Conjuntos numéricos/Axiomática de la Teoría de Conjuntos/Axioma de la Unión

El Axioma de la Unión nos dice lo siguiente: dado un conjunto $a$, existe un conjunto $b$ de manera que si $c\in a$ y $d\in c$, entonces $d\in b$.

Consideremos ahora el conjunto $B:=\{d\in b:\mathrm{\exists }c\in a|d\in c\}$. Si existiera otro conjunto $b^{\prime }$ con la propiedad que dice el axioma (es decir, tal que si $c\in a$ y $d\in c$, entonces $d\in b^{\prime }$), podríamos construir el conjunto $B^{\prime }:=\{d\in b^{\prime }:\mathrm{\exists }c\in a|d\in c\}$.

Si $d\in B$, entonces $d\in b$ y además existe un $c\in a$ de manera que $d\in c$. Pero por el Axioma de la Unión, eso significa que $d\in b^{\prime }$, y como además existe $c\in a$ tal que $d\in c$, concluimos que $d\in B^{\prime }$. Hemos demostrado que $B\subset B^{\prime }$. De manera análoga se demuestra que $B^{\prime }\subset B$, con lo que resulta ser $B=B^{\prime }$, y el conjunto $B$ entonces es único. Denominamos unión de los elementos de $a$ al conjunto $\cup a:=\{d\in b:\mathrm{\exists }c\in a|d\in c\}$.