Conjuntos numéricos/La Axiomática de Peano

Conjuntos ordinales

Conjuntos transitivos

Definición:

Diremos que un conjunto $A$ es transitivo si cada elemento de cada elemento de $A$ es a su vez un elemento de $A$. Es decir, si se cumple que cualesquiera que sean el $x\in A$ y el $y\in x$, entonces $y\in A$.

Proposición

Un conjunto $A$ es transitivo si y sólo si $B\in A\Rightarrow B\subset A$.

Demostración:

Supongamos que $A$ es un conjunto transitivo, es decir, que cualesquiera que sean $x\in A$ e $y\in x$, se tiene que $y\in A$. Así, por definición de subconjunto, $x\subset A$.

Recíprocamente, supongamos que $A$ es un conjunto de manera que si $x\in A$, entonces $x\subset A$. Sea $x\in A$. Si $x=\varnothing$, entonces es ya automáticamente $x\subset A$. Sea pues $x\ne \varnothing$, y sea $y\in x\subset A$. Luego $y\in A$. Así pues, $A$ es transitivo.

Q.E.D.

Proposición

Si $A$ es un conjunto transitivo, su sucesor $A^{+}$ es también un conjunto transitivo.

Demostración:

Sea $x\in A^{+}=A\cup \{A\}$. Entonces, o es $x=A$, o es $x\in A$. Sea $y\in x$. En el caso en que $x=A$, entonces es $y\in A$, luego $y\in A\cup \{A\}=A^{+}$. En el caso en que $x\in A$, como $A$ es transitivo, entonces $y\in A$, luego $y\in A\cup \{A\}=A^{+}$.

En cualquier caso, queda demostrado que $A^{+}$ es de nuevo transitivo.

Q.E.D.

Ordinales

Definición:

Diremos que un conjunto transitivo $A$ es un ordinal si la relación $\sim \in 𝒫(A\times A)$ definida por $x\sim y$ si y sólo si $x=y$ o $x\in y$ es un buen orden en $A$.

Proposición

El sucesor de todo ordinal es un ordinal.

Demostración:

Un conjunto es un ordinal si es transitivo y está bien ordenado por la relación $\sim$. Ya hemos demostrado que el sucesor de todo conjunto transitivo es transitivo. Falta demostrar que el sucesor de un ordinal también está bien ordenado por la relación $\sim$.

Sea $A$ un ordinal. Consideremos su sucesor $A^{+}=A\cup \{A\}$. Para demostrar que $\sim$ es un buen orden en $A^{+}$ hemos de demostrar primero que es efectivamente un orden:

Sea $c\in A^{+}$. Como $c=c$, entonces es $c\sim c$, y la relación $\sim$ es reflexiva en $A^{+}$.

Sean $b,c\in A^{+}$ de forma que $b\sim c$ y que $c\sim b$. Tenemos las siguientes posibilidades:

• $b,c\in A$: como $A$ es un ordinal, está bien ordenado por $\sim$, luego en particular $\sim$ es un orden en $A$, y es antisimétrica. Es decir, como $b,c\in A$ y además $b\sim c$ y $c\sim b$, entonces $b=c$.
• $b\in A$ y $c=A$:

Como $c\sim b$, tenemos estas dos opciones:

• Si $c\in b$: $A$ es transitivo, y $c=A$, con lo que $c$ es transitivo. Ahora bien, $c\in b$, $b\in c$ y $c$ transitivo implican que $c\in c$, contradicción. Luego no puede ser que $c\in b$ (o sea, este caso no se puede dar).
• Si $c=b$, entonces como $b=c$ y $b\in c$, sería $b\in b$, contradicción (o sea, que este caso tampoco se puede dar).

Esto prueba que no es posible que ocurran a la vez $b\sim c$, $c\sim b$, $b\in A$ y $c=A$. Este caso, entonces, nunca se da.

• $c\in A$ y $b=A$: obviamente llegamos a la misma contradicción que en el caso anterior (o sea, este caso tampoco se puede dar).
• $b=A$ y $c=A$: entonces es $b=c$.

Con lo cual hemos demostrado que la relación $\sim$ es antisimétrica.

