Física/Lo que aprendí leyendo a Feynman - Electromagnetismo/Electrodinámica en notación relativista

Cuadrivectores

Experimentalmente las leyes de la física quedan invariantes si nos movemos con velocidad uniforme. La relación espacio-tiempo entre dos sistemas de coordenadas con movimiento uniforme en la dirección x con velocidad v está dada por la transformación de Lorentz:

$t^{\prime }=\frac{t-vx}{\sqrt{1-v^2}},y^{\prime }=y,$

$x^{\prime }=\frac{x-vt}{\sqrt{1-v^2}},z^{\prime }=z,$

Cuando aplicamos estas transformaciones a las leyes de la física, la nueva forma que tomen debe ser igual a la de antes de la transformación. Esto es similar al principio de que las leyes de la física no dependen de la orientación de nuestro sistema de coordenadas. Recordemos que, si tenemos dos vectores, realizamos el producto escalar entre ellos y rotamos el sistema de coordenadas, la ecuación resultante siempre tendrá la misma forma.

En Relatividad Especial espacio-tiempo están íntimamente mezclados, así que trataremos de juntar las tres dimensiones espaciales y la temporal. Al hacer esto nuestras ecuaciones deben permanecer invariantes bajo transformaciones de Lorentz. Por ahora se tomarán las unidades de longitud y tiempo de modo que la velocidad de la luz c sea igual a 1.

Un cuadrivector se define como un sistema de cuatro cantidades $a_t,a_x,a_y,a_z$ que se transforman como t, x, y, y z cuando se pasa a un sistema de coordenadas en movimiento. Escribiremos a_$\mu =(a_t,a_x,a_y,a_z)$ o si queremos indicar que las tres componentes es un trivector, entonces $a_{\mu }=(a_t,𝐚)$

¿Cómo encontramos el cuadrivector de la velocidad?. Para esto podemos utilizar el cuadrivector $p_{\mu }$formado por la energía y el momentum de una partícula dividido entre la masa en reposo:

$\frac{p_{\mu }}{m_0}=(\frac{c}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}},\frac{𝐯}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}})$

Producto escalar

Bajo rotaciones la distancia de un punto al origen no cambia, es decir $r^2=x^2+y^2+z^2$ es un invariante, depués de una rotación $r{\text{'}}^2=r^2$.

Entonces de la primera ecuación podemos escribir $t{\text{'}}^2-x{\text{'}}^2=t^2-x^2$. Esto solamente depende del eje x, pero si quisieramos tomar en cuenta las otras dos coordenadas (x, y), se las podemos restar, esto aún deja nuestro sistema invariante, lo único que hicimos fue rotar nuestra cantidad. Entonces tendremos la cantidad $r^2$ en cuatro dimensiones $t^2-x^2-y^2-z^2$.

Esto es un invariante a lo que se llama “Grupo completo de Lorentz”(transformaciones que corresponden a traslaciones con velocidad constante y rotaciones). Es valida para cualquier cuadrivector. La combinación entre dos vectores $a_{\mu }$ y $b_{\mu }$ es una cantidad invariante, un escalar, debido a que se transforman del mismo modo. La longitud cuadridimensional se puede escribir como:

$a_{\mu }{a}_{\mu }=a_t^2-𝐚\cdot 𝐚\equiv a_{\mu }^2$

Para ver como funciona esto, analicemos el choque entre un protón de alta energía y otro en reposo. Si el protón incidente tiene la energía suficiente se producirá un par protón antiprotón además de los dos protones que teníamos originalmente en reposo. Si la energía incidente es mayor los cuatro protones tendrán energía cinética y se apartaran unos de otros. Si la energía fuera menor no se podrían producir las cuatro partículas. Estas reacciones se realizan en un sistema de centro de masa, $a$ será el protón incidente y $b$ el que está en reposo. $p_{\mu }$ será el cuadrivector momentum. Si consideramos $p_{\mu }$ del estado inicial y final tenemos:

${𝐩}^a+{𝐩}^b={𝐩}^c$ (momento lineal)

$E^a+E^b=E^c$

osea:

$p_{\mu }^a+p_{\mu }^b=p_{\mu }^c$

Ahora saquemos la longitud de cada miembro de la ecuación. Como son iguales y sabemos que $p_{\mu }^c{p}_{\mu }^c$ es invariante, su energía es 4M (M es la masa) y como estaban en reposo su momento lineal es cero.

