Curso de física estadística/Colectividad macrocanónica/Partículas idénticas

Aunque no podamos obtener la función de partición canónica

$Z_N(T,V,N)=\sum _{\{n_{\alpha }\}}{e}^{-\beta E(\{n_{\alpha }\})},\sum n_{\alpha }=N$

si podemos obtener la macrocanónica.

$\begin{array}{cc}\mathrm{\Theta }(z,V,\mu )& =\sum _{N=0}^{\mathrm{\infty }}{z}^N{𝒵}_N(T,V,N),\sum n_{\alpha }=N\\ & =\sum _{N=0}^{\mathrm{\infty }}{e}^{\beta \mu N}\sum _{\{n_{\alpha }\}}{e}^{-\beta E(\{n_{\alpha }\})},\sum n_{\alpha }=N\\ & =\sum _{N=0}^{\mathrm{\infty }}\sum _{\{n_{\alpha }\}}{e}^{\beta (\mu N-E(\{n_{\alpha }\}))},\sum n_{\alpha }=N\\ & =\sum _{N=0}^{\mathrm{\infty }}\sum _{\{n_{\alpha }\}}{e}^{\beta (\mu \sum _{\alpha }{n}_{\alpha }-\sum _{\alpha }{ϵ}_{\alpha })},\sum n_{\alpha }=N\end{array}$

donde las $\alpha$ hacen referencia a los estados energéticos. $n_{\alpha }$ es el número de ocupación de un nivel energético, que dice cuántas partículas se encuentran en un determinado nivel energético y $\{n_{\alpha }\}$ es el conjunto que contiene todos los números de ocupación (usado para hacer referencia a una dependencia genérica con los niveles de ocupación de todos los estados energéticos).

$\begin{array}{cc}\mathrm{\Theta }(z,V,\mu )& =\sum _{N=0}^{\mathrm{\infty }}\sum _{\{n_{\alpha }\}}{e}^{\beta \sum _{\alpha }{n}_{\alpha }(\mu -{ϵ}_{\alpha })},\sum n_{\alpha }=N\\ & =\sum _{N=0}^{\mathrm{\infty }}\sum _{\{n_{\alpha }\}}\delta (N-\sum _{\alpha }{n}_{\alpha })e^{\beta \sum _{\alpha }{n}_{\alpha }(\mu -{ϵ}_{\alpha })},\sum n_{\alpha }=N\\ & =\sum _{N=0}^{\mathrm{\infty }}\sum _{\{n_{\alpha }\}}\delta (N-\sum _{\alpha }{n}_{\alpha })e^{\beta \sum _{\alpha }{n}_{\alpha }(\mu -{ϵ}_{\alpha })}\\ & =\sum _{\{n_{\alpha }\}}\sum _{N=0}^{\mathrm{\infty }}\delta (N-\sum _{\alpha }{n}_{\alpha })e^{\beta \sum _{a}lpha{n}_{\alpha }(\mu -{ϵ}_{\alpha })}\\ & =\sum _{\{n_{\alpha }\}}{e}^{\beta \sum _{n_{\alpha }}{n}_{\alpha }(\mu -{ϵ}_{\alpha })}\\ & =\sum _{\{n_{\alpha }\}}\prod _{\alpha }{e}^{\beta n_{\alpha }(\mu -{ϵ}_{\alpha })}\end{array}$

Y obtenemos finalmente que

$\mathrm{\Theta }(z,V,\mu )=\prod _{\alpha }\sum _{\{n_{\alpha }\}}{e}^{\beta n_{\alpha }(\mu -{ϵ}_{\alpha })}$

En el caso de fermiones, los niveles de ocupación pueden valer 0 o 1.

$\begin{array}{cc}{\mathrm{\Theta }}_F(z,V,\mu )& =\prod _{\alpha }\sum _{\{n_{\alpha }=0,1\}}{e}^{\beta n_{\alpha }(\mu -{ϵ}_{\alpha })}\\ & =\prod _{\alpha }[1+e^{\beta (\mu -{ϵ}_{\alpha })}]\end{array}$

En el caso de bosones, los niveles de ocupación pueden tomar cualquier valor. Podemos calcular la sumatoria con la serie geométrica si $e^{\beta (\mu -{ϵ}_{\alpha })}<1$:

$\begin{array}{cc}{\mathrm{\Theta }}_B(z,V,\mu )& =\prod _{\alpha }\sum _{n_{\alpha }=0}^{\mathrm{\infty }}{e}^{\beta n_{\alpha }(\mu -{ϵ}_{\alpha })}\\ & =\prod _{\alpha }\left[\frac{1}{1-e^{\beta (\mu -{ϵ}_{\alpha })}}\right].\end{array}$

Podemos reunir los resultados en la forma compacta