convenio. La proposición anterior implica que para cada $n\ge 1$ hay un único cuerpo con $q(=p^n)$ elementos (excepto por isomorfismos). Simbolizaremos tal cuerpo por ${𝔽}_q$. En particular, para $p$ primo, ${𝔽}_p={\mathbb{Z}}_p$.

En algunos textos, se denota por $\mathsf{\text{GF}}(q)$ al cuerpo ${𝔽}_q$. La notación corresponde a la expresión en inglés "Galois Fields" (cuerpos de Galois) que honra al matemático Evariste Galois.

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Subcuerpos

Veremos, en esta sección, que ${𝔽}_{p^n}$ tiene como subcuerpos exactamente a los ${𝔽}_{p^d}$, donde $d$ es un divisor de $n$. Comenzaremos con un lema sobre divisibilidad de ciertos polinomios.

Lema D. En $\mathbb{Z}[X]$, $(X^n-1)|(X^m-1)$, ssi, $n|m$.

Demostración: ($\Leftarrow$) Sea $u$ tal que $nu=m$. Entonces, aplicando la fórmula para la sumatoria de series geométricas, tenemos que $1+X^n+(X^n{)}^2+\dots +(X^n{)}^{u-1}=\frac{1-(X^n{)}^u}{1-X^n}=\frac{1-X^m}{1-X^n}.$

Lo que prueba que $(X^n-1)|(X^m-1)$.

($\Rightarrow$) Sea $m=qn+r$ con $0\le r<n$. Entonces,

$X^m-1=X^{qn+r}-1=X^r(X^{qn}-1)+(X^r-1).$

Por la hipótesis y la parte anterior, tenemos que $X^n-1$ divide a $X^m-1$ y a $X^{qn}-1$. Por lo que divide a $X^r-1$. Por razones de grado, lo anterior es imposible, a menos que $r=0$. Es decir que $n|m$.

Plantilla:QED

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Sea $L={𝔽}_{p^n}$ y sea $k$ un subcuerpo de $L$. Entonces, $k={𝔽}_{p^d}$ para algún entero $d$ menor o igual a $n$. Además, $k*$ es un subgrupo del grupo cíclico $L^{*}$, por lo que su orden $p^d-1$ debe ser un divisor del orden de $L^{*}$, $p^n-1$. Luego, por el lema anterior, $d|n$.

Supongamos, ahora, que $d|n$. Como el grupo multiplicativo de $L^{*}$ es cíclico y de orden $p^n-1$, y como $p^d-1$ divide a dicho orden (por el lema), se concluye hay un subgrupo de orden $p^d-1$ del grupo multiplicativo $L^{*}$. Esos elementos son todos los ceros no nulos del polinomio $X^{p^d}-X$. Por lo que, junto con el 0, determinan el cuerpo de descomposición de ese polinomio, o sea, un cuerpo isomorfo a ${𝔽}_{p^d}$.

Hemos, así, probado la siguiente proposición.

Proposición 16. Los subcuerpos de ${𝔽}_{p^n}$ son los cuerpos $F_{p^d}$, donde $d$ es un divisor de $n$.

Factorización de X^pn - X en F_p[X]

Como ${𝔽}_p[X]$ es un dominio de factorización única, el polinomio $X^{p^n}-X$ se puede expresar como un producto de irreducibles sobre ${𝔽}_p$. Sin perdida de generalidad, por ajuste de los coeficientes líderes, podemos suponer que todos esos polinomios son mónicos. Sea $g(x)$ un factor mónico irreducible de $X^{p^n}-X$ de grado $d$. Como $X^{p^n}-X$ tiene todos sus ceros en ${𝔽}_{p^n}$, tenemos que todos los ceros de $g$ están en ${𝔽}_{p^n}$. Sea $\gamma$ uno de los ceros de $g$, que será, por lo tanto, el polinomio minimal de $\gamma$ sobre ${𝔽}_p$. Entonces,

${𝔽}_p[X]/⟨g⟩\cong {𝔽}_p(\gamma )\cong {𝔽}_{p^d}.$

Luego, por la proposición de subcuerpos, tendremos que $d|n$.

