Matemáticas/Álgebra/Ecuaciones/Ecuaciones logarítmicas

Se define cómo cualquier ecuación que contenga un logaritmo y se resuelve usando las siguientes propiedades

${\log }_a(x)=b$

Identidades

Con operaciones simples

Los logaritmos se utilizan generalmente para hacer más simples las operaciones. Por ejemplo, se pueden multiplicar dos números utilizando una tabla de logaritmos y sumando.

${\log }_b(xy)={\log }_b(x)+{\log }_b(y)$	porque	$b^x\cdot b^y=b^{y+x}$
${\log }_b\left(\begin{array}{c}\frac{x}{y}\end{array}\right)={\log }_b(x)-{\log }_b(y)$	porque	$\begin{array}{c}\frac{b^x}{b^y}\end{array}=b^{x-y}$
${\log }_b(x^y)=y{\log }_b(x)$	porque	$(b^n{)}^y=b^{ny}$
${\log }_b\left(\sqrt[y]{x}\right)=\begin{array}{c}\frac{{\log }_b(x)}{y}\end{array}$	porque	$\sqrt[y]{x}=x^{1/y}$

Cancelación de exponentes

Los logaritmos y exponenciales (antilogaritmos) con la misma base se cancelan.

$b^{{\log }_b(x)}=x$	porque	${\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}}_b({\log }_b(x))=x$
${\log }_b(b^x)=x$	porque	${\log }_b({\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}}_b(x))=x$

Cambio de base

${\log }_{a}b=\frac{{\log }_{c}b}{{\log }_{c}a}$

Esta identidad se requiere para evaluar logaritmos con calculadoras. La mayoría de las calculadoras sólo pueden procesar ln y log₁₀, pero no por ejemplo log₂. Para encontrar log₂(3), basta calcular log₁₀(3) / log₁₀(2) (ó bien ln(3)/ln(2), que da idéntico resultado).

Consecuencias

Esta fórmula tiene varias consecuencias:

${\log }_{a}b=\frac{1}{{\log }_{b}a}$

${\log }_{a^n}b=\frac{1}{n}{\log }_{a}b$

$a^{{\log }_{b}c}=c^{{\log }_{b}a}$

Identidades triviales

${\log }_{b}1=0$	porque	$b^0=1$
${\log }_{b}b=1$	porque	$b^1=b$