Deducción natural

$p$ proposición

$1$ verdadera

$0$ falsa

$\mathrm{\neg }$ negación

$\wedge$ conjunción 

$\vee$ disyunción inclusiva

$\oplus$ disyunción exclusiva

$\to$ condicional

$\leftrightarrow$ bicondicional

$\equiv$ equivalencia

• Prioridad del operador: (baja) $\leftrightarrow \to \vee \wedge \mathrm{\neg }$ (alta).

$\begin{array}{cccccccccc}p\leftrightarrow q& p\oplus q& p\to q& \mathrm{\neg }(p\to q)& p\vee q& \mathrm{\neg }(p\vee q)& p\wedge q& \mathrm{\neg }(p\wedge q)& p& q\\ 1& 0& 1& 0& 1& 0& 1& 0& 1& 1\\ 0& 1& 0& 1& 1& 0& 0& 1& 1& 0\\ 0& 1& 1& 0& 1& 0& 0& 1& 0& 1\\ 1& 0& 1& 0& 0& 1& 0& 1& 0& 0\\ NXOR& XOR& IMPLY& NIMPLY& OR& NOR& AND& NAND& p& q\end{array}$

• Entre dos operaciones idénticas la operación de la derecha es prioritaria.

• La conjunción, la disyunción y el bicondicional tienen la propiedad conmutativa y asociativa.

Reglas de deducción natural

1. /Reglas primitivas/
   1. /Introducción/
   2. /Eliminación/
2. /Reglas derivadas/
3. /Deducción de algunas reglas derivadas/
   1. /Carga de premisa/

$p\to p$ principio de identidad

$p\leftrightarrow p$ principio de identidad

$\mathrm{\neg }(p\wedge \mathrm{\neg }p)$ principio de no contradicción

$p\vee \mathrm{\neg }p$ principio de exclusión de tercero

$\mathrm{\neg }\mathrm{\neg }p\leftrightarrow p$ principio de doble negación 

$\mathrm{\neg }\mathrm{\neg }\mathrm{\neg }p\leftrightarrow \mathrm{\neg }p$ principio de triple negación

$p\wedge p\leftrightarrow p$ ley de idempotencia de la conjunción

$p\vee p\leftrightarrow p$ ley de idempotencia de la disyunción

$p\wedge q\leftrightarrow q\wedge p$ ley conmutativa de la conjunción

$p\vee q\leftrightarrow q\vee p$ ley conmutativa de la disyunción

$(p\leftrightarrow q)\leftrightarrow (q\leftrightarrow p)$ ley conmutativa del bicondicional

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