Ecuación de Segundo Grado

Definición

Una Ecuación de Segundo Grado o Cuadrática es toda ecuación de la forma

$a{x}^2+bx+c=0$

donde $a,b,c$ son números reales y $a\ne 0$.

Una ecuación cuadrática representa, gráficamente, a una parábola.

La orientación de la parábola va a depender del signo que tenga el coeficiente $a$.

Los casos son:

Orientación Parabóla

La parábola que representa a una ecuación de segundo grado tiene los siguientes elementos asociados:

Vértice

El vértice es el punto mínimo o máximo de la parábola (dependiendo de la orientación que ésta tenga), y la fórmula para encontrarlo es la siguiente:

$V=(-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a})$

Raíces

Las raíces (o ceros o soluciones) de una parábola son los puntos donde la parábola corta al eje $X$.

La fórmula para encontrar dichos puntos es la siguiente:

$x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

El número $\mathrm{△}=b^2-4ac$ se llama discriminante, y nos indica el número de raíces que va a tener una ecuación de segundo grado.

Hay tres casos:

• Si $\mathrm{△}>0$, hay dos raíces
• Si $\mathrm{△}=0$, hay una raíz
• Si $\mathrm{△}<0$, no hay raíces

Gráficamente, para una parábola asociada a una ecuación del tipo $a{x}^2+bx+c=0$, la situación se ve de la siguiente forma:

Casos $a>0$

Casos $a<0$

Ejemplo

Encontrar el vértice, las raíces y dibujar la gráfica de la parábola asociada a la ecuación cuadrática

$(x-3{)}^2+2x(x-1)=6-2x(2-x)$

Sol: Resolviendo paréntesis, reduciendo términos semejantes y luego agrupando, tenemos que

$\begin{array}{ccc}(x-3{)}^2+2x(x-1)& =& 6-2x(2-x)\\ \to x^2-6x+9+2x^2-2x& =& 6-4x+2x^2\\ \to x^2-4x+3& =& 0\end{array}$

Los coeficientes son los valores $a=1,b=-4,c=3$.

Reemplazando en la fórmulas del vértice tenemos que

$\begin{array}{ccc}V& =& (-\frac{-4}{2(1)},\frac{4(1)(3)-(-4{)}^2}{4(1)})\\ \to V& =& (2,-1)\end{array}$

Para las raíces,

$\begin{array}{ccc}x& =& \frac{-(-4)\pm \sqrt{(-4{)}^2-4(1)(3)}}{2(1)}\\ \to x& =& \frac{4\pm 2}{2(1)}\\ \to x=1& \vee & x=3\end{array}$

Luego, para la parábola asociada a la ecuación $(x-3{)}^2+2x(x-1)=6-2x(2-x)\to x^2-4x+3=0$, el vértice es el punto $(2,-1)$ y las raíces son $x=1,x=3$.

El gráfico es:

$x^2-4x+3=0$

Ejercicios Propuestos de Ecuación de Segundo Grado

Revisar y desarrollar la siguiente lista de Ejercicios Propuestos de Ecuación de Segundo Grado.