Manual del estudiante de Ingeniería en Sistemas de UTN/Modelos Numéricos

Obtención del polinomio luego de usar diferencias divididas

Al final del método, obtenemos una ecuación de la forma

$r_0+\sum _{i=0}^n{r}_i(\prod _{j=0}^{i-1}(x-x_j))$

, es decir

$r_0+r_1(x-x_0)+r_2(x-x_0)(x-x_1)+\cdots$

Para obtener una ecuación de la forma

$\sum _{i=0}^n{C}_i{x}^i$

, es decir

$A+Bx+C{x}^2+\cdots$

a partir de la ecuación obtenida por diferencias divididas, hay que obtener la expresión de cada uno de los coeficientes.

Inducción de los coeficientes

Con 3 puntos

$r_0+r_1(x-x_0)+r_2(x-x_0)(x-x_1)=$

$r_0-r_1{x}_0+r_2{x}_0{x}_1+$

$+x(r_1-r_2(x_0+x_1))+$

$+x^2{r}_2$

Con 4 puntos

$r_0+r_1(x-x_0)+r_2(x-x_0)(x-x_1)+r_3(x-x_0)(x-x_1)(x-x_2)=$

$r_0-r_1{x}_0+r_2{x}_0{x}_1-r_3{x}_0{x}_1{x}_2+$

$+x(r_1-r_2(x_0+x_1)+r_3(x_0{x}_1+x_0{x}_2+x_1{x}_2))+$

$+x^2(r_2-r_3(x_0+x_1+x_2))$

$+x^3(r_3)$

Con 5 puntos

$r_0+r_1(x-x_0)+r_2(x-x_0)(x-x_1)+r_3(x-x_0)(x-x_1)(x-x_2)+r_4(x-x_0)(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)=$

$r_0-r_1{x}_0+r_2{x}_0{x}_1-r_3{x}_0{x}_1{x}_2+r_4{x}_0{x}_1{x}_2{x}_3+$

$+x(r_1-r_2(x_0+x_1)+r_3(x_0{x}_1+x_0{x}_2+x_1{x}_2)-r_4(x_0{x}_1{x}_2+x_0{x}_1{x}_3+x_1{x}_2{x}_3))+$

$+x^2(r_2-r_3(x_0+x_1+x_2)+r_4(x_0{x}_1+x_0{x}_2+x_0{x}_3+x_1{x}_2+x_1{x}_3+x_2{x}_3))+$

$+x^3(r_3-r_4(x_0+x_1+x_2+x_3))+$

$+x^4(r_4)$

Conclusión

Coeficiente A

Cantidad de puntos	Expresión del coeficiente
3	$r_0-r_1{x}_0+r_2{x}_0{x}_1$
4	$r_0-r_1{x}_0+r_2{x}_0{x}_1-r_3{x}_0{x}_1{x}_2$
5	$r_0-r_1{x}_0+r_2{x}_0{x}_1-r_3{x}_0{x}_1{x}_2+r_4{x}_0{x}_1{x}_2{x}_3$

Sea el coeficiente A para la ecuación obtenida a partir de p+1 puntos, la ley resulta:

$r_0+\sum _{i=1}^p((-1{)}^i{r}_i(\prod _{j=0}^{i-1}{x}_j))$

Coeficiente B

Cantidad de puntos	Expresión del coeficiente
3	$r_1-r_2(x_0+x_1)$
4	$r_1-r_2(x_0+x_1)+r_3(x_0{x}_1+x_0{x}_2+x_1{x}_2)$
5	$r_1-r_2(x_0+x_1)+r_3(x_0{x}_1+x_0{x}_2+x_1{x}_2)-r_4(x_0{x}_1{x}_2+x_0{x}_1{x}_3+x_1{x}_2{x}_3)$

Coeficiente C

Cantidad de puntos	Expresión del coeficiente
3	$r_2$
4	$r_2-r_3(x_0+x_1+x_2)$
5	$r_2-r_3(x_0+x_1+x_2)+r_4(x_0{x}_1+x_0{x}_2+x_0{x}_3+x_1{x}_2+x_1{x}_3+x_2{x}_3)$

Coeficiente D

Cantidad de puntos	Expresión del coeficiente
3	$0$
4	$r_3$
5	$r_3-r_4(x_0+x_1+x_2+x_3)$

Como se ve, la ley es mucho más difícil de expresar en términos matemáticos, por lo que dejo ese trabajo pendiente. De todas maneras voy a tratar de describirlo en términos tan claros como me resulte posible:

Se puede ver que:

• La cantidad de términos que describen a cada coeficiente depende de la cantidad de $x_i$ que se utilizan para obtener la expresión.
• El primer término de la expresión que calcula el coeficiente que corresponde a $x^n$ será $r_n$, y corresponde a la expresión obtenida utilizando n $x_i$ (es decir, cuando el polinomio es de grado n).
• Para calcular el mismo coeficiente para un polinomio del grado mayor siguiente, se restará y sumará alternativamente el siguiente término.
• El siguiente término será la multiplicación del siguiente r, por la sumatoria de los productos formados por una permutación de elementos del conjunto de $x_i$.

Para obtener la ley inductiva para conocer que permutaciones usar vemos:

	colspan="2" | Coeficiente B	Coeficiente C		Coeficiente D
r	Elementos	Tomados de a	Elementos	Tomados de a	Elementos	Tomados de a
2	2	1	-	-	-	-
3	3	2	3	1	-	-
4	4	3	4	2	4	1

Como conclusión, se puede decir que al calcular cualquier coeficiente, el término que contiene $r_k$ irá multiplicado por la sumatoria de los productos formados por la permutación de los primeros $k$ elementos del conjunto de $x_i$, tomados de a m, siendo m el número de orden en que aparece el término dentro del cálculo del coeficiente.

Además, si el coeficiente corresponde a $x^n$, m será:

$m=k-n$