Álgebra/Análisis numérico/Solución Numérica de Ecuaciones Diferenciales/Método de Heun

Definición

Un método para mejorar la estimación de la pendiente involucra la determinación y promediado de dos derivadas para el intervalo (una en el punto inicial y otra en el punto final).

En el método de Euler, la pendiente al inicio del intervalo se usa para extrapolar linealmente a $y_i+1$. _ En el método de Heun la pendiente calculada en la estimación previa no es para la respuesta final, sino para una predicción intermedia. Esta ecuación es llamada predictor. Mejora una estimación de $yi+1$ que permite el cálculo de una estimación de la pendiente al final del intervalo.

$y{\text{'}}_{i+1}=f(x_{i+1},y_{i+1}^0)$

Aquí,$y0i+1$ es el predictor, y es la misma ecuación de Euler para encontrar $y_i+1$.

Ésta nos sirve para calcular la pendiente $y^{\prime }i+1$.

Las dos pendientes se promedian en el intervalo:

\overline {y'} = {{y'_i + y'_{i + 1} } \over 2}</math>

Esta pendiente promedio se utiliza para extrapolar linealmente desde $yi<math>hasta<math>y_i+1$ usando el método de Euler.

$y_{i+1}=y_i+\frac{f(x_i,y_i)+f(x_{i+1},y_{i+1}^0)}{2}h$

Esta ecuación es conocida como ecuación corrector. El método de Heun es un procedimiento predictor – corrector.

Se puede conseguir una mejor precisión en el resultado si hacemos varios procesos correctores, esto lo logramos tomando $y_i+1$ y reemplazándolo por $y_{0}i+1$ en la ecuación y así encontrar un nuevo $y_i+1$, y se repite el proceso hasta donde se desee.