Manual del estudiante de Ingeniería en Sistemas de UTN/Simulación/Diseño de experimentos

Diseño y análisis de experimentos en simulación

Diseño factorial simple

Una observación en la repetición j del nivel i, $y_{ij}$, está representado por un valor promedio general $\mu$, un efecto del factor ${\alpha }_i$ y un error aleatorio $e_{ij}$.

$y_{ij}=\mu +{\alpha }_i+e_{ij}$

El efecto es el impacto que tiene el factor en determinado nivel en el valor de la respuesta. La suma de todos los efectos será 0.

$\sum _{i=1}^n{\alpha }_i=0$

Estimación de los términos

Estimación de la media

Sea un experimento unifactorial con n niveles y r repeticiones.

$\sum _{j=1}^r\sum _{i=1}^n{y}_{ij}=\sum _{j=1}^r\sum _{i=1}^n\mu +{\alpha }_i+e_{ij}$

$\sum _{j=1}^r\sum _{i=1}^n{y}_{ij}=\sum _{j=1}^{r}n.\mu +\sum _{i=1}^n{\alpha }_i+\sum _{i=1}^n{e}_{ij}=\sum _{j=1}^{r}n.\mu +0+\sum _{i=1}^n{e}_{ij}$

$\sum _{j=1}^r\sum _{i=1}^n{y}_{ij}=n.r.\mu +\sum _{j=1}^r\sum _{i=1}^n{e}_{ij}=n.r.\mu +0$

$\sum _{j=1}^r\sum _{i=1}^n{y}_{ij}=n.r.\mu$

$\mu =\frac{\sum _{j=1}^r\sum _{i=1}^n{y}_{ij}}{n.r}$

(Notar que n.r es el número total de experimentos)

Estimación de los efectos

Sea $\overline{y_i}$ la media del nivel i

$\overline{y_i}=\frac{1}{r}\sum _{j=1}^r{y}_{ij}$

$\overline{y_i}=\frac{1}{r}\sum _{j=1}^r\mu +{\alpha }_i+e_{ij}$

$\overline{y_i}=\frac{1}{r}(r.\mu +r.{\alpha }_i+\sum _{j=1}^r{e}_{ij})$

Asumiendo que la sumatoria de errores es nula

$\overline{y_i}=\mu +{\alpha }_i$

${\alpha }_i=\overline{y_i}-\mu$

Estimación de los errores experimentales

Habiendo ya calculado todos los datos anteriores, se puede obtener el error de cada muestra

$e_{ij}=y_{ij}-\mu -{\alpha }_i$

Un estadístico importante es la suma de los errores al cuadrado SSE

$\sum _{j=1}^r\sum _{i=1}^n{e}_{ij}^2$

Asignación de la variación

La variación de la respuesta tiene dos causas posibles:

• El efecto del factor.
• El efecto del error.

Esto significa que la variación total SST estará compuesta por la variación entre grupos SSA (efecto del factor) y la variación dentro del grupo SSE (efecto del error).

Si cada respuesta se eleva al cuadrado

$y_{ij}^2=(\mu +{\alpha }_i+e_{ij}{)}^2$

$y_{ij}^2={\mu }^2+{\alpha }_i^2+e_{ij}^2+2\mu .{\alpha }_i+2\mu .i{e}_{ij}+2{\alpha }_i.e_{ij}$

Para las r repeticiones y n tratamientos

$\sum _{j=1}^r\sum _{i=1}^n{y}_{ij}^2=\sum _{j=1}^r\sum _{i=1}^n(\mu +{\alpha }_i+e_{ij}{)}^2$

$\sum _{j=1}^r\sum _{i=1}^n{y}_{ij}^2=\sum _{j=1}^r\sum _{i=1}^n({\mu }^2+{\alpha }_i^2+e_{ij}^2+2\mu .{\alpha }_i+2\mu .e_{ij}+2{\alpha }_i.e_{ij})$

$\sum _{j=1}^r\sum _{i=1}^n{y}_{ij}^2=\sum _{j=1}^r\sum _{i=1}^n{\mu }^2+\sum _{j=1}^r\sum _{i=1}^n{\alpha }_i^2+\sum _{j=1}^r\sum _{i=1}^n{e}_{ij}^2+$

$+\sum _{j=1}^r\sum _{i=1}^{n}2\mu .{\alpha }_i+\sum _{j=1}^r\sum _{i=1}^{n}2\mu .e_{ij}+\sum _{j=1}^r\sum _{i=1}^{n}2{\alpha }_i.e_{ij}$

Teniendo en cuenta que

$\sum _{j=1}^r\sum _{i=1}^{n}2\mu .{\alpha }_i=\sum _{j=1}^r(2\mu \sum _{i=1}^n{\alpha }_i)$

$\sum _{j=1}^r\sum _{i=1}^{n}2\mu .{\alpha }_i=\sum _{j=1}^r(2\mu .0)=0$

$\sum _{j=1}^r\sum _{i=1}^{n}2\mu .e_{ij}=2\mu \sum _{j=1}^r\sum _{i=1}^n{e}_{ij}$

$\sum _{j=1}^r\sum _{i=1}^{n}2\mu .e_{ij}=2\mu .0=0$

$\sum _{j=1}^r\sum _{i=1}^{n}2{\alpha }_i.e_{ij}=0$¿? (ninguno de los dos es cte como para poder sacar de la sumatoria)

Queda entonces la expresión final

$\sum _{j=1}^r\sum _{i=1}^n{y}_{ij}^2=\sum _{j=1}^r\sum _{i=1}^n({\mu }^2+{\alpha }_i^2+e_{ij}^2)$

$SSY=SSO+SSA+SSE$

Donde

$SSY=\sum _{j=1}^r\sum _{i=1}^n{y}_{ij}^2$

$SSO=\sum _{j=1}^r\sum _{i=1}^n{\mu }^2=r.n.{\mu }^2$

$SSA=\sum _{j=1}^r\sum _{i=1}^n{\alpha }_i^2=r.\sum _{i=1}^n{\alpha }_i^2$

$SSE=\sum _{j=1}^r\sum _{i=1}^n{e}_{ij}^2$

La variación total de y será

$SST=\sum _{j=1}^r\sum _{i=1}^n(y_{ij}-\mu {)}^2$

$SST=\sum _{j=1}^r\sum _{i=1}^n{y}_{ij}^2-\sum _{j=1}^r\sum _{i=1}^n{\mu }^2$ (¿?)

$SST=SSY-SSO=SSA+SSE$