Conjuntos numéricos/Axiomática de la Teoría de Conjuntos/Axioma de las Partes

El enunciado del axioma de las partes dice: dado un conjunto $a$, existe un conjunto $b$ de forma que si $c\subset a$ entonces $c\in b$.

Ahora usamos el Esquema Axiomático de Separación y creamos el conjunto $𝒫(a):=\{c\in b:c\subset a\}$. Como en las otras ocasiones, este conjunto es independiente del conjunto $b$:

Sean $b,b^{\prime }$ conjuntos con las condiciones que afirma el enunciado del Axioma de las Partes, es decir, de manera que si $c\subset a$, entonces $c\in b$, y si $c\subset a$, entonces $c\in b^{\prime }$. Consideremos $B:=\{c\in b:c\subset a\}$, y $B^{\prime }:=\{c\in b^{\prime }:c\subset a\}$. Supongamos ahora que $x\in B^{\prime }$. Entonces es $x\in b^{\prime }$ y $x\subset a$. Pero si $x\subset a$ entonces $x\in b$ (ya que $b$ lo hemos tomado de esa manera), luego es $x\in b$ y $x\subset a$, es decir, $x\in B$. Esto prueba que $B^{\prime }\subset B$. La otra inclusión se demuestra de la misma manera.