Supongamos, ahora, que $d|n$, entonces hay un polinomio mónico irreducible $h$ tal que el cuerpo ${𝔽}_p[X]/⟨h⟩$ es isomorfo a ${𝔽}_{p^d}$. Como $d|n$, ${𝔽}_{p^d}$ es un subcuerpo de ${𝔽}_{p^n}$. La isomorfía anterior, implica que $g$ tiene un cero en ${𝔽}_{p^n}$. Como $d|n$, tenemos que $(X^{p^d}-X)|(X^{p^n}-X$) (ver lema D), por lo que todos los ceros de $h$ están en ${𝔽}_{p^n}$. Por lo que todos los factores lineales de $h$ en ${𝔽}_{p^n}[X]$ son factores lineales de $X^{p^n}-X$. Luego, $h|X^{p^n}-X$.

Tenemos, por lo tanto la siguiente proposición.

Proposición 17. En ${𝔽}_p[X]$, el polinomio $X^{p^n}-X$ es el producto de todos los polinomios mónicos irreducibles de grado $d$, para todo $d$ que es un divisor de $n$.

. Cantidad de irreducibles. Simbolizaremos por ${𝐍}_{𝐩}\mathbf{(}𝐝\mathbf{)}$ la cantidad de polinomios irreducibles mónicos en ${𝔽}_p[X]$.

Corolario 17.1. Sea $p$ primo, para todo $n>0$ se cumple que Plantilla:Eqn

Demostración: Calculando los grados en la factorización de $X^{p^n}-X$. Plantilla:QED

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Ejemplos. Sea $p$ un número primo.

1. $N_p(1)=p$, ya que todos los polinomios de grado 1, son de la forma $X+a$ con $a$ en ${𝔽}_p$.
2. Sea $q$ un primo. Como los divisores de $q$ son 1 y $q$ se tiene, por la relación (*), que $q{N}_p(q)+N_p(1)=p^q$. Despejando, se tiene que $N_p(q)=(p^q-p)/q$

   Ejemplo. $N_2(3)=\frac{2^3-2}{3}=2$. Por inspección, dichos polinomios son $X^3+X^2+1$ y $X^3+X+1$.

3. Sean $q,r$ primos diferentes. Aplicando (*) con $n=pq$ se tiene que $qr{N}_p(qr)+q{N}_p(q)+r{N}_p(r)+p=p^{qr}.$

   Por lo que

   $N_{p}qr=\frac{p^{qr}-(p^q-p)-(p^t-p)-p}{qr}=\frac{p^{qr}-p^q-p^r+p}{qr}.$

   Ejemplo. $N_2(3*2)=\frac{2^6-2^3-2^2+2}{2*3}=9$.

4. Sea $q$ un primo. Entonces $N_p(q^n)=(p^{q^n}-p^{q^{n-1}})/q^n$. Aplicando la fórmula (*), se tiene que $q^n{N}_p(q^n)+\sum _{d|(n-1)}d{N}_p(d)=p^{q^n}.$

   Aplicando la fórmula (*) a la sumatoria, se tiene que $\sum _{d|(n-1)}d{N}_p(d)=p^{q^{n-1}}$, de donde se obtiene el resultado.

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Observación. Usando técnicas de la teoría de las funciones multiplicativas, específicamente la fórmula de inversión de Moebius, se obtiene la siguiente fórmula explícita

$N_p(n)=\frac{1}{n}\sum _{d|n}\mu (\frac{n}{d})p^d.$

Donde $\mu$ es la función de Moebius, definida como $\mu (n):=\{\begin{array}{cc}1,& \text{si }n=1\\ 0& \text{si }n\text{ es divisible por el cuadrado de un primo}\\ (1{)}^r& \text{si }n\text{ es el producto de }r\text{ primos diferentes}.\end{array}$

El lector interesado deberá buscar los detalles acerca de la fórmula de inversión en libros de teoría de números.

