Geometría Analítica con Matlab/Cónicas Rotadas

Cónicas Rotadas

En esta sección se propone revisar en el plano, la rotación que sucede sobre una cónica, a través de los vectores propios asociados a la matriz de los coeficientes.

Se considera entonces una ecuación de la forma Plantilla:Eqn bajo la condición Plantilla:Eqn Los vectores propios por analizar están asociados a la matríz de los coeficientes Plantilla:Eqn la cual es simétrica; en consecuencia sus valores propios son reales y los respectivos vectores propios son ortogonales. Su determinante Plantilla:Eqn y al número $b^2-4ac$ se le denomina discriminante de la matriz M.

Valores y Vectores Propios

Los valores propios se pueden obtener de la correspondiente ecuación característica, la cual es Plantilla:Eqn y de esta surge la relación Plantilla:Eqn Sus raíces dan los dos valores propios (reales puesto que M es simétrica): Plantilla:Eqn o bien, en términos de la traza y el determinante Plantilla:Eqn De esta expresión junto con la condición Plantilla:Eqnref se concluye: Plantilla:Res Sea ${\lambda }_1$ el menor valor propio; este es Plantilla:Eqn del cual resulta Plantilla:Eqn Ahora, teniendo en cuenta que $b\ne 0$, para todo real N Plantilla:Eqn de lo cual: Plantilla:Res Ahora, de la relación con la traza de la matriz M, se tiene Plantilla:Eqn de donde ${\lambda }_2>c$.

Vector propio asociado al menor valor propio ${\lambda }_1$

De la relación Plantilla:Eqnref los vectores propios X de la matriz M satisfacen Plantilla:Eqn y con $X^t=[x,y]$, en función de las componentes Plantilla:Eqn que da lugar a un sistema de ecuación equivalentes entre sí, de tal manera que resulta Plantilla:Eqn para cualquier valor propio $\lambda$. Entonces al considerar el valor propio ${\lambda }_1$ Plantilla:Eqn obteniendo cada vector propio asociado a ${\lambda }_1$ Plantilla:Eqn Tomando en particular el vector propio $v_1$ Plantilla:Eqn el cual por la NOTA 2, tiene segunda componente negativa.

Vector propio asociado a ${\lambda }_2$

Puesto que el segundo valor propio ${\lambda }_2$ es distinto de ${\lambda }_1$ (NOTA 1), entonces siendo M una matriz simétria el vector propio $v_2$ asociado a ${\lambda }_2$ es ortogonal a $v_1$.Así, se propone rotar $90^o$ en el sentido antihorario el vector $v_1$ quedando Plantilla:Eqn y por la NOTA 2, la primera componente es positiva. También $\Vert v_1\Vert =\Vert v_2\Vert$.

Siendo el propósito describir la rotación de la cónica, el ángulo correspondiente oscilará en el intervalo $(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2})$, se elige el par de vectores propios siguiente: Plantilla:Eqn Obsérvese que, de acuerdo a los signos de las componentes ya analizados, en el primer caso $v_1$ está en el cuarto cuadrante del plano cartesiando, $v_2$ está en el primer cuadrante y, en el segundo caso, los vectores están en el primero y segundo cuadrante respectivamente.

Ángulo de rotación

Dados los vectores $\overrightarrow{A},\overrightarrow{B}$ su producto punto satisface Plantilla:Eqn siendo $\theta \in [0,\pi ]$ el ángulo formado por ellos. Entonces si $\overrightarrow{A}=⟨1,0⟩$ (en la dirección positiva del eje X), al tomar $\overrightarrow{B}=v_1$ y al reemplazar Plantilla:Eqn el ángulo de rotación $\varphi \in (-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2})$ queda definido por Plantilla:Eqn Entonces, en el primer caso se presenta una rotación negativa y en el segundo, cuanbo $b<0$, la rotación es positiva.

Cambio de Coordenadas

Antes de proceder a realizar un cambio de coordenadas, se revisan las opciones de signos de los valores propios.

Sobre los signos de los valores propios de la matria M

Se plantea la pregunta:

¿Es posible que ${\lambda }_1<0,{\lambda }_2<0$?

