Fundamentos de la Matemática/Grupo

Sea un conjunto: A y una ley de composición interna: $⊚$, definida:

$\begin{array}{cccc}⊚:& A\times A& ⟶& A\\ & (a,b)& ⟼& c=a⊚b\end{array}$

Dado que se cumple:

$\mathrm{\forall }(a,b)\in A\times A,\mathrm{\exists }!c\in A:c=a⊚b$

Para todo par ordenado (a,b) en A por A, se cumple que existe un único c en A, tal que c es el resultado de operar a con b.

El par $(A,⊚)$ es una estructura definida en un único conjunto con una sola ley de composición. Si ademas cumple la propiedad asociativa, tiene elemento neutro y tiene elemento simétrico, $(A,⊚)$ se denomina grupo. Si este grupo cumple la propiedad conmutativa se dice que es un grupo conmutativo o abeliano.

grupo monoide semigrupo magma conjunto ley de composición interna asociativa elemento neutro elemento simétrico

Suma de números enteros

Dado el conjunto: $\mathbb{Z}$ de los números enteros y la ley de composición interna: $+$, suma, definida como:

$\begin{array}{cccc}+:& \mathbb{Z}\times \mathbb{Z}& ⟶& \mathbb{Z}\\ & (a,b)& ⟼& c=a+b\end{array}$

1) - se cumple que:

$\mathrm{\forall }(a,b)\in \mathbb{Z}\times \mathbb{Z},\mathrm{\exists }!c\in \mathbb{Z}:c=a+b$

Para todo par ordenado (a,b) en $\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}$, se cumple que existe un único c en $\mathbb{Z}$, tal que c = a + b. La operación suma de números enteros es interna.

2) - se cumple que:

$\mathrm{\forall }a,b,c\in \mathbb{Z}:(a+b)+c=a+(b+c)$

Para todo a, b, c números enteros, sumar a y b y el resultado sumarlo con c es igual a sumar a al resultado de sumar b y c. La operación suma de números enteros es asociativa.

3) - se cumple que:

$\mathrm{\forall }a\in \mathbb{Z},\mathrm{\exists }0\in \mathbb{Z}:0+a=a+0=a$

Para todo a número entero, existe un 0, cero, número entero que cumple que: 0 + a = a + 0 = a. La operación suma de números enteros tiene elemento neutro y este elemento neutro es el 0, el cero.

4) - se cumple que:

$\mathrm{\forall }a\in \mathbb{Z},\mathrm{\exists }-a\in \mathbb{Z}:a+(-a)=(-a)+a=0$

Para todo a número entero, existe -a número entero, que cumple que a más -a es igual a -a más a e igual a 0, siendo 0 el elemento neutro, todo número entero tiene elemento simétrico para la suma, el elemento simétrico para la suma se suele llamar elemento opuesto.

Por lo tanto la suma de números enteros: $(\mathbb{Z},+)$ es un grupo.

5) - se cumple que:

$\mathrm{\forall }a,b\in \mathbb{Z}:a+b=b+a$

Para todo a, b números enteros se cumple que la suma de a más b es igual a la suma de b más a, cumpliendo la propiedad conmutativa. La suma de números enteros es un grupo conmutativo o abeliano.

Multiplicación de números racionales

Dado el conjunto: ${\mathbb{Q}}^{*}$ de los números racionales menos el 0, ${\mathbb{Q}}^{*}=\mathbb{Q}-\{0\}$, y la ley de composición interna: $\cdot$, producto, definida como:

$\begin{array}{cccc}\cdot :& {\mathbb{Q}}^{*}\times {\mathbb{Q}}^{*}& ⟶& {\mathbb{Q}}^{*}\\ & (a,b)& ⟼& c=a\cdot b\end{array}$

Véase también

• Álgebra Abstracta/Grupos
• w:Grupo (matemática)

Bibliografía

1. Plantilla:Cita libro
2. Plantilla:Cita libro