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Ejercicios

1. Sea $K$ cualquier cuerpo finito. Probar que no hay elementos en $K$ que sean transcendentes sobre el cuerpo primo de $K$.
2. Usar el resultado de la proposición 11.2 para probar que un subgrupo finito $G$ del grupo multiplicativo de un cuerpo es cíclico. Aplicar lo anterior para otra prueba de la proposición 11. (Sugerencia: probar que $\exp (G)\le |G|$, por el teorema de Lagrange, y que $|G|\le \exp (G)$ considerando los ceros de $X^{\exp (G)}-1$. )
3. (Automorfismos de ${𝔽}_{p^n}$) Sea $\sigma :{𝔽}_{p^n}⟶{𝔽}_{p^n}$ tal que $\sigma (a)=a^p$. Probar las afirmaciones siguientes.
   1. $\sigma$ es un automorfismo de ${𝔽}_{p^n}$ que deja fijo a los elementos de ${𝔽}_p$ (o sea que, $x$ en ${𝔽}_p$ implica que $\sigma (x)=x$).
   2. Sea $k$ un entero tal que $1\le k\le n$. Entonces, ${\sigma }^k$ (la composición de $\sigma$ consigo misma $k$ veces) es un automorfismo de ${𝔽}_{p^n}$ tal que $\sigma (a)=a^{p^k}$.
   3. Probar que si para todo $a$ en ${𝔽}_{p^n}$ se cumple que ${\sigma }^k(a)=a$, entonces $k=n$. $1\le k\le n$.
4. (Automorfismos de $K={𝔽}_{p^n}$ (continuación).) Sea $\tau$ un automorfismo cualquiera de $K$ que fija los elementos de ${𝔽}_p$. Sea $\gamma$ un generador del grupo cíclico $K^{*}$. Sea $g$ en ${𝔽}_p[X]$ el polinomio minimal de $\gamma$ sobre $F_p$. $g$ tiene grado $n$.
   1. Aplicar el automorfismo $t$ a la relación $g(\gamma )=0$, para concluir que $\tau (\gamma )$ también es un cero de $g$.
   2. Si se conoce $\tau (\gamma )$ se conoce el valor de $\tau$ en cualquier elemento de $K$.
   3. Todas las opciones para $\tau (\gamma )$ son los ceros de $g$. Por lo que hay, $n$ posibles automorfismos de $K$.
   4. Todos los automorfismos de $K$ son aquellos del ejercicio anterior.
5. En la demostración de la existencia de un cuerpo con $p^n$ elementos se uso que cuando un polinomio y su derivada no tienen factores comunes, los ceros del polinomio son simples. Esto solamente había sido probado para característica cero. Suponiendo que la derivada no es el polinomio nulo, probar lo anterior en característica $p>0$.
6. Sea $A={𝔽}_3[X]$.
   1. Probar que los únicos polinomios mónicos cuadráticos irreducibles en $A$ son: $X^2+1$, $X^2+X+2$ y $X^2+2X+2$.
   2. Probar que $X^5-X+1$ es irreducible en $A$.
   3. Sea $L=A/⟨X^5-X+1⟩$. Hallar el cardinal del cuerpo $L$. Sea $\alpha =[X]$. Hallar $\beta$ tal que $\alpha \beta =1$.
7. Listar todos los polinomios mónicos irreducibles de grado 3 de ${𝔽}_3[X]$.
8. Listar todos los polinomios mónicos irreducibles de grado 4 de ${𝔽}_2[X]$.
9. Sea $E={𝔽}_3[X]/⟨X^3+2x+1⟩$.
   1. Probar que $E$ es un cuerpo con 27 elementos.
   2. Hallar todos los subcuerpos de $E$.
   3. Hallar $\mathsf{\text{Aut}}(E/F_3)$.
10. En ${𝔽}_3[X]/⟨x^3+2x+1⟩={𝔽}_3[\alpha ]$, hallar los recíprocos de (i) ${\alpha }^2+\alpha +1$, \quad (ii) ${\alpha }^2+1$.

Comentarios

La Teoría de Galois. Recordemos la disputa central en los tiempos de Galois. Había desde varios siglos anteriores fórmulas para resolver las ecuaciones (polinómicas) de grados inferiores a 5. Dichas fórmulas obtenían las raíces de la ecuación (o sea los ceros del correspondiente polinomio) mediante expresiones que envolvían los coeficientes del polinomio, las cuatro operaciones y radicales.

Los trabajos de Ruffini y Abel mostraron que una fórmula general para ecuaciones de grado 5 (o mayores) era imposible. Lo anterior no impedía que algunas ecuaciones de tales grado tuvieran soluciones con los requisitos indicados. ¿Cuáles eran esas ecuaciones? La relación que Galois (Proposición 10) establece entre cuerpos intermedios de una extensión de un cuerpo base y los subgrupos del grupo de automorfismos, permitió caracterizar a dichas ecuaciones.

Los detalles de las relaciones entre las ecuaciones y los grupos se pueden hallar en Wikipedia:Teoría de Galois. Una magnifica exposición trazando la historia del tema, con referencias a fuentes originales, se halla en .

La teoría de Galois---o las ideas subyacentes--- ha tenido extensiones en el siglo XX, notablemente por Grothendieck y Serre. (Ver en Wikipedia en inglés la página "Grothendieck's Galois theory")