Física/Estática/Equilibrio de un sólido rígido

Definición de sólido rígido

Movimiento complejo de un sólido rígido, que presenta precesión alrededor de la dirección del momento angular además rotación según su eje de simetría

Un sólido rigido esta formado por un conjunto de masas puntuales cuyas posiciones relativas entre sí no varían en el tiempo. Matemáticamente:

$\overrightarrow{r_{ij}}=\overrightarrow{r_i}-\overrightarrow{r_j}=\overrightarrow{cte}$

Esto significa que un cuerpo rigido se mueve como un todo y su movimiento podrá descomponerse como un componente de desplazamiento del centro de masas y otro de rotación.

Condiciones de equilibrio

En el apartado de discusión del principio de conservación del momento angular se define el momento angular como:

$\overrightarrow{L_i}=\overrightarrow{r_i}\times \overrightarrow{p_i}$

para un sistema de partículas se tiene:

$\overrightarrow{L}=\sum _i\overrightarrow{r_i}\times \overrightarrow{p_i}$

y derivando respecto al tiempo:

$\dot{\overrightarrow{L}}=\sum _i(\dot{\overrightarrow{r_i}}\times \overrightarrow{p_i}+\overrightarrow{r_i}\times \dot{\overrightarrow{p_i}})=\sum _i\dot{\overrightarrow{r_i}}\times m_i\dot{\overrightarrow{r_i}}+\sum _i\overrightarrow{r_i}\times \overrightarrow{F_i}$

los sumandos del primer término se anulan por tratarse del producto vectorial de un vector consigo mismo, mientras que el segundo es la definición del torque o momento de la fuerza, definido como:

$\overrightarrow{M_i}=\overrightarrow{r_i}\times \overrightarrow{F_i}=\overrightarrow{r_i}\times \overrightarrow{F_i^e}+\sum _{j,j\ne i}\overrightarrow{r_i}\times \overrightarrow{F_{ji}}$

donde se han definido la fuerza externa sobre la partícula i como $\overrightarrow{F_i^e}$ y la fuerza que ejerce la partícula j sobre la i como $\overrightarrow{F_{ji}}$. Sustituyendo en la expresión del momento angular total se llega a la expresión:

$\dot{\overrightarrow{L}}=\sum _i\overrightarrow{r_i}\times \overrightarrow{F_i^e}+\sum _{i,j,j\ne i}\overrightarrow{r_i}\times \overrightarrow{F_{ji}}$

El último término del segundo miembro de la ecuación anterior puede considerarse como una suma de pares de la siguiente forma:

$\overrightarrow{r_i}\times \overrightarrow{F_{ji}}+\overrightarrow{r_j}\times \overrightarrow{F_{ij}}=(\overrightarrow{r_i}-\overrightarrow{r_j})\times \overrightarrow{F_{ji}}=\overrightarrow{r_{ij}}\times \overrightarrow{F_{ji}}$

donde se ha utilizado el principio de acción y reacción. Si se considera además el denominado principo de acción y reacción fuerte, que enuncia que las fuerzas entre dos partículas, además de ser iguales y opuestas, están sobre la recta que las une, el producto vectorial en el último término se anula y se tendrá que:

$\dot{\overrightarrow{L}}=\sum _i\overrightarrow{M_i^e}$

Lo que nos lleva a que las condiciones de equilibrio estatico de un sólido rígido requiere que la resultante de las fuerzas se anule y, además, que se anule la resultante de la suma de momentos de las fuerzas exteriores.

Referencias

• Plantilla:Cita libro
• Plantilla:Cita libro