1.1. Espacios topológicos

Sea $X$ un espacio topológico y $x \in X$ . Un subconjunto $U \subset X$ se dice un entorno abierto de $x$ si $U$ es abierto y $x \in U$ . Un conjunto $U \subset X$ es un entorno de $x$ si éste contiene un entorno abierto de $x$ .

Decimos que un espacio topológico $X$ es de Hausdorff, o que es separado, si para cualesquiera $x, y \in X$ , existen entornos $U$ y $V$ de $x$ y $y$ , respectivamente, tales que $U \cap V = \emptyset$ .

A partir de este punto, asumiremos que todos los espacios topológicos de los que hablemos son espacios de Hausdorff.

Sea $X$ un espacio topológico y $x$ un punto de $X$ . Una familia $𝒰$ de subconjuntos de $X$ es una base de entornos de $x$ si todos los conjuntos de $𝒰$ son entornos de $x$ y, para todo entorno $U$ de $x$ , existe un entorno $V$ de $𝒰$ contenido en $U$ y que contiene a $x$ .

Es posible definir una topología localmente, partiendo de bases de entornos abiertos de cada punto de un conjunto $X$ . Con más detalle, supongamos que para cada punto $x$ de $X$ , existe una familia de conjuntos no vacíos $𝒰_{x}$ con las propiedades siguientes:

Si $U \in 𝒰_{x}$ , entonces $x \in U$ .
Si $U_{1}, U_{2} \in 𝒰_{x}$ , existe un $U_{3} \in 𝒰_{x}$ tal que $U_{3} \subset U_{1} \cap U_{2}$ .
Si $U \in 𝒰_{x}$ y $y \in U$ , existe un $V \in 𝒰_{y}$ tal que $V \subset U$ .

Entonces existe una única topología en $X$ para la cual las familias $𝒰_{x}$ son bases de entornos de cada punto $x \in X$ . Esta topología viene dada de la siguiente manera: se define un punto $x$ como interior del conjunto $A$ si existe un entorno $U \in 𝒰_{x}$ contenido en $A$ . Luego se establece que $A$ es abierto si y sólo si todos sus puntos son interiores. Dicho de otro modo, $A$ es abierto si y sólo si es un entorno de cada uno de sus puntos.

Sea $S$ un espacio topológico y $S \subset X$ . Decimos que $S$ es cerrado si su complemento $X ∖ S$ es abierto. En virtud de las identidades de De Morgan, la intersección de cualquier familia de cerrados es cerrada, mientras que la unión de un número finito de cerrados es cerrada. Por supuesto, $X$ y $\emptyset$ son siempre abiertos a la vez que cerrados.

La clausura de $S \subset X$ se define como el menor de los conjuntos cerrados que contienen a $S$ . Equivalentemente, la clausura de $S$ es la intersección de todos los conjuntos cerrados que contienen a $S$ . A dicho conjunto lo representaremos por $\overline{S}$ .

Un punto de $x$ es un punto de acumulación de $S$ si todo entorno de $x$ contiene al menos un punto de $S$ que no sea $x$ mismo. Al conjunto de todos los puntos de acumulación de $S$ lo representamos por $S^{'}$ , y lo llamamos conjunto derivado de $S$ . Tenemos que $\overline{S} = S \cup S^{'}$ .

Sea $(x_{n})$ una sucesión de puntos de un espacio topológico $X$ . Decimos que $(x_{n})$ converge a un punto $x \in X$ , o que $x$ es el límite de $(x_{n})$ , si para todo entorno $U$ de $x$ existe un número natural $N$ tal que $n \geq N$ implica $x_{n} \in U$ , o sea, cuando $U$ contiene a todos los términos de la sucesión a partir de cierto punto. Para indicar que $(x_{n})$ converge a $x$ escribiremos $\lim_{n \to \infty} x_{n} = x$ , o también $x_{n} \to x$ .

Una aplicación (o sea, una función) $f : X ⟶ Y$ de espacios topologicos es continua si, para todo abierto $B$ de $Y$ , la imágen recíproca (o preimagen) $f^{- 1} (B)$ es un abierto de $X$ . Equivalentemente, $f$ es continua si para todo punto $x \in X$ y todo entorno $U$ de $f (x)$ existe un entorno $V$ de $x$ tal que $f (V) \subset U$ . Si $f : X ⟶ Y$ es biyectiva y $f$ y $f^{- 1}$ son ambas continuas, decimos que $f$ es un homeomorfismo.

Sea $S$ un subconjunto de un espacio topológico $X$ . Si $A \subset S$ y declaramos que $A$ es un abierto de $S$ si es la intersección de un abierto de $X$ y $S$ , entonces estos abiertos forman una topología en $S$ , que llamamos la topología inducida de $S$ . Con dicha topología, hablamos de $S$ como un subespacio del espacio topológico $X$ .