Ecuaciones diferenciales ordinarias/Ecuaciones diferenciales de primer orden/Ecuaciones diferenciales separables

Ecuaciones diferenciales separables

Una ecuación diferencial ordinaria separable es una ecuación diferencial que puede escribirse de la forma

o más brevemente, considerando a $y$ como la función de $x$ dada por $u(x)$, una ecuación diferencial que puede escribirse como

Podemos escribir la ecuación Plantilla:Eqnref como

Puesto que $y$ es una función de $x$, tenemos que $\int \frac{y^{\prime }dx}{h(y)}=\int \frac{dy}{h(y)}$. Por lo tanto, podemos integrar Plantilla:Eqnref para obtener

lo que da lugar a una ecuación que define de manera explícita o implícita la solución de la ecuación diferencial.

En el proceso de solución de una ecuación diferencial separable, puede ser conveniente escribir la ecuación diferencial en forma de diferenciales. Por ejemplo, la ecuación diferencial

se escribe en forma de diferenciales como

El único propósito de esta notación es aclarar que, para obtener la solución de la ecuación diferencial, el lado izquierdo de la ecuación ha de integrarse con respecto a $y$, mientras que el lado derecho de la ecuación ha de integrarse con respecto a $x$..

Plantilla:Teo

Antes de dar más ejemplos de ecuaciones diferenciales separables, es conveniente hacer una aclaración usando en el ejemplo anterior. Aunque las ecuaciones diferenciales separables son relativamente fáciles de resolver (siempre y cuando podamos evaluar las integrales que surjan en el proceso de solución), debemos tomar ciertas precauciones, pues resulta que puede haber más soluciones que las obtenidas por un proceso como el que se hizo en el ejemplo anterior. Es muy fácil darse cuenta que la función dada por

es también una solución de la ecuación diferencial Plantilla:Eqnref que no puede ser obtenida a partir de la solución general $y(x)=-\frac{1}{2x^2+C}$ con ninguna elección de la constante $C$. De hecho, para obtener la solución general fue necesario hacer la restricción de que $y\ne 0$. Así pues, vemos que en el proceso de solución de una ecuación diferencial separable pueden hacerse restricciones que afectan el resultado final. Una solución no obtenible a partir de la solución general es comúnmente llamada solución singular.

Plantilla:Teo