$(p_{\mu }^a+p_{\mu }^b)(p_{\mu }^a+p_{\mu }^b)=(p_{\mu }^c)(p_{\mu }^c)=16M^2$

Como para cualquier partícula la longitud del cuadrivector momentum es el cuadrado de la masa de la partúcula. Entonces:

$p_{\mu }^a+p_{\mu }^b=7M$

hora $p_{\mu }^a=(E_a,{𝐩}_a)$ y $p_{\mu }^{=}(M,0)$ entonces $p_{\mu }^a{p}_{\mu }^b=M{E}^a$ tendremos

$E^a=7M$

El gradiente en cuatro dimensiones

Ya sabemos cómo es el gradiente en tres dimensiones. Para encontrarlo en 4 dimensiones consideremos una función escalar $\varphi$ que dependa solo de x y t. Si variamos $\varphi$ respecto a t:

$\mathrm{\Delta }\varphi =\frac{\partial \varphi }{\partial t}\mathrm{\Delta }t$

y para un observador en movimiento:

$\mathrm{\Delta }\varphi =\frac{\partial \varphi }{\partial x^{\prime }}\mathrm{\Delta }{x}^{\prime }+\frac{\partial \varphi }{\partial t^{\prime }}\mathrm{\Delta }{t}^{\prime }$

Podemos expresar $\mathrm{\Delta }{x}^{\prime }$ y $\mathrm{\Delta }{t}^{\prime }$ en términos de x y t, con x constante. Si derivamos parcialmente respecto a x y t, resolvemos con las ecuaciones que se escribieron al empezar el capítulo y cambiamos el signo (a negativo ) a las componentes temporales obtendremos el gradiente cuadridimensional.

${\mathrm{\nabla }}_{\mu }=(\frac{\partial }{\partial t},-\mathrm{\nabla })$

Definimos la divergencia de un cuadrivector como:

${\mathrm{\nabla }}_{\mu }{b}_{\mu }=\frac{\partial }{\partial t}{b}_t-(-\frac{\partial }{\partial t})b_x-(-\frac{\partial }{\partial y})b_y-(-\frac{\partial }{\partial z})b_z=\frac{\partial }{\partial t}{b}_t+\mathrm{\nabla }\cdot 𝐛$

En tres dimensiones el producto escalar del operador nabla con él mismo es:

${\mathrm{\nabla }}^2=\mathrm{\nabla }\cdot \mathrm{\nabla }=\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^2}{\partial y^2}+\frac{{\partial }^2}{\partial z^2}$

Para 4 dimensiones se define un operador llamado “D´Alambertiano”:

${◻}^2={\mathrm{\nabla }}_{\mu }{\mathrm{\nabla }}_{\mu }=\frac{{\partial }^2}{\partial t^2}-{\mathrm{\nabla }}^2$

La electrodinámica en notación cuadridimensional

Anteriormente encontramos que el potencial puede ser escrito por medio de las siguientes ecuaciones:

${◻}^2\varphi =\frac{\rho }{{ϵ}_0},{◻}^2𝐀=\frac{𝐣}{{ϵ}_0}$

La cantidad escalar $\rho$ y el vector j son invariantes y ${ϵ}_0$ es una constante y es la misma en todos los sistemas de coordenadas, por lo que $\rho$ y $𝐣$ se transforman como un cuadrivector. Esto se puede escribir como $j_{m}u/{ϵ}_0.Entonceselpotencialescalar<math>\varphi$ y el vectorial $𝐀$ también son las componentes de un cuadrivector:

