Álgebra/Capítulos a reubicar/Razones Trigonométricas

Definición

Trigonometría es la medición de los triángulos, y en este capítulo estudiaremos las razones trigonométricas seno, coseno, tangante, cotangente, secante y cosecante.

Funciones Trigonométricas en el Triángulo Rectángulo

En el triángulo rectángulo en $C$ de la figura

Triángulo Rectángulo en C

(donde $a$ y $b$ son los catetos y $c$ es la hipotenusa) se definen las siguientes funciones trigonométricas:

• $sen(\alpha )=\frac{catetoopuesto}{hipotenusa}=\frac{a}{c}$
• $cos(\alpha )=\frac{catetoadyacente}{hipotenusa}=\frac{b}{c}$
• $tan(\alpha )=\frac{catetoopuesto}{catetoadyacente}=\frac{a}{b}$
• $cotan(\alpha )=\frac{catetoadyacente}{catetoopuesto}=\frac{b}{a}$
• $sec(\alpha )=\frac{hipotenusa}{catetoadyacente}=\frac{c}{b}$
• $cosec(\alpha )=\frac{hipotenusa}{catetoopuesto}=\frac{c}{a}$

También podemos ver, que solo conociendo las funciones seno y coseno de un ángulo, conoceremos la tangente, cotangente, secante y cosecante de un ángulo, de la siguiente forma:

• $tan(\alpha )=\frac{sen(\alpha )}{cos(\alpha )}=\frac{\frac{a}{c}}{\frac{b}{c}}=\frac{a}{b}$
• $cotan(\alpha )=\frac{cos(\alpha )}{sen(\alpha )}=\frac{\frac{b}{c}}{\frac{a}{c}}=\frac{b}{a}$
• $sec(\alpha )=\frac{1}{cos(\alpha )}=\frac{1}{\frac{b}{c}}=\frac{c}{b}$
• $cosec(\alpha )=\frac{1}{sen(\alpha )}=\frac{1}{\frac{a}{c}}=\frac{c}{a}$

Nota: Teorema de Pitágoras

Recordemos que en un triángulo rectángulo se cumple el Teorema de Pitágoras, que dice que la suma de los cuadrados de los catetos, es igual al cuadrado de la hipotenusa. Es decir, se tiene que

$a^2+b^2=c^2$

Ejemplo

Sabiendo que $sen(\alpha )=\frac{2}{3}$, determinar el valor de $tan(\alpha )$.

Sol:

Archivo:Razones Trigonométricas 4.webm

Funciones Trigonométricas en Ángulos Conocidos

Para los ángulos agudos 0°, 30°, 45°, 60° y 90°, los valores de las funciones trigonométricas son las siguientes:

	0°	30°	45°	60°	90°
sen	0	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	1
cos	1	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{1}{2}$	0
tan	0	$\frac{\sqrt{3}}{3}$	1	$\sqrt{3}$	$\mathrm{\infty }$
cotan	$\mathrm{\infty }$	$\sqrt{3}$	1	$\frac{\sqrt{3}}{3}$	0
sec	1	$\frac{2\sqrt{3}}{3}$	$\sqrt{2}$	2	$\mathrm{\infty }$
cosec	$\mathrm{\infty }$	2	$\sqrt{2}$	$\frac{2\sqrt{3}}{3}$	1

Ejemplo de Aplicación

Un dirigible que está volando a 800 metros de altura distingue a un pueblo con un ángulo de depresión de 30°. ¿A qué distancia del pueblo se halla? (La distancia es lo qué mide la línea recta que une ambos puntos)

Sol:

Archivo:Planteo Trigonometría 1.webm

Ejercicios Propuestos

Revisar y desarrollar la siguiente lista de Ejercicios Propuestos de Razones Trigonométricas.