Aritmética/Operaciones con Números Naturales/Division de Números Naturales

Definición

Es la operación inversa a la multiplicación y es una distribución de un elemento a otro, y sus símbolos son $÷$,$/$,$:$ y su representaciónes son:

$D÷d$

$\frac{D}{d}$

$D:d$

Y la forma de su resultado es:

$\frac{D}{d}=c+r$

Los términos que intervienen en un división se llaman, D, dividendo y d divisor. Al resultado, c, lo llamamos cociente, y al elemento r se le considera residuo.

Algoritmos para la división

Ejemplo de una división.

Hasta el siglo XVI fue muy común el algoritmo de la división por galera, muy similar a la división larga y a la postre (sustituido por ésta como método predilecto de división). El proceso usual de división (división larga) suele representarse bajo el diagrama:

		$\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{c}\mathrm{i}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{e}$
$\mathrm{D}\mathrm{i}\mathrm{v}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{o}\mathrm{r}$		$\mathrm{D}\mathrm{i}\mathrm{v}\mathrm{i}\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{d}\mathrm{o}$
		$\mathrm{R}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{o}$

También se usa un diagrama equivalente con la línea debajo del dividendo

$\mathrm{D}\mathrm{i}\mathrm{v}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{o}\mathrm{r}$		$\mathrm{D}\mathrm{i}\mathrm{v}\mathrm{i}\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{d}\mathrm{o}$
${}_{\mathrm{(}\mathrm{o}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{i}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{)}}$		$\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{c}\mathrm{i}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{e}$
$\mathrm{R}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{o}$

Y también se usa otro diagrama equivalente

$\mathrm{D}\mathrm{i}\mathrm{v}\mathrm{i}\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{d}\mathrm{o}$		$\mathrm{D}\mathrm{i}\mathrm{v}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{o}\mathrm{r}$
${}_{\mathrm{(}\mathrm{o}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{i}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{)}}$		$\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{c}\mathrm{i}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{e}$
$\mathrm{R}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{o}$

Otro método consiste en la utilización de una «tabla elemental», similar a las tablas de multiplicar, con los resultados preestablecidos.

División por Galera

El método de la galera, aunque más complejo, es similar al método moderno de la división larga. El cociente se construye por la derecha, y los minuendos y sustraendos de forma escalonada, por arriba y por debajo del dividendo, formando un diseño particular a medida que la división se expande.

• Ejemplo, división de 44977 entre 382.

A)        67         (Multiplicación: 1x382)  
   382 | 44977 | 1       (Resta: 449-382) 
         382 
   

B)        29        (Resta: 677-382)
          675        
   382 | 44977 | 11
         3822         
          38 
     

C)        28      Residuo: 283 
          293          
          675    
   382 | 44977 | 117 (cociente)
         38224        
          387  
          26   

• Ejemplo, división de 65284 entre 594.

A)        58       (1x594) 
   594 | 65284 | 1 
         594 
   

B)         5     (Resta: 652-594)   
          588       
   594 | 65284 | 10 
         5944 
          59 
     

C)         5     (Resta:5884-5346)  
          588        
   594 | 62584 | 109 
         59444 
          599 
           5 

D)        15          Residuo: 538 
          533  
         58878       
   594 | 65284 | 109 (cociente) 
         59444    
          599
           5

División Larga

En los países anglófonos, pero también en México, y Japón, el dividendo se escribe a la derecha del divisor, el cociente se escribe encima del dividendo y los sucesivos residuos se construyen por debajo.

A su vez, existen dos variantes de esta notación según si se escriben explícitamente o no las multiplicaciones sucesivas.

Variante larga

Esta variante es la comúnmente utilizada en Estados Unidos. En ella se anotan las multiplicaciones sucesivas.

		$\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{c}\mathrm{i}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{e}$
$\mathrm{D}\mathrm{i}\mathrm{v}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{o}\mathrm{r}$		$\mathrm{D}\mathrm{i}\mathrm{v}\mathrm{i}\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{d}\mathrm{o}$
		$\mathrm{R}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{o}$

Ejemplo : División de 500 por 4.

     125      (Detalles)
   4)500
     4        (4 ×  1 = 4)
     10       (5 -  4 = 1)
      8       (4 ×  2 = 8)
      20     (10 -  8 = 2)
      20      (4 ×  5 = 20)
       0     (20 - 20 = 0)

Resultado : En la división de 500 por 4 el cociente es 125 y el resto 0.

Variante corta

En esta variante, se omite la escritura explícita de las multiplicaciones sucesivas.

     125     (Detalles)
   4)500
     10       (5 -  4 = 1)
      20     (10 -  8 = 2)
       0     (20 - 20 = 0)

Tipos de Divisíón

División exacta

Es aquella donde el residuo sea igual a cero (r = 0)

15 = 5 · 3

División entera o inexacta

Es donde el residuo es mayor a cero (r > 0)

17 = 5 · 3 + 2

Propiedades de la división

1. No es una operación interna

2 : 6 pertenece Números naturales

2. No es Conmutativo.

6 : 2 ≠ 2 : 6

3. Cero dividido entre cualquier número da cero.

0 : 5 = 0

4. No se puede dividir por 0.

a : 0 = Ø el vació