Estadística/Distribución Chi-Cuadrada

MODELO DE DISTRIBUCION $X^2$ (CHI CUADRADO) DE PEARSON $$

-Definición:$$ Sea $Z_1,Z_2,...,Z_k$ donde "k" son variables aleatorias normales e independientes, cada una con media 0 y desviación típica. Entonces, la variable aleatoria:

                                      $X^2=Z_1^2+Z_2^2+...+Z_k^2$

es una variable chi cuadrado con k grados de libertad. Una variable aleatoria continua "i" tiene una distribucion Chi Cuadrado con parámetro "n", que denotaremos: $X^2(n)$, si su función de distribución (fd) es:

                                     $f(n)=\{\begin{array}{cc}\frac{e^{-i/2}*i^{n/2-1}}{G(n/2)*2^{n/2}}& \text{si }0<i<\mathrm{\infty }\\ 0& \text{si }i<=0\end{array}$

donde "G" es la funcion Gamma:

                                      $G(x)=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{t}^{x-1}{e}^{-t}dt$

Propiedades: $$

                 *Sus valores son siempre positivos.
                 *Asimétrica. 
                 *A medida que aumenta k, la curva de densidad de la función está  menos  inclinada hacia la derecha y más simetrica a la moda.
                 *Posee la propiedad reproductiva: si $Z_1$ es $X^2(n_1)$ y $Z_2$ es $X^2(n_2)$ donde ambas son independientes, entonces $Z_1+Z_2$ es $X^2(n_1+n_2)$.
                 *E(x) = K, donde E(x) es la esperanza matemática de la variable aleatoria "x".
                 *$\delta (x)=\sqrt{2K}$ donde $\delta (x)$ es la desviación típica de "x".