Sean $b,c,d\in A^{+}$ de forma que $b\sim c$ y que $c\sim d$. Tenemos las siguientes posibilidades:

• $b=c$ y $c=d$: entonces es $b=d$, esto es, $b\sim d$.
• $b\in c$ y $c=d$: entonces es $b\in d$, esto es, $b\sim d$.
• $b=c$ y $c\in d$: entonces es $b\in d$, esto es, $b\sim d$.
• $b\in c$ y $c\in d$:

• Si $d=A$, es entonces $d$ transitivo. Como $b\in c$, $c\in d$ y $d$ es transitivo, entonces es $b\in d$, esto es, $b\sim d$.
• Si $d\in A$, tenemos los siguientes casos:

• $b=A$: tenemos que $c\in d$, $d\in A$ y $A$ es transitivo, luego $c\in A$. Como $b=A$, $b\in c$, $c\in A$ y $A$ es transitivo, concluimos que $b\in A$, i.e., $A\in A$. Contradicción. Así que este caso no se puede dar.
• $c=A$: tendríamos que $d\in A$, $c\in d$ y $A$ transitivo, luego sería $c\in A$. Pero $c=A$, luego resultaría $A\in A$, contradicción. Este caso tampoco es posible, y por lo tanto nunca se da.
• $b\in c$, $c\in d$ y $b,c,d\in A$. Entonces es $b\sim c$, $c\sim d$, y como $A$ es ordinal, $\sim$ es relación de orden en $A$, luego es transitiva, y al ser $b,c,d\in A$, concluimos que $b\sim d$.

Así, $\sim$ es relación transitiva en $A^{+}$, y por todo lo anterior es $(A^{+},\sim )$ un conjunto ordenado.

Ahora resta por comprobar que $\sim$ es un buen orden en $A^{+}$, es decir, que todo subconjunto no vacío de $A^{+}$ tiene elemento mínimo según la relación $\sim$.

Sea pues $B\subset A^{+}$ con $B\ne \varnothing$. Si $B=\{A\}$, entonces $A$ es elemento mínimo de $B$. Supongamos que $A\notin B$. Entonces $B\subset A^{+}\mathrm{\setminus }\{A\}=A\cup \{A\}\mathrm{\setminus }\{A\}=A$ y $B\ne \varnothing$. Entonces $B$ tiene primer elemento para la relación $\sim$ en $A$, y por la propia definición de $\sim$, es claro que es también primer elemento para la relación $\sim$ en $A^{+}$. Por último, si $A\in B$ y $B\ne \{A\}$, entonces $B^{\prime }:=B\mathrm{\setminus }\{A\}\ne \varnothing$ y $B^{\prime }\subset A^{+}\mathrm{\setminus }\{A\}=A\cup \{A\}\mathrm{\setminus }\{A\}=A$. Así, existe un $b\in B^{\prime }\subset B$ de forma que $b$ es elemento mínimo de $B^{\prime }$. Como $B^{\prime }\subset A$, entonces es $b\in A$, luego $b\sim A$, y es $b$ elemento mínimo de $B^{\prime }\cup \{A\}=B$.

Q.E.D.

Ejemplos de ordinales.

La proposición anterior nos dota de una herramienta para construir ordinales. en efecto, es inmediato comprobar que $\varnothing$ es un ordinal. Por la proposición anterior, ${\varnothing }^{+}=\varnothing \cup \{\varnothing \}=\{\varnothing \}$ es también un ordinal. Así, calculando sucesivamente los sucesores de cada ordinal obtenido, obtenemos que son también ordinales: $\{\varnothing ,\{\varnothing \}\}$, $\{\varnothing ,\{\varnothing \},\{\varnothing ,\{\varnothing \}\}\}$,...

Definición

Diremos que un conjunto $x$ es un ordinal sucesor si existe un conjunto $y$ de forma que $y$ sea un ordinal y que $x=y^{+}$.

Diremos que un conjunto ordinal $\alpha$ es un número natural si se cumple que para cada $\beta \subset \alpha$, o bien es $\beta =\varnothing$ o bien es $\beta$ es un ordinal sucesor.