Ecuación cuadrática/Completación de cuadrados

Este método se basa en el proceso de transformar la ecuación cuadrática estándar $a{x}^2+bx+c=0$

En la formas

$P(x)={(x+\frac{b}{2})}^2-\frac{b^2}{4}+c$ o $a{(x+\frac{b}{2a})}^2+c-\frac{b^2}{4a}$ Donde a,b son constantes

Procedimiento

Trinomio mónico x² + bx + c

Descripción	Procedimiento Simbólico	Ejemplo
Dado un polinomio de la forma	$P(x)=x^2+bx+c$	$x^2+10x+28$
Sumando y restando el cuadrado del cociente (la división/fracción), del coeficiente de x entre 2	$P(x)=x^2+bx+{\left(\frac{b}{2}\right)}^2-{\left(\frac{b}{2}\right)}^2+c$	$x^2+10x+{\left(\frac{10}{2}\right)}^2-{\left(\frac{10}{2}\right)}^2+28$
Agrupando términos, se obtendrá un trinomio cuadrado perfecto	$P(x)=(x^2+bx+\frac{b^2}{2^2})-\frac{b^2}{2^2}+c$	$(x^2+10x+25)-25+28$
Factorizando (reduciendo) este trinomio a un binomio al cuadrado, el cual se obtuvo: (1) extrayendo la raíz cuadrada del primer término del trinomio ($\surd x^2=x$), que será el término izquierdo del binomio; (2) extrayendo la raíz cuadrada del tercer término del trinomio ($\surd (\frac{b^2}{2^2})=\frac{\surd b^2}{\surd 2^2}=\frac{b}{2}$), que será el término derecho del binomio; (3) usando el signo del segundo término del trinomio ($+bx$) como el signo que separa los términos del nuevo binomio.	$P(x)={(x+\frac{b}{2})}^2-\frac{b^2}{4}+c$	${(x+5)}^2-3$

Observación: con respecto a la expresión resultante ${(x+\frac{b}{2})}^2-\frac{b^2}{4}+c$ puede continuarse simplificado/reduciendo. Un método es elevando al cuadrado ambos miembros, lo cual generará dos resultados, debido a la presencia de una raíz de índice par (en este caso cuadrada).

Así,  $x^2+bx+c={(x+h)}^2+k={(x+\frac{b}{2})}^2+c-\frac{b^2}{4}$, donde $h=\frac{b}{2}$ y $k=c-\frac{b^2}{4}$.

Polinomio de la forma ax² + bx + c

Descripción	Procedimiento Simbólico	Ejemplo
Dado un polinomio de la forma	$a{x}^2+bx+c$	$3x^2+24x+40$
Sacando a a como factor común, de los términos con x	$a(x^2+\frac{b}{a}x)+c$	$3(x^2+8x)+40$
Sumando y restando el cuadrado del cociente, del coeficiente de x entre 2	$a(x^2+\frac{b}{a}x+{\left(\frac{b}{2a}\right)}^2-{\left(\frac{b}{2a}\right)}^2)+c$	$3(x^2+8x+16-16)+40$
Acomodando términos, se obtendrá un trinomio cuadrado perfecto	$a(x^2+\frac{b}{a}x+{\left(\frac{b}{2a}\right)}^2-{\left(\frac{b}{2a}\right)}^2)+c$	$3(x^2+8x+16-16)+40$
Multiplicamos por el factor común a, al término que acabamos de restar, $-{\left(\frac{b}{2a}\right)}^2$, para sacarlo del paréntesis	$a(x^2+\frac{b}{a}x+\frac{b^2}{4a^2})-\frac{a{b}^2}{4a^2}+c$	$3(x^2+8x+16)-48+40$
Quedando dentro del paréntesis el trinomio cuadrado perfecto	$a(x^2+\frac{b}{a}x+\frac{b^2}{4a^2})-\frac{a{b}^2}{4a^2}+c$	$3(x^2+8x+16)-48+40$
Reduciendo este trinomio a un binomio al cuadrado (con los términos x y el coeficiente de x dividido entre 2).	$a{(x+\frac{b}{2a})}^2-\frac{a{b}^2}{4a^2}+c$	$3{(x+4)}^2-48+40$
Simplificando	$a{(x+\frac{b}{2a})}^2+c-\frac{b^2}{4a}$	$3{(x+4)}^2-8$

Así,     $a{x}^2+bx+c=a{(x+h)}^2+k$

donde     $h=\frac{b}{2a}$     y     $k=c-\frac{b^2}{4a}$

Ejemplos

$4x^2+3x-2=0$

1.

$4x^2+3x=2$

2.

$x^2+\frac{3x}{4}=\frac{1}{2}$

3.

$(\frac{3}{\frac{4}{2}})=\frac{3}{8}$