Supóngase que ambos valores propios son negativas; en tal caso $trM<0$, es decir que $a+c<0$ y siendo $a>0$ entonces $c<0$. Con lo cual el determinante sería Plantilla:Eqn Plantilla:Res Ahora, ¿es posible que el valor propio ${\lambda }_2$ sea nulo? En tal caso, el determinante $detM=0$ muestra que $ac=\frac{b^2}{4}$ y, del hecho Plantilla:Eqn se tendría $a+c<0$, de lo cual $a<0$, contradiciendo la condición Plantilla:Eqnref. Así, se tiene Plantilla:Res De la relación de los valores propios con la traza se puede decir: Plantilla:Res Teniendo en cuenta que el valor propio ${\lambda }_1$ es el más pequeño se tiene: Plantilla:Res

Matriz de rotación P

La determinación de los vectores propios $v_1,v_2$ permite replantear la ecuación cartesiana Plantilla:Eqnref en función de otras variables, con el fin de facilitar la identificación de la cónica que está describiendo. Así, se proponen las variables $u,v$ y se define la transformación Plantilla:Eqn siendo P la matriz de orden 2, formada por los vectores propios normalizados Plantilla:Eqn y por Plantilla:Eqnref y Plantilla:Eqnref se tiene $\Vert v_1\Vert =\Vert v_2\Vert$, con lo cual Plantilla:Eqn Plantilla:Res para el caso $b>0$, Plantilla:Eqn teniendo presente Plantilla:Eqnref y Plantilla:Eqnref. Plantilla:Res Para el caso $b<0$, según Plantilla:Eqnref Plantilla:Eqn En ambos casos se tiene en cuenta el resultado $P^{t}MP=\left[\begin{array}{cc}{\lambda }_1& 0\\ 0& {\lambda }_2\end{array}\right]$ (ver teoría), y al realizar la sustitución Plantilla:Eqn en la ecuación de segundo grado dada al comienzo, escrita en la forma Plantilla:Eqn se simplifica inicialmente en Plantilla:Eqn y al desarrollar el primer producto Plantilla:Eqn Está por resolver el producto $\left[\begin{array}{cc}d& e\end{array}\right]P\left[\begin{array}{c}u\\ v\end{array}\right]$ que contiene las coordenadas del centro de la cónica; se anulan cuando los coeficientes d y e son cero. Obsérvese que esta ecuación carece del término uv, indicando que la cónica correspondiente está en su forma normal.

Caso $b>0$ (rotación negativa)

Plantilla:Eqn obteniendo Plantilla:Eqn y al reemplazarlo en la ecuación Plantilla:Eqnref Plantilla:Eqcn Se procede a completar cuadrados: Plantilla:Res Siendo cada valor propio distindo de 0, la expresión Plantilla:Eqnref queda Plantilla:Eqn donde Plantilla:Eqn Entonces, la ecuación Plantilla:Eqnref representa: Plantilla:Eqn En los dos primeros casos, los centros están en Plantilla:Eqn Las rectas coincidentes tienen ecuaciones Plantilla:Eqn Plantilla:Res Por la NOTA 4, se presenta como única opción: ${\lambda }_1=0({\lambda }_2>0)$. Así, de la ecuación Plantilla:Eqnref queda Plantilla:Eqn con Plantilla:Eqn que representa Plantilla:Eqcn con eje de simetría paralelo al eje y y vértice en el punto Plantilla:Eqn Puede tenerse también Plantilla:Eqcn con ecuaciones Plantilla:Eqn La ecuación Plantilla:Eqnref puede representar Plantilla:Eqcn Por último, puede representar Plantilla:Eqcn

Caso b<0 (rotación positiva)

Ya que la matriz a considerar $P_2$ difiere de la anterior $P_1$ en el signo, los desarrollos y resultados presentados en la sección anterior son similares. De esta manera Plantilla:Eqn al reemplazarlo en Plantilla:Eqnref produce una ecuación ligeramente dintinta de Plantilla:Eqnref: Plantilla:Eqcn lo cual indica que se obtienen los resultados de la sección 3.2.3, con una diferencia:

las coordenadas del centro en el caso de la elipse y de la hipérbola, así como en el vértice para el caso de la parábola son los opuestos aditivos.

Plantilla:Res Siendo cada valor propio distinto de 0, la expresión Plantilla:Eqnref queda Plantilla:Eqn donde Plantilla:Eqn tal como el de Plantilla:Eqnref De esta manera, la ecuación Plantilla:Eqnref representa: Plantilla:Eqn En los dos primeros casos sus centros están en Plantilla:Eqn Las rectas coincidentes tienen ecuaciones Plantilla:Eqn El caso del punto, sus coordenadas están dadas por (h,k). Plantilla:Res Nuevamente, como en el baso b>0, por la Nota 4, se tiene la única opción: ${\lambda }_1=0({\lambda }_2>0)$. De la ecuación Plantilla:Eqnref queda Plantilla:Eqn con $T_2$ dado por Plantilla:Eqnref, la cual representa Plantilla:Eqcn con eje de simetría paralelo al eje u y vértice en el punto Plantilla:Eqn Puede tenerse también Plantilla:Eqcn con ecuaciones Plantilla:Eqn y tal como Plantilla:Eqnref puede representar Plantilla:Eqcn con ecuación Plantilla:Eqn paralela al eje u. Por último, puede suceder que Plantilla:Eqnref represente Plantilla:Eqcn