Fundamentos de la Matemática/Relación matemática

Una relación matemática entre los elementos, de uno o más conjuntos, es el conjunto de las tuplas de elementos de esos conjuntos que cumplen una determinada condición.

El caso más general de relaciones matemáticas es el de relaciones binarias, donde intervienen dos elementos en la relación:

$ℛ=\{(a,b)\in A\times B\mid 𝒫(a,b)\}$

La relación $ℛ$ es el conjunto de pares ordenados (a,b) que pertenecen al producto $A\times B$ que cumplen la propiedad $𝒫(a,b)$

Claramente:

$ℛ\subseteq A\times B$

La relación $ℛ$ es un subconjunto de $A\times B$

Notación caso general

Dada una relación entre los elementos de n conjuntos:

$ℛ=\{(a_1,a_2,a_3,\dots ,a_n)\in A_1\times A_2\times A_3\times \dots \times A_n\mid 𝒫(a_1,a_2,a_3,\dots ,a_n)\}$

La relación: $ℛ$ se define como las tuplas: $(a_1,a_2,a_3,\dots ,a_n)$, del producto de conjuntos: $A_1\times A_2\times A_3\times \dots \times A_n$, que cumplen la condición: $𝒫(a_1,a_2,a_3,\dots ,a_n)$.

Si una tupla es de la relación se expresa:

$ℛ(a_1,a_2,a_3,\dots ,a_n)o(a_1,a_2,a_3,\dots ,a_n)\in ℛ$

Si la tupla no es de la relación:

$\cancel{ℛ}(a_1,a_2,a_3,\dots ,a_n)o\mathrm{\neg }ℛ(a_1,a_2,a_3,\dots ,a_n)o(a_1,a_2,a_3,\dots ,a_n)\notin ℛ$

Tipos de relaciones por el número de elementos

En las relaciones se diferencian los tipos según el número de conjuntos en el producto cartesiano, que es el número de términos de la relación:

Relación unaria: un solo conjunto $R\subseteq A\times 1,R(a)$

Relación binaria: con dos conjuntos $R\subseteq A_1\times A_2,R(a_1,a_2)$

Relación ternaria: con tres conjuntos $R\subseteq A_1\times A_2\times A_3,R(a_1,a_2,a_3)$

Relación cuaternaria: con cuatro conjuntos $R\subseteq A_1\times A_2\times A_3\times A_4,R(a_1,a_2,a_3,a_4)$

Relación n-aria: caso general con n conjuntos $R\subseteq A_1\times A_2\dots \times A_n,R(a_1,a_2,\dots ,a_n)$

Tipos de relaciones por la igualdad de los conjuntos

Si el producto cartesiano es del mismo conjunto:

$A\times A\times A\times \dots \times A=A^n$

La relación se denomina relación homogénea y se representa:

$ℛ=\{(a_1,a_2,a_3,\dots ,a_n)\in A^n\mid 𝒫(a_1,a_2,a_3,\dots ,a_n)\}$

Si no todos los conjuntos son iguales, se denomina: relación heterogénea y se representa:

$ℛ=\{(a_1,a_2,a_3,\dots ,a_n)\in A_1\times A_2\times A_3\times \dots \times A_n\mid 𝒫(a_1,a_2,a_3,\dots ,a_n)\}$