Conjuntos numéricos/Axiomática de la Teoría de Conjuntos/Esquema Axiomático de Separación

El Esquema Axiomático de Separación dice que "si $a$ es un conjunto y $\mathcal{(}P)$ es una propiedad relativa a conjuntos, entonces existe un conjunto $b$ de manera que $c\in b$ si y sólo si $c\in a$ y $c$ verifica $\mathcal{(}P)$".

Es decir, dado un conjunto y una propiedad relativa a conjuntos, podemos pues obtener el subconjunto de los elementos que verifican esa propiedad.

Consecuencias

Conjunto vacío

Tomemos un conjunto $a$. Podemos considerar entonces el conjunto de los conjuntos $c\in a$ que verifican la propiedad $𝒫$ que dice que "$c\ne c$", es decir, los elementos de $a$ que son distintos de sí mismos. En virtud del Esquema Axiomático de Separación, este conjunto existe. Denotemos a este conjunto por $A$. Supongamos que existe algún $x\in A$. Entonces es $x\in a$ y $x$ verifica $𝒫$. Es decir, $x\in a$ y $x\ne x$. Según sabemos, $x\ne x$ es la negación de $x=x$, que por el Axioma de Extensión es la negación de que $y\in x\iff y\in x$. Es decir, por la negación de la doble implicación, o bien existe un $y\in x$ tal que $y\notin x$, o bien existe un $y\in x$ tal que $y\notin x$. En cualquier caso tenemos que existiría algún $y\in x$ de forma que $y\notin x$, lo cual es una contradicción. Así pues, nuestra suposición de que existía algún conjunto $x\in A$ es falsa. Concluimos que este conjunto no contiene elemento alguno, razón por la cual lo denomiamos conjunto vacío.

¿Qué ocurre si tomamos otro conjunto $b\ne a$ de partida? Sean los conjuntos $A:=\{c\in a:c\ne c\}$ y $B:=\{d\in b:d\ne d\}$. Si fuese $A\ne B$, en virtud del Axioma de Extensión, debería haber un $c\in A$ tal que $c\notin B$, o bien un $d\in B$ tal que $d\notin A$. En el primer caso, existiría entonces un $c\in a$ de manera que $c\ne c$, pero ya hemos visto que no existe ningún conjunto así. Luego no existe ningún $c\in A$ de manera que $c\notin B$. De manera totalmente análoga se demuestra que no existe ningún $d\in B$ de forma que $d\notin A$. Esto demuestra que $e\in A$ si y sólo si $e\in B$, luego ha de ser $A=B$. Queda demostrado que el conjunto vacío no depende del conjunto $a$ que tomemos para construirlo, luego podemos decir que existe un único conjunto vacío, al que denotaremos por $\varnothing$.

Intersección de conjuntos

Sea $a$ un conjunto no vacío cualquiera, y sea $b\in a$. Podemos considerar la propiedad de conjuntos "pertenecer a cada uno de los elementos de $a$". Entonces $c$ cumplirá esta propiedad si $c$ es un conjunto que pertenece a $d$, cualquiera que sea el $d\in a$, lo cual se expresa así: $c:d\in a\Rightarrow c\in d$. Así, definimos la intersección de la familia de conjuntos $a$ como $\cap a:=\{c\in b:d\in a\Rightarrow c\in d\}$.

Es importante señalar que no podemos prescindir de tomar un conjunto $b\in a$ de partida, porque de otra manera no podemos aplicar el Esqema Axiomático de Separación a nuestra propiedad. Pero el conjunto $\cap a$ no depende del conjunto $b\in a$ que tomemos de partida. En efecto, sean $b,b^{\prime }\in a$ con $b\ne b^{\prime }$. Consideremos el conjunto $B:=\{c\in b:d\in a\Rightarrow c\in d\}$ y el conjunto $B^{\prime }:=\{c\in b^{\prime }:d\in a\Rightarrow c\in d\}$. Si $c\in B$, tenemos que $c\in d$, cualquiera que sea el $d\in a$. En particular, como $b^{\prime }\in a$, se cumple que ha de ser $c\in b^{\prime }$, pero como además $d\in a\Rightarrow c\in d$, se cumple que $c\in B^{\prime }$. Es decir, $B\subset B^{\prime }$. De manera análoga se cumple que $B^{\prime }\subset B$, y de ahí se obtiene que $B=B^{\prime }$, es decir, la intersección de la familia de conjuntos $a$ no depende del conjunto $b$ que tomemos de partida.