${𝐀}_{\mu }=(\varphi ,𝐀)$

Esto significa que son “algo de lo mismo”. Al juntarlos tendremos un Cuadripotencial. ${𝐀}_{\mu }$. Entonces las 2 ecuaciones que encontramos para los potenciales puede ser escrita de una sola forma:

${◻}^2{𝐀}_{\mu }=\frac{{𝐣}_{\mu }}{{ϵ}_0}$

Las ecuaciones de Maxwell conservan esta forma, en todos los sistemas de referencia, con la condición invariante ${\mathrm{\nabla }}_{\mu }{𝐀}_{\mu }=0$ llamada “condición de Lorentz”

El cuadripotencial de una carga en movimiento

Si tenemos una carga que en un sistema de coordenadas S' se mueve con velocidad $v$ en el eje x relativa a otro sistema S en reposo, entonces el cuadripotencial ${𝐀}_{\mu }=(\varphi ,𝐀)$ tendrá las siguientes ecuaciones:

${\varphi }^{\prime }=\frac{\varphi -v{A}_x}{\sqrt{1-v^2}},A{\text{'}}_y=A_y$

$A{\text{'}}_x=\frac{A_x-v\varphi }{\sqrt{1-v^2}},A{\text{'}}_z=A_z$

Para encontrar los potenciales escalar y vectorial, primeramente, como la carga está en movimiento podemos suponer que la carga se encuentra en el origen en el sistema S'. El potencial escalar en S' es:

${\varphi }^{\prime }=\frac{q}{4\pi {ϵ}_0{r}^{\prime }}$

$r^{\prime }$ es la distancia de la carga al punto donde se calcula el campo medida desde el sistema en movimiento. Las ecuaciones de los potenciales en el sistema en reposo S son:

$\varphi =\frac{{\varphi }^{\prime }+vA{\text{'}}_x}{\sqrt{1-v^2}},A_y=A{\text{'}}_y$

$A_x=\frac{A{\text{'}}_x+v{\varphi }^{\prime }}{\sqrt{1-v^2}},A_z=A{\text{'}}_z$

Si sustituimos ${\varphi }^{\prime }$ en las dos ecuaciones, ponemos $r$ en función de $x,y,z$ y como el potencial vectorial en S’ es igual a cero entonces:

$\varphi =\frac{q}{4\pi {ϵ}_0{r}^{\prime }}\frac{1}{\sqrt{1-v^2}}\frac{1}{\sqrt{[(x-vt)/\sqrt{1-v^2}{]}^2+y^2+z^2}}$

$𝐀=v\varphi$

Invariancia de las ecuaciones de la electrodinámica

Las siguientes dos ecuaciones nos dan la ley fundamental del campo electromagnético:

${◻}^2{𝐀}_{\mu }=\frac{{𝐣}_{\mu }}{{ϵ}_0}$

${\mathrm{\nabla }}_{\mu }{j}_{\mu }=0$

Estas ecuaciones que se ven tan simples y bonitas no son más que pura notación que las simplifica, esconden toda las ecuaciones que hay dentro de ellas. Lo importante es que al ser escritas de esta manera, en forma cuadrivectorial, quiere decir que “funcionan” o no cambian esencialmente tanto en la geometría tridimensional como en la cuadridimensional, osea que son invariantes bajo transformaciones de Lorentz.

La teoría de la relatividad fue desarrollada gracias a que cuando se analizaron experimentalmente los fenómenos predichos por las ecuaciones de Maxwell se encontró que eran los mismos en todos los sistemas inerciales. Lorentz, estudiando las propiedades de transformación de las ecuaciones de Maxwell, encontró su transformación que las dejaba invariantes. Después de esto Einstein intuyó el principio de relatividad que dice que todas las leyes de la física son invariantes bajo transformaciones de Lorentz.