Análisis funcional/Preliminares de topología

1.1. Espacios topológicos

Definición 1.1 Sea $X$ un conjunto. Una topología sobre $X$ es un conjunto $𝒯$ de subconjuntos de $X$ que verifica las propiedades siguientes:

1. El conjunto vacío y el propio conjunto $X$ son elementos de $𝒯$.
2. La unión de toda familia de conjuntos de $𝒯$ es un conjunto de $𝒯$.
3. La intersección de toda familia finita de conjuntos de $𝒯$ es un conjunto de $𝒯$.

Un espacio topológico es un par $(X,𝒯)$ con $𝒯$ una topología sobre el conjunto $X$. Cuando digamos que $X$ es un espacio topológico, entenderemos que lo es junto con cierta topología que no es necesario mencionar explícitamente. Si $𝒯$ es una topología sobre $X$, los elementos de $𝒯$ se dicen abiertos de $X$ en la topología $𝒯$, o simplemente abiertos cuando está claro cuál topología se está considerando. Por lo regular nos referiremos a los elementos de $X$ como puntos de $X$.

Ejemplo 1.2 Si $X$ es un conjunto cualquiera, entonces el conjunto potencia de $X$, $P(X)$, es claramente una topología de $X$, la cual recibe el nombre de toplogía discreta en $X$. En esta topología, tenemos que todo subconjunto de $X$ es un abierto.

Ejemplo 1.3 El conjunto formado por todas las uniones de intervalos abiertos de $ℝ$ es una topología sobre $ℝ$. Nos referiremos a esta topología como la topología usual sobre $ℝ$. Cuando hablemos del espacio topológico $ℝ$, se entenderá que nos referimos a $ℝ$ dotado de esa topología.

Sea $X$ un espacio topológico y $x\in X$. Un subconjunto $U\subset X$ se dice un entorno abierto de $x$ si $U$ es abierto y $x\in U$. Un conjunto $U\subset X$ es un entorno de $x$ si éste contiene un entorno abierto de $x$.

Decimos que un espacio topológico $X$ es de Hausdorff, o que es separado, si para cualesquiera $x,y\in X$, existen entornos $U$ y $V$ de $x$ y $y$, respectivamente, tales que $U\cap V=\varnothing$.

A partir de este punto, asumiremos que todos los espacios topológicos de los que hablemos son espacios de Hausdorff.

Sea $X$ un espacio topológico y $x$ un punto de $X$. Una familia $𝒰$ de subconjuntos de $X$ es una base de entornos de $x$ si todos los conjuntos de $𝒰$ son entornos de $x$ y, para todo entorno $U$ de $x$, existe un entorno $V$ de $𝒰$ contenido en $U$ y que contiene a $x$.

Es posible definir una topología localmente, partiendo de bases de entornos abiertos de cada punto de un conjunto $X$. Con más detalle, supongamos que para cada punto $x$ de $X$, existe una familia de conjuntos no vacíos ${𝒰}_x$ con las propiedades siguientes:

1. Si $U\in {𝒰}_x$, entonces $x\in U$.
2. Si $U_1,U_2\in {𝒰}_x$, existe un $U_3\in {𝒰}_x$ tal que $U_3\subset U_1\cap U_2$.
3. Si $U\in {𝒰}_x$ y $y\in U$, existe un $V\in {𝒰}_y$ tal que $V\subset U$.

Entonces existe una única topología en $X$ para la cual las familias ${𝒰}_x$ son bases de entornos de cada punto $x\in X$. Esta topología viene dada de la siguiente manera: se define un punto $x$ como interior del conjunto $A$ si existe un entorno $U\in {𝒰}_x$ contenido en $A$. Luego se establece que $A$ es abierto si y sólo si todos sus puntos son interiores. Dicho de otro modo, $A$ es abierto si y sólo si es un entorno de cada uno de sus puntos.

Sea $S$ un espacio topológico y $S\subset X$. Decimos que $S$ es cerrado si su complemento $X\setminus S$ es abierto. En virtud de las identidades de De Morgan, la intersección de cualquier familia de cerrados es cerrada, mientras que la unión de un número finito de cerrados es cerrada. Por supuesto, $X$ y $\varnothing$ son siempre abiertos a la vez que cerrados.

La clausura de $S\subset X$ se define como el menor de los conjuntos cerrados que contienen a $S$. Equivalentemente, la clausura de $S$ es la intersección de todos los conjuntos cerrados que contienen a $S$. A dicho conjunto lo representaremos por $\bar{S}$.

Un punto de $x$ es un punto de acumulación de $S$ si todo entorno de $x$ contiene al menos un punto de $S$ que no sea $x$ mismo. Al conjunto de todos los puntos de acumulación de $S$ lo representamos por $S^{\prime }$, y lo llamamos conjunto derivado de $S$. Tenemos que $\bar{S}=S\cup S^{\prime }$.

Sea $(x_n)$ una sucesión de puntos de un espacio topológico $X$. Decimos que $(x_n)$ converge a un punto $x\in X$, o que $x$ es el límite de $(x_n)$, si para todo entorno $U$ de $x$ existe un número natural $N$ tal que $n\ge N$ implica $x_n\in U$, o sea, cuando $U$ contiene a todos los términos de la sucesión a partir de cierto punto. Para indicar que $(x_n)$ converge a $x$ escribiremos $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}_n=x$, o también $x_n\to x$.

Una aplicación (o sea, una función) $f:X⟶Y$ de espacios topologicos es continua si, para todo abierto $B$ de $Y$, la imágen recíproca (o preimagen) $f^{-1}(B)$ es un abierto de $X$. Equivalentemente, $f$ es continua si para todo punto $x\in X$ y todo entorno $U$ de $f(x)$ existe un entorno $V$ de $x$ tal que $f(V)\subset U$. Si $f:X⟶Y$ es biyectiva y $f$ y $f^{-1}$ son ambas continuas, decimos que $f$ es un homeomorfismo.

Sea $S$ un subconjunto de un espacio topológico $X$. Si $A\subset S$ y declaramos que $A$ es un abierto de $S$ si es la intersección de un abierto de $X$ y $S$, entonces estos abiertos forman una topología en $S$, que llamamos la topología inducida de $S$. Con dicha topología, hablamos de $S$ como un subespacio del espacio topológico $X$.

Ejemplo 1.4 Sea $ℝ$ el conjunto de los números reales con la topología usual. El conjunto de números enteros $\mathbb{Z}$ es un subespacio de $ℝ$. La topología inducida en $\mathbb{Z}$ es la topología discreta.

1.2. Compacidad

Definición 1.5 Sea $X$ un espacio topológico y $S$ un subconjunto de $X$. Decimos que una familia de abiertos $𝒰$ es un cubrimiento de $S$ si $S\subset \bigcup 𝒰$. Decimos que $S\subset X$ es compacto cuando de cualquier cubrimiento $𝒰$ de $S$ podemos extraer una colección de abiertos finita $𝒱$ que es también un cubrimiento de $S$.

Proposición 1.6 En un espacio Hausdorff, todos los conjuntos compactos son cerrados, y los subconjuntos cerrados de un conjunto compacto son compactos.