Funciones/Clasificación

Como habrán leído en el material teórico, hay tres categorías en las que se puede clasificar una función.

Estas son:

Función Biyectiva

Ejemplo de función biyectiva de dos conjuntos finitos, donde se puede ver que $|X|=|Y|$.

En matemáticas, una función es biyectiva si es al mismo tiempo inyectiva y sobreyectiva; es decir, si todos los elementos del conjunto de salida tienen una imagen distinta en el conjunto de llegada, y a cada elemento del conjunto de llegada le corresponde un elemento del conjunto de salida.

Formalmente, dada una función $f$:

$\begin{array}{cccc}f:& X& \to & Y\\ & x& \to & y=f(x)\end{array}$

La función es biyectiva si se cumple la siguiente condición:

$\mathrm{\forall }y\in Y:\mathrm{\exists }!x\in X/f(x)=y$

Es decir, si para todo $y$ de $Y$ se cumple que existe un único $x$ de $X$, tal que la función evaluada en $x$ es igual a $y$.

Dados dos conjuntos $X$ e $Y$ finitos, entonces existirá una biyección entre ambos si y sólo si $X$ e $Y$ tienen el mismo número de elementos.

Cardinalidad y biyectividad

Dados dos conjuntos $A$ y $B$, entre los cuales existe una función biyectiva $f:A\to B$ tienen cardinales que cumplen: Plantilla:Ecuación

Homeomorfismo

• Mediante una función biyectiva se define un homeomorfismo o una aplicación topológica entre dos espacios topológicos, diciendo que es una transformación biyectiva y bicontinua.

Función Sobreyectiva

Ejemplo de función sobreyectiva.

En matemática, una función $f:X\to Y$ es sobreyectiva (epiyectiva, suprayectiva, suryectiva, exhaustiva o subyectiva) si está aplicada sobre todo el codominio, es decir, cuando cada elemento de $Y$ es la imagen de como mínimo un elemento de $X$.

Formalmente, Plantilla:Ecuación

Cardinalidad y sobreyectividad

Dados dos conjuntos $A$ y $B$, entre los cuales existe una función sobreyectiva $f:A\to B$, se tiene que los cardinales cumplen: Plantilla:Ecuación Si además existe otra aplicación sobreyectiva $g:B\to A$, entonces puede probarse que existe una aplicación biyectiva entre $A$ y $B$, por el teorema de Cantor-Bernstein-Schröder.

Función Inyectiva

Ejemplo de función inyectiva.

En matemáticas, una función $f:X\to Y$ es inyectiva si a elementos distintos del conjunto $X$ (dominio) les corresponden elementos distintos en el conjunto $Y$ (codominio) de $f$. Es decir, cada elemento del conjunto Y tiene a lo sumo una preimagen en X, o, lo que es lo mismo, en el conjunto X no puede haber dos o más elementos que tengan la misma imagen.

Así, por ejemplo, la función de números reales $f:ℝ\to ℝ$, dada por $f(x)=x^2$ no es inyectiva, puesto que el valor 4 puede obtenerse como $f(2)$ y $f(-2)$. Pero si el dominio se restringe a los números positivos, obteniendo así una nueva función $g:{ℝ}^{+}\to {ℝ}^{+}$ entonces sí se obtiene una función inyectiva.

Definición formal

• De manera más precisa, la

función $f:X\to Y$ es inyectiva si, sólo si $a,b$ son elementos de $X$ tales que $f(a)=f(b)$, entonces $a=b$.

• O equivalentemente función $f:X\to Y$ es inyectiva si, sólo

si $a,b$ son elementos diferentes de $X$, entonces $f(a)\ne f(b)$

Simbólicamente,

$\mathrm{\forall }a,b\in X,f(a)=f(b)\Rightarrow a=b$

que es equivalente a su contrarrecíproco

$\mathrm{\forall }a,b\in X,a\ne b\Rightarrow f(a)\ne f(b)$

Para probar que una función no es inyectiva basta hallar dos valores distintos del dominio, pero sus imágenes en el codominio son iguales.

Cardinalidad e inyectividad

Dados dos conjuntos $A$ y $B$, entre los cuales existe una función inyectiva $f:A\to B$ tienen cardinales que cumplen:

Si además existe otra aplicación inyectiva $g:B\to A$, entonces puede probarse que existe una aplicación biyectiva entre A y B.

Fuente

https://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_matem%C3%A1tica